“分段函數的應用”教學實錄與反思

崔志會

（浙江省寧波第二技師學院）

一、基本情況

1.授課對象

本次課是和10J1A 班的全體學生共同完成的，10J1A 班是模具專業，共由30名學生組成，入學時數學最高分116 分，最低分88.5 分（滿分150 分），平均成績104.5 分。作為今年我校2010 級聯豐校區入學成績最好的班級，學生的總體水平較其他平行班級略高，大部分學生學習態度較好，有一定的自學能力和動手能力，有較強的學習積極性。

2.教材分析

所用教材為《中等職業教育課程改革國家規劃新教材·數學（基礎模塊）上冊》（高教版），分段函數及其應用為第3 章“函數”第3 節的兩個內容之一，第3 節主要介紹函數在生活、生產中的應用實例。分段函數在生活、生產中有著廣泛的應用，但學生對這部分內容感到困難。教材由分段計費的實例引入概念，有助于對分段函數的認識。教學參考書給出本節的課時安排是4 課時，我如下分配：1 課時認識分段函數（由我主講），1 課時分段函數的應用（由我和10J1A 班全體學生合作完成），2 課時一次函數和二次函數的應用。

3.教學目標

（1）能建立簡單實際問題的分段函數的關系式，會求分段函數的定義域和分段函數在點處的函數值；（2）經歷用分段函數描述實際生活中分段計費實例的過程，體驗、感受數學模仿和創造的快樂，體會函數和生活及所學專業的密切聯系，提高學生學習數學的興趣。

4.教學重點

能建立簡單實際問題的分段函數的關系式，掌握分段函數的作圖方法。

5.教學難點

建立實際問題的分段函數關系及分段函數的圖象。

6.課時安排

1 課時。

7.課前準備

（1）在本次課前，已經用1 課時的時間和全班學生共同認識和了解了分段函數的概念、定義域、函數值的求法以及分段函數的作圖方法。（2）提供問題背景——“分段函數與我們的實際生活及所學專業課”。經過我的分析、調查和研究最終確定以下八個主題：寧波市的水費問題、電費問題、管道煤氣問題、出租車的計費問題、郵局包裹平郵、快遞、EMS 特快問題及熱處理工藝問題（和他們所學的專業課金屬材料有關的一個問題）。（3）全班30個人分成8 個小組，自由組合，8 個小組人數最多的5 人，最少的2 人。選好課題，利用周末的時間深入寧波市的郵局、出租車公司等實地調查研究，并通過上網搜索、電話查詢、咨詢親朋好友等多種渠道查找信息。（4）分析處理信息，解決問題，并推薦團隊發言人。教師檢查和核對學生的成果，并據此制作PowerPoint 演示文稿，從8 個小組中挑選3 個團隊，進行成果展示。

教師在整個過程中給予技術指導——調查研究的基本方法以及合作的基本技巧和方式，并給出打分的標準，要求必須符合寧波市的實際情況，不能隨意捏造，憑空設想。

8.教學方法

探究式教學與同伴教學相結合。同伴教學即將不同的任務分配給不同組的學生。而后，每個小組將他們學習到的內容“教給”班級里的其他同學。

二、教學過程

1.復習回顧，引入課題

引導學生簡單復習一下分段函數的概念、定義域、函數值和作圖方法。在復習的過程中強調：（1）分段函數是一個函數，它的圖象必須要做在同一個直角坐標系中；（2）分段函數在不同的定義域區間內有不同的對應關系，所以要分段依次完成函數的圖象，一般是按照由左至右的次序進行；（3）做每一段函數圖象時，要注意與相應區間的對應，圖象既不要多做，也不要少做。

2.學生展示

（1）第一小組（5 個人）展示：第一小組的發言人首先介紹了他們小組的分工情況以及他們信息的查詢途徑（通過網絡）和情況，并給出他們小組編制的題目：

例1.寧波市為加強公民的節水意識，制訂了每戶每月用水收費標準：居民用水不超過17 立方米的部分，每立方米收費3.2元；超過17 立方米，不超過30 立方米的部分，每立方米收費5.12元；超過30 立方米的部分，每立方米收費6 元。試寫出每戶每月用水量x（立方米）與應交水費y（元）之間的函數解析式并做出函數的圖象。同時求解下列問題：（1）小明家用了50 立方米的水，應交多少水費？（2）小明家交了132.96 元的水費，他家用了多少立方米的水？

然后根據自己出的題目給全班同學“講解”，由于學生初次進行這樣的活動，發言人難免緊張，結果名為講解，實際上只是把本小組的答案如實寫在黑板上，與我的預想有一定的差距。

點評：第一小組5名學生分工明確，態度認真，作業完成較好，并且文字表達清楚，問題形式多樣，唯一美中不足的是網上查找的信息與寧波市現行的水費收費標準有些出入（寧波市現在執行的收費標準是兩個月收一次，居民用水不超過34 立方米的部分，每立方米收費3.2 元；超過34 立方米，不超過60 立方米的部分，每立方米收費5.12 元；超過60 立方米的部分，每立方米收費6.8 元）。

（2）第二小組（4 個人）展示：第二小組信息也是通過網絡獲得但分工不明，個別組員態度不認真，把任務全推在了一個同學的頭上，好在此學生的數學水平較高，任務完成得還不錯，自編題目如下：

