基于范成原理的CTC諧波齒輪傳動柔輪齒廓的參數化設計與仿真*

2015-04-16 07:41:36許建剛

機械制造 2015年6期

□ 許建剛 □ 祖莉

南京理工大學機械工程學院南京 210094

1 概述

諧波齒輪傳動是利用機械波控制柔性齒輪的彈性變形來實現傳遞運動和動力的，屬于柔性傳動方式，在火箭、導彈、智能彈藥等航空航天和軍事領域中的應用越來越多。諧波齒輪傳動的主要構件有3個：剛輪、柔輪和波發生器。諧波齒輪傳動的特點是：傳動比范圍大；承載能力大，運動精度高；運動平穩，傳動效率高并能在密閉空間和介質輻射的工況下正常工作［1］。目前影響諧波傳動的承載能力、傳動精度、運行壽命在很大程度上取決于嚙合齒廓，現有商品化的諧波傳動產品多采用三角形柔輪齒廓或漸開線柔輪齒廓，兩種齒形具有共同的缺點，即：齒根部易疲勞斷裂，重載傳動時柔輪會發生畸變，嚴重制約了它的承載能力。

為了提高諧波傳動的承載能力，國內外學者都在研究高承載的嚙合齒廓，先后出現了圓弧齒廓、擺線齒廓等。近年來日本學者S.Ishikawa提出了“S齒形”,從理論和實踐上均證明其在改善嚙合特性、提高額定載荷等方面明顯優于傳統的齒形。S齒形新型諧波傳動已被歐、美、日諧波傳動制造商所采用，但是當柔輪齒數較少時，S齒形誤差就會增大，并且S齒形諧波傳動需要專用刀具進行加工，成本提高。目前我國很多研究人員也在研究雙圓弧齒形，在諧波齒輪傳動中采用圓弧齒廓，不但工藝上易于實現，而且可以有效地改善柔輪齒根的應力狀況和傳動的嚙合質量，提高承載能力和扭轉剛度。在國內，辛洪兵等人［2］是較早開始研究圓弧齒廓諧波齒輪傳動理論的，提出了諧波齒輪傳動不變嚙合矩陣，用數值方法證明了諧波齒輪傳動采用圓弧齒廓的合理性，為進一步研究圓弧齒廓在諧波齒輪傳動中的應用奠定了理論基礎。辛洪兵計算出柔輪采用圓弧齒廓時，剛輪與之共扼的理論齒廓，通過用嚙合圓弧對其進行逼近，得到了嚙合誤差的變化規律。曾世強等［3］對雙圓弧齒形諧波齒輪傳動進行了運動特性分析，計算了雙圓弧諧波齒輪傳動的嚙合弧長與側隙，從理論上論證了雙圓弧齒形良好的工作性能。目前，我國的技術研究人員正致力于開發提高諧波齒輪傳動嚙合剛度、承載能力和傳動壽命的圓弧齒廓諧波齒輪傳動技術，并且已經取得了前期理論研究成果［4］。

▲圖1 滾刀的基準齒形

筆者在充分應用諧波齒輪傳動研究成果的基礎上，結合S齒形嚙合優點，提出了綜合嚙合性能更優的圓弧-漸開線-圓弧（CTC）齒形新型諧波傳動，這種齒形不但在工藝上易于實現，而且齒槽較寬，能有效地改善柔輪齒根的應力狀況，減小了應力集中。利用柔輪的柔性補償性消除邊緣接觸，重載傳動下的柔輪不易發生畸變，其楔形側隙更有利于油膜形成，大大改善了嚙合質量，提高了承載能力和扭轉剛度。圓弧-漸開線-圓弧齒形諧波傳動特別適用于空間飛行器、運載工具、衛星系統、制導武器等伺服傳動系統，它將為我國飛行器伺服傳動系統的小型化、輕量化提供可靠的技術保障。

本文主要是基于范成原理，利用MATLAB軟件對CTC齒形諧波傳動的柔輪齒廓進行參數化設計及仿真。首先按照給定的柔輪齒廓參數，計算出加工該柔輪的滾刀基準齒形，其次基于范成原理，計算出柔輪齒廓，并利用MATLAB軟件實現以上功能的仿真。

