數(shù)學(xué)“問題解決”教學(xué)模式的再認(rèn)識

邵紅剛

尋找“問題解決”能力培養(yǎng)與數(shù)學(xué)課程教材知識體系學(xué)習(xí)之間的互補(bǔ)與平衡，形成操作性較強(qiáng)的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)模式，可以促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)意識、邏輯推理、信息交流、思維品質(zhì)等數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，為學(xué)生的自主學(xué)習(xí)、發(fā)展個性打下良好基礎(chǔ)。“問題是數(shù)學(xué)的心臟”，在一定的問題情境下，學(xué)生可以利用必要的學(xué)習(xí)材料，借助教師和同伴的幫助，通過意義建構(gòu)主動獲得知識。問題解決能力的培養(yǎng)為學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識提供動力，而系統(tǒng)的數(shù)學(xué)知識體系為問題的解決提供保障。問題解決能力的培養(yǎng)與數(shù)學(xué)知識體系的建構(gòu)兩者之間的互補(bǔ)與平衡有助于學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善。學(xué)生和教師是教學(xué)活動中能動的角色和要素，師生關(guān)系是互為主體、互相依存、互相配合的，師生雙方的主體性在教學(xué)過程中都應(yīng)得到發(fā)展和發(fā)揮。學(xué)生主體作用主要體現(xiàn)在學(xué)生的學(xué)習(xí)活動過程中，教師的主體作用主要體現(xiàn)在對教學(xué)活動進(jìn)行科學(xué)認(rèn)識的過程中，教學(xué)過程中教師的主導(dǎo)是發(fā)揮主體作用的具體表現(xiàn)形式。

一、問題解決的目標(biāo)

1.“問題解決”課堂教學(xué)模式的功能目標(biāo)

學(xué)習(xí)發(fā)現(xiàn)問題的方法，開掘創(chuàng)造性思維潛力，培養(yǎng)主動參與、團(tuán)結(jié)協(xié)作精神，增進(jìn)師生、同伴之間的情感交流，形成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能和數(shù)學(xué)思想方法分析問題、解決問題的能力和意識。

2.數(shù)學(xué)問題解決能力的培養(yǎng)目標(biāo)

能審題——能對問題情境進(jìn)行分析和綜合。能建模——能把實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，建立數(shù)學(xué)模型。能轉(zhuǎn)化——能對數(shù)學(xué)問題進(jìn)行變換化歸。能歸類——能靈活運(yùn)用各種數(shù)學(xué)思想和數(shù)學(xué)方法進(jìn)行一題多解或多題一解，并能進(jìn)行總結(jié)和整理。能反思——能對數(shù)學(xué)結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)和評價(jià)。能編題——能在學(xué)習(xí)新知識后，在模仿的基礎(chǔ)上編制數(shù)學(xué)問題。

二、“問題解決”課堂教學(xué)模式的操作流程：

1.創(chuàng)設(shè)情境

從數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識出發(fā)，把需要解決的問題有意識地、巧妙地寓于符合學(xué)生實(shí)際的基礎(chǔ)知識之中，把學(xué)生引入一種與問題有關(guān)的情境之中，激發(fā)學(xué)生的探究興趣和求知欲。

2.嘗試引導(dǎo)

學(xué)生在嘗試進(jìn)行問題解決的過程中，常常難以把握問題解決的思維方向，難以建立起新舊知識間的聯(lián)系，難以判斷知識運(yùn)用是否正確、方法選擇是否有效、問題的解決是否準(zhǔn)確等，這就需要教師進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo)。可用下述啟發(fā)引導(dǎo)的方式：重溫與問題有關(guān)的知識、引導(dǎo)學(xué)生對問題進(jìn)行聯(lián)想、猜測、類比、歸納、推理等。另外還可以通過組織學(xué)生開展小組討論和全班交流。

