用樣本估計總體

本考點主要涉及兩類問題：一是用樣本的頻率分布估計總體的概率分布；二是用樣本的數字特征（如眾數、中位數、平均數、方差、標準差等）估計總體的數字特征. 高考時理科一般會在填空題、選擇題中出現，文科也可能在解答題中出現. 難度中等偏易，屬易得分題.

（1）了解分布的意義和作用，會列頻率分布表，會畫頻率分布直方圖、頻率折線圖、莖葉圖，理解它們各自的特點.

（2）理解樣本數據標準差的意義和作用，會計算數據標準差. 能從樣本數據中提取基本的數字特征（如平均數、標準差等），并給出合理的解釋.

（3）會用樣本的頻率分布估計總體的概率分布，會用樣本的基本數字特征估計總體的基本數字特征，理解用樣本估計總體的思想.

（4）會用隨機抽樣的基本方法和樣本估計總體的思想解決一些簡單的實際問題.

熟悉三圖（頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、莖葉圖）和一表（頻率分布表）的制作方法與特點，掌握基本數字特征（眾數、中位數、平均數、方差、標準差等）的求解公式與技巧，對解決此類問題非常重要. 另外，也要掌握用樣本的頻率分布直方圖估計樣本的數字特征的方法.

例1 根據《中華人民共和國道路交通安全法》規定：車輛駕駛員血液酒精濃度在20～80mg/100mL（不含80）之間，屬于酒后駕車，處暫扣一個月以上三個月以下駕駛證，并處200元以上500元以下罰款；血液酒精濃度在80mg/100mL（含80）以上時，屬醉酒駕車，處十五日以下拘留和暫扣三個月以上六個月以下駕駛證，并處500元以上2000元以下罰款.

據某報報道，2014年9月5日至9月28日，某地區共查處酒后駕車和醉酒駕車共500人，如圖1是對這500人酒后駕車血液中酒精含量進行檢測所得結果的頻率分布直方圖，則這500人屬酒后駕駛的人數與這500人血液中酒精含量的平均值分別約是（ ）

A. 50人，56mg/100mL

B. 450人，56mg/100mL

C. 50人，58mg/100mL

D. 450人，58mg/100mL

圖1

破解思路 本題主要考查樣本的頻率分布直方圖、樣本的數字特征及總體的估計. 解決問題時，務必注意頻率分布直方圖是用圖形面積的大小來表示在各個區間內取值的頻率.另外，用頻率分布直方圖來估計平均數時，是用頻率分布直方圖中每一個小矩形的面積乘小矩形底邊中點的橫坐標所得積之和. 除頻率分布直方圖外，莖葉圖也是對樣本數據進行統計分析的一種方法.用莖葉圖分析數據有兩大優點：一是直方圖上沒有保留原始數據，但從莖葉圖中可以得到所有數據信息；二是用莖葉圖可以隨時記錄數據，隨時添加數據，方便記錄與表示.

答案詳解 酒后駕駛的人數為500×（1-0.005×20）=450，平均值為30×0.2+50×0.4+70×0.3+90×0.1=56.故選B.

例2 在某地區某高傳染性病毒流行期間，為了建立指標顯示疫情已受控制，以便向該地區居民顯示可以過正常生活，有公共衛生專家建議的指標是“連續7天每天新增感染人數不超過5人”. 根據連續7天的新增病例數計算，下列各選項中，一定符合上述指標的是（ ）

①平均數 ≤3；②標準差S≤2；③平均數 ≤3且標準差S≤2；④平均數 ≤3且極差小于或等于2；⑤眾數等于1且極差小于或等于4.

A. ①② B. ③④

C. ③④⑤ D. ④⑤

破解思路 此題綜合考查了樣本的數字特征. 理解每一個數字特征的含義是解題的關鍵. 眾數反映的是一組數據中出現次數最多的數；中位數反映的是一組數據由小到大排序后處于中間的數或中間兩個數的平均數；平均數 反映的是一組數據的平均水平，即 = （x1+x2+…+xn）；方差與標準差反映的是一組數據相對于平均水平的集中與分散程度，其計算方法是方差S2= [（x1- ）2+（x2- ）2+…+（xn- ）2]，方差的算術平方根就是標準差. 另外，此類問題對同學們的運算能力有著較高的要求，途徑要合理、運算要迅速、結果要準確是運算能力強的主要體現，在平時的學習中要不斷地加強訓練.

答案詳解 ①錯，如數據：1，1， 1，1，1，1，6；②錯，如數據6，6，6，6， 6，6，6；③錯，如數據2，2，2，2，2，2，6；④對，若極差等于0或1，在 ≤3的條件下顯然符合指標；若極差等于2，在 ≤3的條件下最大數不超過4，符合指標；⑤對，若眾數等于1且極差小于或等于4，則最大數不超過5，符合指標. 故選D.

例3 某校開展“愛我家鄉、愛我校園”攝影比賽，9位評委為參賽作品A給出的9個分數如莖葉圖（圖2）所示. 記分員在去掉一個最高分和一個最低分后，算得平均分為91，復核員在復核時，發現有一個數字（莖葉圖中的x）無法看清，若記分員計算無誤，則這9個分數的中位數為______，方差為______.

作品A

8 8 9 9

9 2 3 x 2 1 4

圖2

破解思路 根據題意，先分類討論確定最高分，再計算平均分，從而確定x的值；然后算出平均數代入公式求方差，按從小到大排序找到中位數即可.

答案詳解 由已知，當x≥4時， = ≠91，所以x<4，所以 =91，解得x=1. 于是可求出中位數為91，則方差為S2= [（-3）2+（-2）2+（-2）2+0+0+12+12+22+32]= .

1. 某校高一組織一次百米測試，結果發現成績全部介于13秒與18秒之間，將測試結果分成五組：第一組[13，14），第二組[14，15），…，第五組[17，18）. 圖3是按上述分組方法得到的頻率分布直方圖，根據直方圖估計該校高一在這次百米測試中，成績的中位數為________秒（精確到0.1）.

圖3

2. 甲、乙兩個小組各5名同學數學測試成績的莖葉圖如圖4所示，則甲、乙兩組中數學測試成績比較集中的小組是__________.

甲 乙

6 7 9

5 5 4 8 0 2 8

0 9 1

圖4endprint