綜合測試（滿分100分）3

一、選擇題：每小題5分，共25分.

1. 已知平面α，β和直線m ，給出下列條件：①m∥α；②m⊥α；③m？奐α；④α⊥β；⑤α∥β. 為使m⊥β，應選擇下面四個選項中的（ ）

A. ③⑤ B. ①⑤

C. ①④ D. ②⑤

2. 如圖29，三棱錐V-ABC中，VA⊥VC，AB⊥BC，∠VAC=∠ACB=30°. 若側面VAC⊥底面ABC，則其主視圖與左視圖面積之比為（ ）

A. 4∶ B. 4∶

C. ∶ D. ∶

圖29 圖30

3. 如圖30，AB是⊙O的直徑，VA垂直⊙O所在的平面，點C是圓周上不同于A，B的任意一點，M，N分別為VA，VC的中點，則下列結論正確的是（ ）

A. MN∥AB

B. MN與BC所成的角為45°

C. OC⊥平面VAC

D. 平面VAC⊥平面VBC

4. 若正三棱柱ABC-A1B1C1內接于半徑為1的球，則當該棱柱體積最大時，它的高h為（ ）

A. B.

C. D. 2

5. 如圖31，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點，F是側面BCC1B1內的動點，且A1F∥平面D1AE，則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構成的集合是（ ）

圖31

A. t ≤t≤2

B. t ≤t≤2

C. t2≤t≤2

D. t2≤t≤2

二、填空題：每小題5分，共15分.

6. 如圖32，在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB=BC=AA1，∠ABC=90°，點E，F分別是棱AB，BB1的中點，則直線EF和BC1所成的角是________.

圖32

7. 給出下面五個命題：

①在空間里，垂直于同一平面的兩個平面平行；

②設l，m是不同的直線，α是一個平面，若l⊥α，l∥m，則m⊥α；

③已知α，β表示兩個不同的平面，m為平面α內的一條直線，則“α⊥β”是“m⊥β”的充要條件；

④若點P到三角形三個頂點的距離相等，則點P在該三角形所在平面內的射影是該三角形的外心；

⑤a，b是兩條異面直線，P為空間一點，過P總可以作一個平面與a，b之一垂直，與另一個平行.

其中正確的命題是__________（只填序號）.

8. 如圖33，在長方形ABCD中，AB=2，BC=1，E為DC的中點，F為線段EC（端點除外）上一動點. 現將△AFD沿AF折起，使平面ADF⊥平面ABC. 在平面ABD內過點D作DK⊥AB，K為垂足. 設AK=t，則t的取值范圍是__________.

圖33

三、解答題：每小題15分，共60分.

9. 如圖34，四邊形ABCD和四邊形ABEF都是直角梯形，AD∥BC，AF∥BE，∠DAB=∠FAB=90°，且平面ABCD⊥平面ABEF，DA=AB=BE=2，BC=1.

（1）證明：DA⊥EF；

（2）求直線BE與平面DCE所成角的正弦值.

圖34

10. 如圖35，邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，E為線段CD上的中點，以BE為折痕，將△BCE折起，使得二面角C′-BE-C成θ角.

（1）當θ在（0，π）內變化時，直線AD與平面BC′E是否會平行？請說明理由；

（2）若θ=90°，求直線C′A與平面BC′E所成角的正弦值.

圖35

11. 如圖36，PA⊥平面ABC，點C在以AB為直徑的圓O上，∠CBA=30°，PA=AB=2，點E為線段PB的中點，點M在弧AB上，且OM∥AC.

圖36

（1）求證：平面MOE∥平面PAC；

（2）求證：平面PAC⊥平面PCB；

（3）設二面角M-BP-C的大小為θ，求cosθ的值.

12. 如圖37，在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，側棱AA1⊥底面ABCD，AB∥DC，AA1=1，AB=3k，AD=4k，BC=5k，DC=6k（k>0）.

（1）求證：CD⊥平面ADD1A1；

（2）若直線AA1與平面AB1C所成角的正弦值為 ，求k的值；

（3）現將與四棱柱ABCD-A1B1C1D1的形狀和大小完全相同的兩個四棱柱拼接成一個新的棱柱，規定：若拼接成的新的四棱柱形狀和大小完全相同，則視為同一種拼接方案. 問：共有幾種不同的方案？在這些拼接成的新四棱柱中，記其中最小的表面積為f（k），寫出f（k）的表達式. （直接寫出答案，不必要說明理由）endprint