談數學高考復習中的題后反思

◎福建省福清第一中學 鄭 琦

談數學高考復習中的題后反思

◎福建省福清第一中學 鄭 琦

在數學高考復習教學中，需要進行即時性反思和階段性反思.反思主要包括：思路解法的反思，知識點的反思，思維邏輯和解題規范的反思，計算基本功和技巧的反思，數學思想方法的反思，變式的反思，專題的反思，出題者命題意圖及高考地位的反思．

及時性反思；階段性反思；數學思想方法

數學高考復習中的題后反思，是指學生對數學解題思維過程進行即時性和階段性的回顧、比較、分析和檢查.第一輪復習應強化典型例題思路解法的反思，知識點的反思，思維邏輯嚴密性和解題規范化的反思，計算基本功技巧和驗證的反思，數學思想方法的反思以及變式的反思；第二輪則強化專題的反思，出題者命題意圖及高考地位的反思.

試題2.有一塊邊長為a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的盒子，寫出體積V以x為自變量的函數式，并求這個函數的定義域.

一、思路解法的反思

一題多解是運用聯系、轉化的思維方式，根據觀察題目角度的不同，解題思維方式的不同和解題過程局部的變更，選擇不同轉化依據和轉化途徑解決同一數學問題.學生對思路解法進行反思，從而才能在高考中揚長避短，選擇知識點把握度較高和失分點較低的解題思路，提高解題穩定性和得分率.下以試題1為例.

1.對解題的通性通法進行反思

設A（x1，y1），B（x2，y2），C（2，y2），N為EF的中點,則下面證明直線AN.CN的斜率相等（A.N.C共線），可得直線AC過點N.由直線AB的方程y=k（x-1）（斜率不存在時極易證明）及斜率公式，有，通分后分子：3（x1+x2）-2x1x2-4①.將直線AB方程與橢圓方程聯立消y得:（1+2k2）x2-4k2x+2（k2-1）=0，由韋達定理得:x1+將上述兩個式子代入式子①，可驗證其為零.本思路將初中韋達定理銜接入高中階段性知識點中，這正是新課改所倡導的要求教師和學生做好初高中知識點的銜接工作.這個思路更多涉及解題的通性通法，涉及考試大綱最基本的知識點、數學思想方法及運算基本功技巧等，體現了命題者主要意圖.

2.對計算量最大的思路進行反思

3.對知識點涉及量最多的思路進行反思

4.知識含量最少的思路

設點B（xB+yB），由橢圓方程可得到，且知C（2+yB），依題意有解得點；將點A1代入橢圓方程，且.經驗證.故直線lNC與lBF交點就是點A，即知AC過EF的中點.可見在不同復習輪次的數學教學過程中教師和學生應該把重點放在數學證明的實質和命題結構上.

二、知識點的反思

學生對所學知識點的自主整理能力較差，知識系統性較弱，解題時“死卡”現象普遍存在，對題中所涉及的某個知識點很模糊，就無法解題.所以要將題中所涉及的知識點根據考綱要求進行分層羅列，對于同一個或多個知識點，可選擇難度系數不同的題目加以鞏固，從解題的突破點和錯誤思路（錯在哪個知識點或計算步驟）的回放兩方面強化知識點在解題中的重要角色——突破點和失分點，尤其要讓學生專門進行“嘗試錯誤”的反思活動，比如直線斜率不存在，基本不等式等號不成立，函數單調區間在定義域外等常見解題誤區，引起學生知錯、改錯、防錯的良性反應.試題1考查韋達定理，橢圓第一定義，直線方程，焦半徑，離心率和斜率公式.試題2考查函數定義域，基本不等式，函數單調性和最值.

三、思維邏輯和解題規范的反思

學生往往易犯“對而不全”的解題通病，要加強題后思維邏輯嚴密性和解題規范化的訓練，避免出現關鍵步失分，表述不簡捷和出現未說明的字母，向量沒箭頭等解題不規范通病.

四、計算基本功技巧和驗證的反思

在考試中學生計算基本功和技巧的不扎實造成解題感覺“很順”，但實質上全盤皆失。比如試題1中的斜率值或韋達定理出錯了，盡管后面解題思路框架正確，但數據是錯的，導致全盤皆失.這點“算功”在高考選擇和填空題中尤為重要.所以高考復習題后反思要強化看似簡單的配方、通分、移項、因式分解、解方程不等式（組）等計算基本功和配湊、分離變量、換元法及整體法等計算基本常用技巧，注重含字母問題的計算驗證,比如導函數方程的根不一定是極值點，做到步步為營，避免出現漏解多解.

五、數學思想方法的反思

解題后要反思題中滲透的數學思想方法，培養綜合運用能力.中學數學基本思想主要有：數形結合思想、函數與方程思想、分類討論思想、消元降次思想、等價轉化思想、集合與對應思想以及公理化等思想；基本方法如換元法，待定系數法、反證法、數學歸納法、配方法以及觀察、分析、歸納與演繹、綜合等方法。試題1中要注意直線斜率不存在與存在情況的分類討論.

六、變式的反思

復習中教師應指導與提倡學生自覺對所解習題盡量作變式與引申探索研究，變式的反思可分為變式結論的反思、變式條件的反思以及變式研究對象的反思.

試題2變式1：問x為何值時，體積V達到最大值？

變式2：有一塊邊長為2a的正方形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的小正方形，然后折成一個無蓋的長方形盒子，要求長方體的高度x與底面正方形邊長的比不超過常數t.（1）寫出體積V以x為自變量的函數式，并求這個函數的定義域.（2）x取何值時，容積V有最大值?

變式3：有一塊邊長為2，寬為1的矩形鐵皮，將其四個角各截去一個邊長為x的正方形，然后折成一個無蓋的長方形盒子，則x取何值時，容積V有最大值?

七、專題的反思

學生可以根據自身的知識水平在教師的指導下進行題后篩選和分類，進行小專題和大專題的總結，從而才能在考試中提高“舊題”的解題速度和穩定性，為解決“新題”做好時間和解法上的充分準備.比如高考中的恒成立問題g（x，a）≥0，g（x，a）≤0大致有分離變量為a≥f（x），a≤f（x）型（有時要分類討論），后用求導法或基本不等式等求f（x）值域，或者根據一元二次函數在上的圖象與x軸的位置關系得到含的不等式（組）.

八、出題者命題意圖及高考地位的反思

試題1涉及初高中知識點的銜接，考察學生是否注意到對直線斜率存在性的分類討論，解方程組的基本運算能力以及對考綱不要求的知識點的拓寬度等.試題2考察學生“數學化”能力，基本不導式成立的條件，以及定義域在最值中的重要作用，在考試過程中，需要學生克服思維片面性，以防常規題失分.

數學高考復習中，學生的即時性和階段性反思習慣的培養是非常必要的.在復習教學過程中，需要教師結合例習題教學給以反思指導，騰出時間讓學生進行自主反思，要求學生在題后寫出反思總結，教師可以根據學生的解題反思小結進行相應的指導，對反思質量進行評價,從而使學生整體數學思維習慣和自主學習能力乃至創新能力都有新發展.

（責任編輯：王欽敏）