初高中函數銜接教學問題探究二次函數課“代數說理”的教學嘗試

◎閩江學院附屬中學 李 霞

初高中函數銜接教學問題探究二次函數課“代數說理”的教學嘗試

◎閩江學院附屬中學 李 霞

在二次函數課“代數說理”的教學中，嘗試引導學生將函數的研究方法從圖象法逐步過渡到解析法，實現從“變化過程”函數認知到“對應關系”函數認知的發展，這是初高中函數銜接教學的一個有效途徑．

函數教學；銜接；解析式；邏輯思維

函數概念是數學核心概念中最重要的概念之一，從數學史上看函數概念的發展，眾多數學家從集合、對應與映射的角度不斷賦予函數概念以新的思想.19世紀法國數學家黎曼提出如下函數定義：如果某一個量依賴于另一個量，使后一個量變化時，前一個量也隨著變化，那么就把前一個量叫做后一個量的函數.這個定義已揭示了函數概念的本質屬性，即兩個變量在變化過程中相互依賴的關系.

從小學數學到中學數學，數與代數領域經歷了從算術到方程再到函數的過程.算術研究確定的常數以及它們之間的數量關系.方程研究確定的常數和未知的常數之間的數量關系.函數研究變量之間的數量關系.函數為研究運動變化的數量之間的依存、對應關系和構建模型帶來了方便，從而能夠解決比較復雜的問題.因此曾國光老師在《中學生函數概念認知發展研究》一文中指出，學生函數概念的認知發展有三個階段：作為“算式”的函數；作為“變化過程”的函數；作為“對應關系”的函數.

在初中的學習中，學生研究函數的方法以觀察圖象變化為主，重視數形結合的研究方法，理解函數三種表示形式的作用：如解析法具有計算和推理的功能；圖像法可以連續地看到函數的具體變化過程和趨勢，便于圖形自身的比較、圖形與圖形之間的比較；列表法要讓學生通過觀察，產生猜想等.要讓學生在思維中構建這樣的一個過程，能用解析法、圖像法、列表法來刻畫函數隨著自變量變化而變的動態變化過程.

結合學段過渡的需要，在初三后期學習函數圖像時，教師不妨從觀察函數圖象入手，適當引導學生對函數的有關性質推導進行代數說理，如在學習內容上從前面的由形到數，以形助數的圖象法逐步向解析式轉移，從解析式上對函數的最值、對稱性、增減性等特征進行說理，為訓練學生的數學思維，理解數學本質提供過程性的經歷.為初高中的函數教學銜接尋找策略.

本文嘗試著通過《二次函數的y=ax2+bx+c的圖像與性質》一課的教學設計，試圖引導學生將研究方法從圖象逐步向解析式轉移，對數形結合的方法順勢自然地理解，并加以靈活運用，發揮從數和形兩個方面共同分析解決問題的優勢.突出兩者間的轉化對分析解決問題的特殊作用.

一、教學目標突出“代數說理”

《二次函數》一章編排于九年級下冊，從內容上看，學生之前已經學習了《一次函數》《反比例函數》的內容，此后，在《高中數學必修1》的課程中，學生將繼續學習指數函數、對數函數、冪函數等基本初等函數的性質.

從方法上看，在研究一次函數和反比例函數時，教材側重于通過觀察函數圖象來直觀了解函數的性質，而進入高中后，教材則側重于通過分析解析式來研究函數性質.在《反比例函數》教學中，筆者就試圖透過反比例函數的解析式的右邊，啟發學生從反比例函數解析式的形態，即分式的特點去研究圖象的性質：如從分式的條件關注定義域和值域；從分式的運算特點，關注變化規律（增減性）等.

《二次函數的y=ax2+bx+c的圖像與性質》這節課的教學目標是讓學生明確函數是描述自然界中量的依存關系的數學模型，是對問題本身的數量本質特征和制約關系的一種動態刻畫.在進一步掌握“數形結合”學習的一般策略前提下，試圖從最簡函數的解析式y=x2入手分析，通過自變量x的變化來探究因變量y的變化.具體學習目標如下：

（1）不畫圖能說出畫出函數y=ax2的圖象性質；

實驗結果表明，均勻設計法實驗得到的ITAE相較于工程整定法更小，穩態性能較好。輸出波形圖表明，均勻設計法得到的輸出曲線與工程整定法相比，超調量、調節時間均有降低，系統的暫態性能有所提高。

（2）能明白y=ax2+bx+c化成y=a（x-h）2+k的意義；

（3）不畫圖能得出y=ax2+bx+c圖象的性質.

二、教學過程呈現“代數說理”

1.從非負性的性質確定函數定義域和值域

問題1在同一坐標系內畫出函數y=x2，y=x2+3，y= x2-3的圖象，這三個圖像位置如何變化？

教師用幾何畫板演示圖像，建立形的感知.以動畫的形式體現拋物線在同一坐標系中的分布及位置變化過程，幫助學生建立平移轉換的思想.

