概率與統計

余樹寶

由于概率與統計知識與生產生活實際有著非常密切的聯系，并在現實中應用廣泛，加之高中階段開設此部分內容對大學數學學習起著承上啟下的作用，所以近年來概率與統計內容一直是高中教學的重點內容，也是高考考查的重點、熱點內容. 尤其是新課程改革之后，高考對此部分內容的考查都不低于課程標準的要求，因此應引起廣大考生的重視.

從高考分值比例來看，理科更注重對概率與統計內容的考查；從考查內容上來看，理科注重的是概率內容，文科注重的是統計內容；從題型上來看，選擇題或填空題至少一題，解答題或有一題（由于各省、市自主命題，如2014年江蘇卷、浙江卷中的解答題就沒有考查概率與統計內容）；從難度上來看，小題容易大題稍難，尤其是理科.

高考中，新課標卷更注重考查概率與統計知識在現實中的應用，對概率與統計的考查基本上都是聯系當前生活實際，具有鮮明的時代性，這反映了概率與統計內容貼近生活，也反映了在眾多的高考考點中概率與統計內容的具有突出的應用性.

高考中，常見的抽樣問題一般包含兩種題型：一是給定某一總體，選擇適宜的抽樣方法；二是采用某一抽樣方法，如何實施抽樣過程，抽樣的結果如何. 這些問題主要考查簡單隨機抽樣、系統抽樣、分層抽樣等三種抽樣方法，其中又以考查分層抽樣為主. 本知識點一般在選擇題或填空題中進行考查，難度屬于中等偏易.

（1）理解隨機抽樣的必要性和重要性.

（2）會用簡單隨機抽樣方法從總體中抽取樣本；了解分層抽樣和系統抽樣的方法.

掌握三種抽樣方法適用的總體類型及各抽樣方法的特點對此類問題的解決非常關鍵.

（1）當總體中的個體數較少時，適用簡單隨機抽樣方法.

①用簡單隨機抽樣方法從含有N個個體的總體中抽取一個容量為n的樣本時，每次抽取一個個體時任一個體被抽到的概率為 ；在整個抽樣過程中各個個體被抽到的概率均為 ；

②簡單隨機抽樣的特點是：逐個抽取，且各個個體被抽到的概率相等；

③簡單隨機抽樣方法，體現了抽樣的客觀性與公平性，是其他更復雜抽樣方法的基礎.

（2）當總體中的個體數較多時，適用系統抽樣方法.

①系統抽樣與簡單隨機抽樣的聯系在于將總體均分后的每一部分進行抽樣時，采用的是簡單隨機抽樣；

②與簡單隨機抽樣一樣，系統抽樣是等概率抽樣，它是客觀的、公平的；

③總體中的個體數恰好能被樣本容量整除時，可用它們的比值作為系統抽樣的間隔；當總體中的個體數不能被樣本容量整除時，可用簡單隨機抽樣先從總體中剔除少量個體，使剩下的個體數能被樣本容量整除再進行系統抽樣.

（3）當已知總體由差異明顯的幾部分組成時，適用分層抽樣方法.

①分層抽樣是等概率抽樣，它也是客觀的、公平的；

②分層抽樣是建立在簡單隨機抽樣或系統抽樣的基礎上的，由于它充分利用了已知信息，使樣本具有較好的代表性，而且在各層抽樣時可以根據具體情況采用不同的抽樣方法，因此在實踐中有著非常廣泛的應用；

③在各層抽樣時要按照各部分所占的比例進行抽樣.

例1 某校選修乒乓球課程的學生中，高一年級有30名，高二年級有40名. 現用分層抽樣的方法在這70名學生中抽取一個樣本，已知在高一年級的學生中抽取了6名，則在高二年級的學生中應抽取的人數為（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

破解思路 題設中明確要求用分層抽樣的方法，因此我們要依據分層抽樣的特點，在各層抽樣時要按照各部分所占的比例進行抽樣.

答案詳解 設從高二應抽取x人，則有30∶40=6∶x，解得x=8，選C.

例2 采用系統抽樣方法從960人中抽取32人做問卷調査，為此將他們隨機編號為1，2，…，960，分組后在第一組采用簡單隨機抽樣的方法抽到的號碼為9，抽到的32人中，編號落入區間[1，450]的人做問卷A，編號落入區間[451，750]的人做問卷B，其余的人做問卷C，則抽到的人中，做問卷B的人數為（ ）

A. 7 B. 9 C. 10 D. 15

破解思路 此題考查的是系統抽樣方法. 在解決的過程中，一是在分組或分段時要注意需不需要剔除少量個體，二是要注意抽取多少個體就要分成多少組，三是要注意間隔是多少.

答案詳解 要分為32組，每組有30個個體，由于第一組抽取的號碼是9，所以各組的號碼應該是9+（k-1）·30，k=1，2，…，32. 由451≤9+（k-1）·30≤750得16≤k≤25，因此做問卷B的人數為10，故選C.

1. 某課題組進行城市空氣質量調查，按地域把24個城市分成甲、乙、丙三組，對應城市數分別為4，12，8. 若用分層抽樣的方法抽取6個城市，則甲組中應抽取的城市數為______.

2. 某高中有學生270人，其中高一年級108人，高二、高三年級各81人，現要利用某抽樣方法取10人參加某項調查，考慮選用簡單隨機抽樣、分層抽樣和系統抽樣三種方案，使用簡單隨機抽樣和分層抽樣時，將學生按高一、高二、高三年級依次統一編號為1，2，…，270；使用系統抽樣時，將學生統一隨機編號1，2， …，270，并將整個編號依次分為10段. 如果抽得號碼有下列四種情況：

①7，34，61，88，115，142，169， 196，223，250；

②5，9，100，107，111，121，180， 195，200，265；

③11，38，65，92，119，146，173， 200，227，254；

④30，57，84，111，138，165，192， 219，246，270.

關于上述樣本的下列結論中，正確的是（ ）

A. ②③都不能為系統抽樣

B. ②④都不能為分層抽樣

C. ①④都可能為系統抽樣

D. ①③都可能為分層抽樣endprint