基于輸出反饋控制的二級倒立擺系統

齊 跡， 李艷輝， 張景炘

(1. 齊齊哈爾大學 通信與電子工程學院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006；2. 東北石油大學 電氣信息工程學院， 黑龍江 大慶 163318；3. 大慶石化建設公司， 黑龍江 大慶 163714)

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基于輸出反饋控制的二級倒立擺系統

齊 跡1， 李艷輝2， 張景炘3

(1. 齊齊哈爾大學 通信與電子工程學院， 黑龍江 齊齊哈爾 161006；2. 東北石油大學 電氣信息工程學院， 黑龍江 大慶 163318；3. 大慶石化建設公司， 黑龍江 大慶 163714)

由于直線二級倒立擺系統中，小車和倒立擺速度不能直接測量，所以嘗試采用基于輸出反饋控制器的魯棒H∞控制方法對二級倒立擺進行控制。首先，利用Lyapunov穩定性理論并結合LMI技術進行輸出反饋控制器的設計，然后在Matlab環境下對倒立擺系統進行仿真研究。實驗結果表明，本文所設計的輸出反饋控制器是令人滿意的。

二級倒立擺； 輸出反饋控制； 魯棒性；H∞范數

0 引 言

倒立擺系統具有高階次、多變量、嚴重不穩定等特點[1-2]，控制系統中一些抽象的概念如穩定性、可控性、系統的收斂速度和抗干擾能力都可以通過倒立擺系統反映出來[3-4]，許多控制理論的專家、學者一直將它視為典型的研究對象，不斷探索新的控制策略和方法。文獻[5]研究了直線倒立擺系統控制特性的影響因素；文獻[6]采用變增益LQR控制方法對倒立擺系統進行控制；Taylor 和Ibanez等人分別采用極點配置和Lyapunov函數對倒立擺系統進行研究[7-8]；文獻[9]采用非線性逆系統軌跡控制實現三級倒立擺的自動擺起；文獻[10-12]采用基于觀測器的方法對倒立擺系統進行研究。這些控制方法已被廣泛接受，具有重要的理論和實際應用價值。然而，直線二級倒立擺系統中直接可測的狀態只有小車和倒立擺的位置，小車和倒立擺的速度是不能直接測量的，所以上述方法存在一定的局限性。

本文通過設計輸出反饋控制器來實現對倒立擺系統的控制[13-14]，將該系統中小車與導軌之間的摩擦力當作一種擾動，同時考慮系統參數攝動問題，對二級倒立擺系統進行建模，選擇合適的Lyapunov函數推導出輸出反饋控制器存在的充分條件，并將其表達成具有線性矩陣不等式約束的凸優化問題，利用數字軟件進行求解。仿真實驗證明所設計的輸出反饋控制器在干擾信號作用和模型參數攝動的情況下，具有較強的抗干擾能力和魯棒穩定性。

1 問題描述

根據文獻[15]，得到包含擾動和參數攝動的倒立擺線性化模型為

(1)

其中：x(t)∈Rn是狀態變量；y(t)∈Rp是被控制信號；z(t)∈Rq是測量輸出；u(t)∈Rm是控制輸入信號；w(t)是作用在小車上的干擾信號；假定系統矩陣A,A1,A2,B,B1,C是不確定性矩陣，但可以表示為某些已知頂點矩陣的凸組合，即Ω=(A,A1,A2,B,B1,C)∈R，集合R為一個給定的凸有界多面體域，表示為

其中,Ri=(Ai,A1i,A2i,Bi,B1i,Ci)為R的第i個向量。

本文目標是設計如下形式的輸出反饋控制器，用來測量小車和倒立擺的速度，采用魯棒H∞控制方法使得二級倒立擺在不穩定的平衡點處保持穩定的平衡。

(2)

其中:xc(t)是控制器狀態向量;Ac,Bc,Cc,Dc是待設計的控制器增益矩陣，考慮式(1)和式(2)可以得到如下倒立擺閉環系統

(3)

其中:

(4)

2 基于輸出反饋控制器的魯棒H∞方法

本文的期望目標為：

(5)

2.1 閉環系統的穩定性與H∞性能分析

(6)

(7)

其中，P>0。

沿方程(3)的解對上式求導數，得：

(8)

因此，當假定擾動輸入w(t)=0時，可得

(9)

2.2 輸出反饋控制器求解

(10)

此外，若上述線性矩陣不等式(10)有可行解，則H∞輸出反饋控制器的參數可由下式求得：

(11)

證明：根據定理1，若條件(6)滿足則有P為非奇異矩陣，令

(12)

不失一般性，假設P2為非奇異矩陣，我們可以定義如下的矩陣變量:

