變量相關性

本考點主要有兩類問題：一是回歸分析的問題；二是獨立性檢驗的問題. 理科一般會在選擇題、填空題中出現，文科也會在解答題中出現，難度中等.

（1）了解獨立檢驗（只要求2？鄢2列聯表）的基本思想、方法及其簡單應用.

（2）了解回歸分析的基本思想、方法及其簡單應用.

①會作兩個有關聯變量的數據的散點圖，利用散點圖認識變量間的相關關系.

②了解最小二乘法的思想，能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程（線性回歸方程系數公式不要求記憶）.

了解獨立性檢驗和回歸分析的基本思想、方法是解決兩類問題的關鍵. 關于求線性回歸方程，方法是最小二乘法，其步驟是：①計算 ， ；②計算∑xiyi，∑x ；③計算 ， ；④代入寫出回歸直線方程.其中求 ， 時需要利用系數公式，此公式在高考中會直接給出，同學們不需要記憶.關于獨立性檢驗，是求k2的值，通過比較臨界值表來分析兩個分類變量的相關程度，其中k2公式在高考中也會直接給出，同學們亦不需要記憶.這兩類問題的解決還有一個關鍵就是數據處理與運算求解，途徑合理、速度快捷、結果準確非常重要.

例1 某高中學校對高一年級學生在計算機上練習使用五筆輸入法打字進行了統計研究，他們記錄了學生練習的時間和最后考核每分鐘打字的個數，從中抽取了五位學生的數據列表如下：

（1）從這5位學生中任選2人，記每分鐘打字數分別為m，n，求事件“m，n均小于45”的概率；

（2）請根據乙、丙、丁三人的數據，求出y關于x的線性回歸方程 = x+ ；

（3）若由線性回歸方程得到的估計數據與所選出的檢驗數據的誤差均不超過2個，則認為得到的線性回歸方程是可靠的，試問：（2）所得的線性回歸方程是否可靠？

（參考公式：回歸直線方程是 = x+ ，其中 = ， = - ）

破解思路 本題共三個問題，其中第一個問題考查隨機事件的概率；第二、第三個問題考查回歸分析的數學思想. 用最小二乘法求回歸直線的方程時要根據步驟來完成，其中第一步、第二步是對第三步的一個分解計算. 解決此題雖然不需要很強的思維能力，但對運算能力的要求較高. 另外，如果沒有告訴兩個變量具有很強的線性相關性，求回歸直線方程前，首先應進行相關性檢驗，若畫散點圖，則要觀察散點是否大致分布在一條直線附近，然后求出的回歸直線方程才有實際意義，否則，求出的回歸直線方程毫無意義. 或通過相關系數的絕對值與0.75的關系來判定兩個變量的相關性的強弱.

答案詳解 （1）m，n構成的基本事件（m，n）有：（43，45），（43，50），（43，46），（43，36），（45，50），（45，46），（45，36），（50，46），（50，36），（46，36），共10個. 其中“m，n均小于45”的有1個，即（43，36），所以事件“m，n均小于45”的概率為 .

（2）因為 =12， =47，所以 = = .

于是， =47- ×12=17.

故所求線性回歸方程為 = x+17.

（3）由（2）知， = x+17，當x=10時，y=42；當x=8時，y=37. 與檢驗數據的誤差均為1，滿足題意. 故認為得到的線性回歸方程是可靠的.

例2 春節期間，某市消費者報一記者走上街頭，調查消費者對該市食品安全的滿意情況，他隨機詢問了110名消費者，得到如下的列聯表：

（1）采取分層抽樣的方法，從這50名女性消費者中按對食品安全是否滿意抽取一個容量為5的樣本，問：樣本中滿意與不滿意的女消費者各有多少名？

（2）從（1）中的5名女消費者樣本中隨機選取2名作深度訪談，求選到滿意與不滿意的女消費者各一名的概率；

（3）根據以上列聯表，請問：有多大把握認為“該市消費者性別與對該市食品安全滿意”有關？

注：k2= .

臨界值表：

破解思路 本題第一問考查分層抽樣，第二問考查隨機事件的概率，第三問考查獨立性檢驗的數學思想. 第三問的解決是根據k2公式求出k2的值，然后對照臨界值表評價兩個分類變量的相關程度.

答案詳解 （1）根據分層抽樣可得：樣本中滿意的女消費者為 ×5=3名，樣本中不滿意的女消費者為 ×5=2名.

（2）記樣本中對食品安全滿意的3名女消費者分別為a1，a2，a3，對食品安全不滿意的2名女消費者分別為b1，b2. 從5名女消費者中隨機選取2名，共有10個基本事件，分別為：（a1，a2），（a1，a3），（a1，b1），（a1，b2），（a2，a3），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2），（b1，b2）. 其中事件A“選到滿意與不滿意的女消費者各一名”包含了6個基本事件，分別為：（a1，b1），（a1，b2），（a2，b1），（a2，b2），（a3，b1），（a3，b2）. 所以所求概率P（A）= = .

（3）假設H0：該市消費者性別與對食品安全滿意無關，則k2應該很小. k2= = ≈7.486，由P（k2≥6.635）=0.010可知，有99%的把握認為：該市消費者性別與對食品安全滿意有關.

1. 對兩個變量y和x進行回歸分析，得到一組樣本數據：（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），則下列說法不正確的是（ ）

A. 若求得的回歸方程為 =0.9x-0.3，則變量y和x之間具有正相關

B. 若這組樣本數據分別是（1，1），（2，1.5），（4，3），（5，4.5），則其回歸方程 =bx+a必過點（3，2.5）

C. 若同學甲根據這組數據得到的回歸模型l的殘差平方和為E1=0.8，同學乙根據這組數據得到的回歸模型2的殘差平方和為E2=2.1，則模型1的擬合效果更好

D. 若用相關指數R2（R2=1- ）來刻畫回歸效果，回歸模型3的相關指數R23=0.32，回歸模型4的相關指數R24=0.91，則模型3的擬合效果更好

2. 某校對學生周末的業余生活狀況進行調查. 某調查小組隨機抽查了該校55名學生，以此來研究學生在周末喜歡運動與性別的關系，得到下面的數據表：

（1）判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.5%的前提下認為喜歡運動與性別有關；

（2）用分層抽樣的方法從喜歡運動的學生中抽取6名學生作進一步調查，將這6名學生作為一個樣本，從中任選2人，求恰有1名男生和1名女生的概率.

下面的臨界值表供參考：

注：k2= .endprint