例2.隨著寧波市經濟的快速發展，各種高科技產品進入千家萬戶，寧波市為增強市民節約用電的意識，制定以下用電標準：每戶月用電量不超過200 度時，按0.53 元/度計費，月用電量超過200 度時，超過的部分按0.56 元/度計費，設每戶月用電量為x度，應交電費為y 元。（1）求y 與x 的函數關系式；（2）小唐家第四季度繳納的電費情況如下：

月份 十月份 十一月份 十二月份繳費金額（元） 53 162 79.5

問小唐家第四季度共用電多少度？

第二小組的發言比第一小組較好，大概講清楚了題目，中間穿插學生的提問和我的補充。

點評：第二小組模仿能力較強（題目參看課后復習題的模式），分析題目、上臺發言和講解均表現較好，但4名學生分工不明，沒有充分發揮團隊的力量，單靠個人的單打獨斗，難免會有考慮不周、顧及不到的情況出現，網上查找的信息與寧波市現行的電費收費標準很是不符（寧波市現在執行的收費標準是兩個月收一次，居民用電不超過100 度的部分，每度收費0.538 元；超過100 度，不超過400 度的部分，每度收費0.568 元；超過400 度的部分，每度收費0.638 元）。

在學生展示的過程中，教師穿插引導學生明白用水（電）越少，繳費越少，用水（電）越多，加倍收費的道理，從而達到節約用水（電）的目的。

（3）第七小組（4 個人）展示：第七小組的題目是和他們的專業課《金屬材料與熱處理》相關的一個題目，由于貼近專業，所以完成得較好。自編題目如下：

熱處理是對固態的金屬采用適當的方式進行加熱、保溫和冷卻，以獲得所需要的組織結構和性能的工藝，熱處理過程以時間為橫坐標，溫度為縱坐標的曲線圖如下：

試寫出溫度T 與時間t 的函數解析式？

全課小結，布置作業。（略）

3.回顧與反思

（1）學生感受

本節課后我給學生布置了一個作業：“談一談這次數學活動的體會和收獲”，字數不限。總結學生的感受如下：①認識到團隊合作的重要性。如“只有通過出色的團隊合作，整個團隊才能達到雙贏的目的。我們小組分工明確，配合默契，取得了不錯的分數，雖然沒有達到5 分，但也不錯了，這畢竟是我們第一次出題。”“自己編題、答題、繪圖，不僅考驗了我們的團結協作能力，也提高了我們各自的綜合能力。”②數學和生活息息相關。如“通過這堂數學課，讓我明白了數學與生活息息相關。”“我覺得數學并非無用，它滲透到生活中的點點滴滴。”③凡事預則立，不預則廢。如“在這節課上我懂得了編一道好的題目不是那么容易，要搜集資料，要準備充分，讓我明白了在做一件事時要準備充分，才能把事情做好。”“這次活動我們組得0分，因為忘記查資料。臨時編，結果可想而知。下次有這樣的活動，一定好好查資料。”④做老師真不容易，以后上課一定認真聽課。如“讓我感觸最深的其實是到講臺上講解題目，本來以為這是很簡單的，只要到黑板上把題目做一遍，然后像老師一樣講解自己是如何解答這道題目的就可以，但事實卻并非如此，到了講臺上，眼睛往下一看，心跳就加速，本來脫口而出的話，一下就咽了下去，然后只是在黑板上抄寫答案，完了就慌慌張張地往座位上跑，現在想想，做老師并不容易，又要管理秩序，還要給我們講清、講懂，還要能吸引我們的眼球，以后上課一定不搗亂了。”等等。

（2）教師反思

這節課我覺得成功的地方：①發揮了學生的主體作用。在本節課中我沒有沿用傳統的“老師講學生聽”的模式，而是讓學生自己去探究，以自己出題、自己解題、自己講題的形式充分發揮了學生的主體作用；②創設了一種比賽的情景，激發了學生的興趣，調動了學生的積極性。本節課目標明確，學生可操作性大，充分發揮了學生的主觀能動性，使他們在學習上由被動轉為積極主動，激發了學生學習分段函數的興趣，使學生覺得分段函數的知識更容易理解和接受；③適當地改變教學方法，可以吸引學生的眼球，提高學生學習數學的興趣，盡量避免學生出現聽課疲勞現象。④努力尋找數學和專業課的結合點。在分析、篩選課題的時候，我仔細翻閱了一年級學生正在上的專業課書《金屬材料與熱處理》，發現熱處理工藝的曲線正好可以作為分段函數的例子，就把它列入8 個主題里面，而學生也反應和專業相結合的數學題目他們更感興趣，更愿意去研究。

這節課我覺得遺憾和需要改進的地方有：①課堂紀律較平時上課差。由于這節課學生一直處在活躍的氣氛中，有的學生一時興起，就出現了起哄的現象，擾亂了其他同學的正常學習，這是我在以后組織同樣的課堂活動時要改進的地方，課前一定要嚴肅地提出要求，在紀律、態度等方面絲毫不能放松要求，否則，積極的教學氣氛就會變成放任、隨意乃至消極教學的變相借口；②少數學生參與熱情不高。這部分學生雖然也有團隊榮譽感，但僅僅停留在想想、說說的層面，懶于付諸行動，怎么調動這部分學生的參與熱情是我需要認真思考和解決的問題。

葛喜芳.分段函數的幾個積分問題的計算方法［J].漯河職業技術學院學報，2012（05）.