(13)

(14)

在數學教學中，無論是數與代數、圖形與幾何，還是統計與概率等知識，處處蘊含著數形結合思想。教材借助幾何圖形的直觀來幫助學生理解抽象概念。生動形象的圖形使得抽象的知識變得趣味化、直觀化，學生在學習時，不再感到枯燥乏味，反而能從中獲得有趣的情感體驗，從而實現了主動探索，把握了概念本質。

(15)

定義矩陣變量P1=X,R1=Y和

(16)

考慮式(4)，則不等式(15)中各符號表示為：

(17)

將式(17)代入式(15)得到式(10)，再將P1=X,R1=Y代入式(16)得到式(11)。因此根據定理1可知倒立擺閉環系統(3)式漸近穩定且具有H∞性能水平γ>0。證畢。

(18)

其中，δ=γ2。

由凸多面體不確定系統的內在特性，很容易將定理2推廣，從而得到不確定倒立擺系統的魯棒H∞輸出反饋控制器。

(19)

此外，若上述線性矩陣不等式(19)有可行解，則H∞輸出反饋控制器的參數可由下式求得

(20)

3 實時控制實驗

考慮形如(1)式的倒立擺系統Σ，系統參數如下[16]:

其中,ρ,σ為不確定參數。

根據定理1很容易證明給定這個倒立擺系統是漸近穩定的。針對倒立擺系統、凸多面體不確定倒立擺系統分別進行仿真研究，驗證所得結果的有效性。

(1) 倒立擺系統。當ρ=0,σ=0時的H∞輸出反饋控制器設計問題。

應用Matlab線性矩陣不等式工具箱求解定理2可得最優擾動衰減水平為γ*=0.923 8，同時可求得H∞輸出反饋控制器的參數

(2) 凸多面體不確定性倒立擺系統。當不確定參數ρ,σ滿足-1≤ρ≤1,-0.5≤σ≤0.5時的魯棒H∞輸出反饋控制器設計問題。

應用Matlab線性矩陣不等式工具箱求解推論1可得最優擾動衰減水平為γ*=2.032 5，同時可求得H∞輸出反饋控制器的參數

可見，無論系統矩陣是否存在不確定性，所采用的方法都可以得到令人滿意的擾動抑制度，只是倒立擺系統存在凸多面體不確定性時擾動抑制度大，說明不含攝動時的控制效果較好。

為了進一步證明本文設計方案的可行性，我們將所設計的H∞輸出反饋控制器應用于凸多面體不確定性二級倒立擺的穩擺控制實驗中。圖1給出倒立擺系統上、下擺角度隨時間變化的輸出響應，可以看出，基于H∞輸出反饋控制器的倒立擺穩擺控制是有效的，上擺和下擺均在較短的時間內達到了平衡狀態。

圖1 倒立擺的輸出變化曲線

4 結 語

將二級倒立擺系統中小車與導軌之間的摩擦力當作一種擾動，同時考慮系統參數攝動問題，嘗試采用輸出反饋控制器的方法對二級倒立擺系統進行控制。給出了系統魯棒穩定且滿足H∞性能的充分條件，應用LMI設計了輸出反饋控制器。不僅從理論上證明了該方法可行，而且通過仿真對其進行驗證，理論和實驗都表明該設計方法確實可行。

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Study of Double Inverted Pendulum System Based on Output Feedback Control

QIJi1,LIYan-hui2,ZHANGJing-xin3

(1.Communication and Electronic Engineering Institute, Qiqihar University, Qiqihar 161006, China;2. Electrical and Information Engineering college, Northeast Petroleum University, Daqing 163318, China;3. Daqing Petrochemical Construction Company, Daqing 163714, China)

Due to line two level inverted pendulum system, cart and inverted pendulum velocities can not be measured directly, Therefore, it is tried to use robustH∞control method based on output feedback controller to control the two stage inverted pendulum. First, the output feedback controller is designed with Lyapunov stability theory and LMI technology, and then simulation is realized under Matlab. The result shows that the designed output feedback controller is satisfactory.

double inverted pendulum; output feedback control; robustness;H∞norm

2014-10-24

國家杰出青年基金項目(61004067)；黑龍江省自然科學基金項目(QC2011C043)；齊齊哈爾大學青年教師項目(2012k-M08)；齊齊哈爾大學教育科學研究項目(2013068)

齊 跡(1979-)，女，黑龍江呼蘭人，碩士，副教授，主研領域：魯棒控制,濾波,隨機系統,網絡控制系統。

E-mail:qi_ji_1979@126.com

TP 273

A

1006-7167(2015)05-0108-04