3.自主解決

讓學(xué)生學(xué)會并形成問題解決的思維方法，需要讓學(xué)生反復(fù)經(jīng)歷多次的“自主解決”過程，這就需要教師把數(shù)學(xué)思想方法的培養(yǎng)作為長期的任務(wù)，在課堂教學(xué)中加強(qiáng)這方面的培養(yǎng)意識。在操作時對于比較簡單的問題，可以讓學(xué)生獨(dú)立完成，使學(xué)生體會到運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問題的快樂。對于有一定難度的問題，應(yīng)該讓學(xué)生有充足的時間獨(dú)立思考，再進(jìn)行嘗試解決。對于思維力度較大的問題，應(yīng)在學(xué)生獨(dú)立思考、小組討論和全班交流的基礎(chǔ)上，通過合作共同解決。

4.反饋梳理

梳理是把數(shù)學(xué)知識與技能通過“同化”或“順應(yīng)”的機(jī)能“平衡”認(rèn)知結(jié)構(gòu)的必要步驟。適時組織和指導(dǎo)學(xué)生歸納知識和技能的一般規(guī)律，有助于學(xué)生更好地學(xué)習(xí)、記憶和應(yīng)用。在概念學(xué)習(xí)后，以辨析、類比等方式進(jìn)行小結(jié)。問題解決后對解題過程進(jìn)行回顧與反思，回顧問題被解決過程中所涉及的有關(guān)知識、解題方法以及理解題意的過程，反思問題開始是怎樣探索的，走過哪些彎路，產(chǎn)生過哪些錯誤，為什么會出現(xiàn)這些彎路和錯誤等。從數(shù)學(xué)知識、數(shù)學(xué)思想、學(xué)習(xí)的啟示三個層面進(jìn)行課堂小結(jié)。下面是使用上述操作程序在教學(xué)中實(shí)施的一個案例：

為了引導(dǎo)學(xué)生考慮如何解決“曲線上的動點(diǎn)到定點(diǎn)（或定直線）距離的最值”問題，首先提出如下范例。點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動，求定點(diǎn)A（0，2）到動點(diǎn)P的距離|AP|的最大值。

引導(dǎo)學(xué)生通過分析為了求|AP|的最大值可以通過代數(shù)方法消去一個變量而得到如下兩種解法：

解法一：設(shè)P（），

則≤1，則

當(dāng)時，|AP|最大值=。

解法二：設(shè)P，則

|AP|2=

當(dāng)時，|AP|最大值=。

問題1：引導(dǎo)學(xué)生可對題中哪些元素進(jìn)行變動，引起熱烈的議論和爭論，把同學(xué)們想法整理如下：

（a）將求|AP|的最大值改為求|AP|的最小值。

（b）將橢圓改為雙曲線，結(jié)論改為求|AP|的最小值。

（c）將橢圓改為拋物線，結(jié)論改為求|AP|的最小值。

上述問題出現(xiàn)了幾個重要的曲線類型，學(xué)生通過對這些問題的解決能形成解這類問題的通解通法。

問題2：老師認(rèn)為上述問題同學(xué)們都會了，看看下列問題：

（d）已知動點(diǎn)在橢圓上運(yùn)動，定點(diǎn)A（a，0）（a>0），求|AP|的最大值。

仿原范例的解法二可得如下解法：

∵|sinθ|≤1，則①當(dāng)a>3且sinθ=-1時，|AP|最大=a+1，

②當(dāng)0

（e）動點(diǎn)Q在圓上運(yùn)動，動點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動，求|PQ|的最大值。

分析：將圓的方程變?yōu)椋瑘A心A（0，2），可將問題轉(zhuǎn)化為求|AP|的最大值。從形轉(zhuǎn)化為數(shù)式的角度還可以得到問題（f）。

（f）求函數(shù)f（α，β）=（cosα-2cosβ）2+（2+sinα

-sinβ）2的最大值。

分析函數(shù)表達(dá)式的構(gòu)成，若設(shè)動點(diǎn)Q（cosα，2+sinα），P（2cosβ，sinβ），則不難發(fā)現(xiàn)f（α，β）=|PQ|2用數(shù)形結(jié)合的觀點(diǎn)，將問題轉(zhuǎn)化為（e）來解決。

問題3：歸納、綜合提高：

（g）設(shè)橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，且離心率，點(diǎn)P在此橢圓上運(yùn)動，若定點(diǎn)A（0，2）到動點(diǎn)P的距離的最大值為，求橢圓的方程，并求|AP|取最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)。

