基于GM（1，1）和灰色馬爾可夫模型的器材消耗預測＊

周 浩 黃善忠

（海軍工程大學兵器工程系 武漢 430033）

0 引 言

裝備維修保障是保持與恢復裝備和遂行持續運行的有力保證，是影響工業、軍事航空、交通等領域發展的一個關鍵因素，與工業生產率、產品質量、工業設備的可靠性水平、資源消耗、可持續發展等問題息息相關，因此重要裝備維修器材配置策略的重要性就顯得尤為突出，為了制定科學合理的維修器材配置策略，本文利用GM（1，1）模型和馬爾可夫過程的綜合模型對器材消耗量進行預測.

1 GM（1，1）預測模型

中國學者鄧聚龍教授在1982年創立了灰色理論，而GM（1，1）又是灰色理論體系中最先發展的理論之一，能在“小樣本”和“貧信息”條件下對數據進行有效預測［1］，建模過程如下

1）設x（i）（0）為原始序列，進行累加得x（1）（t）.（i） （t＝1，2，…，n）

2）建立GM（1，1）模型的微分方程：

式中：a 為 發 展 系 數；b 為 灰 作 用 量；z（1）（t）為x（1）（t）的緊鄰均值生成序列［2］.

3）利用最小二乘法對a和b估計［3］得到：

2 基于GM（1，1）模型的器材消耗預測

表1是近年來某器材消耗數據的統計信息，下面利用灰色理論模型對消耗量進行預測.

表1 某器材消耗情況表

1）取前5組數據作為樣本，對最后2組（即第15，16a）消耗數據進行預測，建立 GM（1，1）模型，通過 matlab編程［4］得到a＝－0.095 8，b＝18.486，得到時間響應函數＝213e0.0958t－193.從而得到原始數據的測算值為（t）＝（22，24，26，28，32，34，38，42，45，47，49，52，55，57，59）

2）取前13組數據作為樣本，對最后2組消耗數據進行預測，基于同樣的方法，得到時間函數：＾x（1）＝1528e0.0173t－1 508.從而得到原始數據的測算值為（t）＝ （27，27，27，28，29，29，30，30，30，31，32，32，33，34，34）

將上述計算結果繪制成圖1.由圖1可知，當樣本數據呈規律性變化時（如前9組），2種數據樣本的測算結果相差不大（都不是很精確），而后幾組樣本數據無規律變化造成13組樣本數據的測算結果比5組樣本數據的測算結果略好，但顯然上述測算精度都無法滿足現實需求，說明GM（1，1）模型對于具有指數變化規律的數據有較好的擬合效果，但對于隨機變化的數據就無法獲得滿意的預測效果.因此需要對GM（1，1）模型進行改造，從而得到更具有普適性的數據預測方法.

圖1 不同樣本數據條件下GM（1，1）測算結果

3 灰色馬爾可夫預測模型

灰色馬爾可夫模型的基本思路是首先建立GM（1，1）模型，得到預測序列，然后用預測序列和實際序列的相對差序列，來進行狀態空間的劃分［5］，通過原始數據序列落入各狀態的點計算出轉移概率矩陣，根據狀態轉移概率矩陣對未來的變化趨勢做出估計［6－7］.

1）狀態劃分 根據GM（1，1）模型求出預測序列，以預測曲線為基準，劃分成與預測曲線平行的若干條形區域，每一個區域構成一個狀態，這樣就將一個隨機序列劃分成n個狀態.任一狀態?i（k）＋ Bi. 條 形 區 域 的 上 限 Ai為max ［x（0）（k）－＾x（0）（k）］，條 形 區 域 下 限Bi為max［x（0）（k）－＾x（0）（k）］.

式中：Mi為系統處于狀態 ?i的原始數據樣本數；Mij（k）為狀態?i經k步轉移到?j狀態的原始數據樣本數.

4 基于灰色馬爾可夫模型的器材消耗預測

1）利用表1數據，建立GM（1，1）模型 取前14組數據，建立GM（1，1）模型，通過matlab編程解算得到a＝－0.017 3，b＝26.095 7，代入時間函數得到＝1 528e0.0173t－1 508

從而得到原始數列 的模擬 值為：＾x（0）（t）＝（27，27，27，28，29，29，30，30，30，31，32，32，33，34，34）

2）建立灰色馬爾可夫模型

（1）狀態劃分 利用GM（1，1）模型得到的模擬值.用實際值除以模擬值，即可得到比值見表2.

表2 實際值與模擬值的比值表

依據表2中模擬值與實際值的差值關系，按表3將系統劃分為3個狀態，其各年份的狀態也隨之確定，見表4.實際的狀態區間劃分情況見圖2.

表3 狀態劃分表

表4 各年份狀態表

圖2 狀態區間劃分

（2）構造轉移概率矩陣

根據與預測年份（第15a）相接近的3a編制狀態轉移表見表5.

表5 狀態轉移表

從表5中的合計欄可以看出，狀態3的概率最大，所以第15年的器材的消耗量最有可能是狀態3，由GM（1，1）模型得到的第15年預測值為34，則得：＾y（t）＝×（1.09＋1.2）＋34＝35.15

因此，應用灰色馬爾可夫模型獲得的第15年器材的消耗量預測為35.15.而其他年份的預測值也可通過此法來測算.

將上述2種模型分別獲得的測算結果繪制成圖3，不難發現，當樣本數據呈規律性變化時，2種模型的預測效果比較接近，當樣本數據隨機變化時，灰色馬爾可夫模型的預測效果明顯優于GM（1，1）模型的預測.

圖3 2種模型測算結果對比

5 結束語

文中針對“小樣本”“貧信息”條件下的預測展開分析，提出利用GM（1，1）模型對實際裝備維修器材進行預測，通過對比分析不同數據信息條件下預測結果的準確性，發現當樣本數據隨機變化時，增加先驗數據信息量對提高預測精度有一定效果，但其測算精度不高是該GM（1，1）模型預測所無法避免的.在上述情況下提出利用灰色馬爾可夫綜合模型對維修器材進行預測.仿真測算結果表明灰色馬爾可夫綜合模型能解決“小樣本”，“貧信息”的數據預測難點，它不僅能對規律變化的數據進行有效預測，也能對隨機變化數據進行合理科學推斷，可以這樣總結：灰色馬爾可夫模型對于隨機序列預測的科學性和可靠性明顯優于GM（1，1）模型.

［1］伍雄斌.基于GM－BP神經網絡的交通量預測［J］.武漢理工大學學報，2014，38（3）：616－617.

［2］陳 博.灰色線性回歸組合模型算法研究［J］.自然科學報，2012，15（1）：83－84.

［3］任家君.可修復系統預防性維修策略的仿真與優化研究［D］.長春：吉林大學，2009.

［4］蒲 俊.MATLAB6.0數學手冊［M］.上海：浦東電子出版社，2002.

［5］謝乃明.離散GM（1，1）模型與灰色預測模型建模機理［J］.系統工程理論與實踐，2005，25（1）：96－97.

［6］潘宏俠.基于灰色線性回歸組合模型的故障率預測［J］.振動、測試與診斷，2014，34（4）：665－666.

［7］ZOU R B，MOU Z X，YI W.The non－equidistant grey GRM（1，1）model and its application［J］.International Journal of Modern Nonliner Theory and Application，2012，1（2）：51－54.