問題2函數y=x2圖象有那些性質？拋物線解析式右邊的代數式是什么數？

追問1：對于函數y=x2，當自變量x取遍所有實數的時候，因變量y也是取遍所有的實數嗎？如不是，那個范圍是什么呢？

追問2：在x2中x變化時，x2如何變化？

在討論函數最值的時候，不讓學生畫圖，而是讓學生從函數的解析式y=x2入手，分析拋物線解析式右邊的代數式是什么數？判斷出右邊代數式是非負數.而后從非負數的性質就能判斷出它的最值即值域.再問當自變量取遍所有實數的時候，因變量也是取遍所有的實數嗎？如不是，那個范圍是什么呢？通過這樣的一些問題的思考，也就非常自然地討論了函數的定義域和值域問題.

類比于y=x2去討論y=ax2+c及y=a（x+c）2+k、y= a（x+c）2-k（a≠0）的情形.這就是利用了完全平方的非負性，來確定函數的最值和取得最值的條件，也就確定函數定義域和值域.

2.從平方根的概念尋找函數的對稱軸

尋找函數的對稱軸其實就是討論函數y=x2的奇偶性，為避開奇偶性這個詞，我們問學生，函數y=x2的自變量在什么情況下函數值相等?讓學生從函數的解析式的特點去分析，函數y=x2的自變量與因變量之間的關系.函數其本質是量的依存關系，它的性質是由解析式本身所反映出來的兩個變量之間的依存關系而確定，即x是y的平方根，而一個非負數的平方根互為相反數.互為相反數的兩個數到原點距離相等，反過來關于直線x=0對稱的兩m、n，其坐標應該滿足從而用數析形，得出函數直線x=0是y=x2的圖象的對稱軸.

類比函數y=x2奇偶性性質的研究，啟發學生從函數y=a（x+2）2-3與y=x2相似的結構上去尋找函數最值時自變量的取值.再引導學生當x+2取互為相反數時，函數值相等.即自變量x取關于-2為中點的兩個自變量的時候，函數值相等.在x軸上（一維空間）x取到-2距離相等的點能使函數值相等.二維上存在m、n兩點，其坐標滿足ym=yn.則直線x=-2就是函數y= 2（x+2）2-3=2x2+8x+5的圖象的對稱軸.從而從函數的最簡式到一般式都能用函數的解析式來求出它的對稱軸.

3.從自變量的變化發現函數的單調性

從函數的奇偶性，已經得出函數y=x2的圖象是關于直線x=0對稱的.對于函數y=x2單調性，學生容易發現，當自變量x≤0時，x由小到大時，函數y隨x的增大而增大.x＞0時，x越大函數值越大，即y隨x的增大而增大.

同樣對于y=2（x+2）2，如果（x+2）2越大，y的值越大.因此，當（x+2）≤0即x≤-2時，x越小函數值越大，即y隨x的減小而增大；當（x+2）＞0即x＞-2時，x越大函數值越大，即y隨x的增大而增大.類似推出函數y=2（x+2）2-3=2x2+8x+5的單調性.

三、通過“代數說理”理解配方的意義

問題1求出二次函數y=2x2+8x+5開口方向、對稱軸和頂點坐標.如何將y=2x2+8x+5的右邊式子配方？

讓學生去體驗直接從函數解析式y=2x2+8x+5去研究函數的性質不是那么容易，原因在于解析式y=2x2+ 8x+5中的x出現兩次，x的變化如何影響y的變化不易看出，啟發學生必須將x變成只出現一次，而配方的結構式中x只出現一次.這樣找準化簡的方向和方法，從而讓學生明白配方的意義.對于配方的變形運算，引導學生回憶在一元二次方程的解法中，如何用配方方法解方程？方程的左邊代數式與函數解析式的右邊表達的代數式如何聯系？

函數之所以成為初中代數的核心課程內容，一是源于函數本身的研究“變化過程中變量之間關系”的特點，二是函數教學是初中代數課程內容教學的重要脈絡.如從講授一維空間（數軸）到二維空間（平面直角坐標系）的變化；由列代數式發展為求函數的解析式；由方程發展為函數；由幾何圖形發展為函數的圖象.最重要的是函數教學中所蘊含的建模、方程、變量等思想方法是中學數學課程教學必須關注的核心內容.函數在某個特定自變量時的函數可視為求取代數式的求值問題，函數在某個特定函數值自變量時y=0的情況可看成相應的方程，函數在某個特定函數值范圍的情況可以看成是相應的不等式組.

初中學生雖然可以從事抽象邏輯思維活動，但在很大程度上，他們仍然需要依賴具體形象地經驗材料來理解抽象的邏輯關系.函數的學習是促使學生數學思維方式發生重大轉折的好時期，因此初中老師應該有意識多引導學生進行以上的思維訓練.

賈丕珠教授在《函數學習中的六個認知層次》一文中指出，函數教學中的知識構建需經歷：變量的認識；關系的理解；“對應”的掌握.初三學生介于初中和高中學段之間，如何引導學生思維從算式運算轉向變量關系、從純粹的數（式）轉向數形結合的相得益彰，是我們老師教學中應該關注的問題.

（責任編輯：王欽敏）