（h）設(shè)橢圓E的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率，曲線A的方程為，若動點(diǎn)P，Q分別在曲線E、A上，且|PQ|的最大值為1+，求橢圓E的方程。并求當(dāng)|PQ|取最大值時，點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)。

小結(jié)：（g），（h）分別是范例與（e）的逆命題，在（h）中運(yùn)用平幾知識求Q點(diǎn)坐標(biāo)比較方便，要注意運(yùn)用平面幾何知識解決有關(guān)問題。

若將橢圓變成拋物線或者雙曲線，將最大值改為最小值，或者再將定點(diǎn)A與⊙A改成直線，又可得到若干新的問題在此不作一一贅述了。以上由一個典型范例“中心開花”，然后或改變條件，或改變結(jié)論，得到一系列變式問題。讓學(xué)生在解決這一類問題的過程中，總結(jié)出曲線上動點(diǎn)到定點(diǎn)的最值問題的一般解決方法，并從中掌握有關(guān)數(shù)學(xué)思想。上述問題解決教學(xué)流程對學(xué)生掌握數(shù)學(xué)思想方法，提高解題能力具有優(yōu)越性，但畢竟還局限在教師的指導(dǎo)下學(xué)生進(jìn)行有效思索。更高層次的是將問題開放，將問題中的條件、結(jié)論、解題依據(jù)或方法等組成問題的四個基本要素中的二個或三個形成未知，使條件不完備，答案不確定。這有賴于教師的教學(xué)設(shè)計(jì)，提供背景，設(shè)疑激思，析疑解難，釋疑反思，體現(xiàn)了教師在教學(xué)中的“導(dǎo)”。其作用可以使主體（學(xué)生）能動態(tài)的分析可能的條件與面臨的問題之間的復(fù)雜關(guān)系，要求主體參加問題的建構(gòu)與引申，因而要解決它就不僅需要邏輯思維，還常常需要形象思維與直覺思維的積極參與。其具體的流程圖為：

在上述問題的解決過程中，教師從學(xué)生解決問題的過程中也有意外的收獲：在上述的問題（c）中，當(dāng)學(xué)生用常用的方法解決后有幾個學(xué)生提出這樣的想法：可否先假設(shè)動圓，令其與拋物線相切，兩式消去x后可得關(guān)y的二次方程，再由判別式△=0，求出r值，則最小值就是r。

幾乎沒有其他學(xué)生對這個學(xué)生的想法不表示肯定，于是教師要學(xué)生試一下：

學(xué)生：……消去x得方程y2+5y+（（4-r2）=0）令判別式△=O，得9+4r2=0。

但r居然無解！……

這時，學(xué)生覺得不可思議。于是教師可給學(xué)生提出一系列的研究性問題：

（1）這個學(xué)生的想法是否錯了？

（2）“判別式△=O”是否一定是圓和拋物線相切的充要條件？

（3）把拋物線方程換成“x2=2y”，再用上面兩種解法試一下，行不行？

（4）你能否對課堂上未完成的解法給出修改或補(bǔ)充？

（5）你能否探索出“當(dāng)拋物線x2=ay與圓x2+（y-2）2=r2相切時，a與r應(yīng)滿足的關(guān)系或條件？

以“問題、探究、交流、反思”為主線的運(yùn)用“問題解決”課堂模式的教學(xué)，要求教師的課堂教育思想和觀念從“灌輸型”向“啟發(fā)探究型”轉(zhuǎn)化。學(xué)生的學(xué)習(xí)方式從“接受性學(xué)習(xí)”向“研究性學(xué)習(xí)”轉(zhuǎn)化。師生關(guān)系從“從屬型”向“平等型”轉(zhuǎn)化。基礎(chǔ)性的數(shù)學(xué)知識體系的構(gòu)建可以通過“發(fā)現(xiàn)問題——分析問題——解決問題”的研究性學(xué)習(xí)方式來實(shí)現(xiàn)。

參考文獻(xiàn)：

[1]徐彥輝.數(shù)學(xué)解題后的“回顧與反思”與數(shù)學(xué)問題的提出[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2015，1（3）：9