2 設計滾刀的基準齒形

2.1 滾刀的基準齒形

滾刀的基準齒形是指與所設計的柔輪相共軛的基本齒條的法面齒形。本文所研究的基準齒形為圓弧-漸開線-圓弧新齒形的柔輪，與其共軛的刀具，其基準齒形為圓弧-直線-圓弧，如圖1所示。圖中：m為模數；ha*為待加工柔輪齒頂高系數；hf*為待加工柔輪齒根高系數；c*為待加工柔輪頂隙系數；α為待加工柔輪壓力角；Ra為刀具凹齒齒廓圓弧半徑；Rb為刀具凸齒齒廓圓弧半徑；xa為刀具凹齒齒廓圓弧中心橫坐標；ya為刀具凹齒齒廓圓弧中心縱坐標；xb為刀具凸齒齒廓圓弧中心橫坐標；yb為刀具凸齒齒廓圓弧中心縱坐標；x3為刀具凹齒齒廓圓弧段與中間直線段的切點橫坐標；x4為刀具凸齒齒廓圓弧段與中間直線段的切點橫坐標；x5為刀具凹齒齒廓圓弧段與齒根線的交點橫坐標；x6為刀具凸齒齒廓圓弧段與齒頂線的交點橫坐標；L1、L2、L3、L4、L5、L6分別表示圖1中的6條直線。

坐標系｛XOY｝的X軸與刀具的中線重合，Y軸與齒廓的對稱線重合。圖1中的基準齒形的設計過程為：

（1）建立坐標系｛XOY｝，在坐標系中畫出如下直線：

（2）過點（1/4πm，0）畫一條直線 L1與 X 軸的夾角為π/2+α，通過Y軸以及直線x=1/2πm的鏡像分別得到其對稱直線 L2和 L3，再過點（1/4πm，0）畫一條直線L4與X軸的夾角為α。

（3）作直線L4的雙向等距平行線L5和L6，使L5通過點（-1/4πM，-hf*M），則 L5與 L3交于點 b，L6與 L2交于點a。

（4）以點a為圓心，點a到直線L1的距離為半徑畫圓弧a′。同理，以點b為圓心，點b到直線L1的距離為半徑畫圓弧b′。

（5）在區間［0，1/2πm］內修剪掉多余曲線，得到如圖1所示的半個齒廓，再通過鏡像得到一個全齒廓。基準齒形設計完成。

2.2 滾刀基準齒形方程的建立

刀具齒根直線方程：

刀具齒根圓弧段方程：

刀具中間直線段方程：

刀具齒頂圓弧段方程：

刀具齒頂直線方程：

圖 1 中，x3、x4、x5、x6、Ra、xa、ya以及 Rb、xb、yb的求解方法如下。

方程組：

式（14）的解x記為x4，由對稱性可知：

方程組：

式（16）的解（x，y）記為（xa，ya）；則：

方程組：

式（18）的解（x，y）記為（xb，yb）；則：

方程組：

式（20）的解 x 記為 x5。

方程組：

式（21）的解 x 記為 x6。

因此，基準齒形的半個齒廓方程分段表示為：

整個齒形可由函數的對稱性和周期性得到。

3 基于范成原理的柔輪齒形設計

▲圖2 柔輪齒廓范成坐標轉換

范成法加工齒輪是利用一對齒輪互相嚙合時，以其齒廓互為包絡線的原理來加工齒輪的一種方法。在用范成法加工齒輪時，滾齒刀作切削運動，同時又和輪坯作范成運動，相當于齒條和齒輪的嚙合運動。在整個加工過程中，齒輪輪坯的節圓與齒條的節線相切，并始終作純滾動，即齒條節線在齒輪節圓上滾過的長度等于齒輪節圓上被滾過的圓弧長度，齒條齒廓的運動軌跡形成的包絡線即為齒輪齒廓［5］。根據相對運動原理，可以假設齒輪固定不動，那么范成運動就可以看成是齒條以一定角速度ω繞齒輪圓心O的轉動和以一定速度v沿其節線方向移動的合成。因此，建立兩個坐標系分別與齒條和輪坯相對固定，兩個坐標系運動關系由范成運動確定，如圖2所示。

圖2中，圓弧表示待加工柔輪的分度圓（即節圓）圓弧，R2表示輪坯的分度圓半徑，以柔輪輪坯中心A為原點，X2軸與輪坯水平直徑重合，Y2軸與輪坯豎直直徑重合，建立固定坐標系｛X2AY2｝；坐標系｛X1BY1｝為沿著輪坯分度圓作純滾動的運動坐標系，起始位置是原點B，為Y2軸與輪坯分度圓的交點，X1軸與X2軸平行，Y1軸與Y2重合；φ表示柔輪輪坯轉過的角度。

筆者研究的柔輪是標準齒輪，于是刀具的節線即為刀具的中線，因此在研究范成加工時刀具與動坐標系｛X1BY1｝相對固定，且中線與X1軸重合；齒輪輪坯與固定坐標系｛X2AY2｝固聯，輪坯中心與原點A重合，則刀具與輪坯的范成運動就轉化為動坐標系｛X1BY1｝繞固定坐標系｛X2AY2｝作純滾動。因此把刀具齒廓坐標轉換到固定坐標系中，就可以得到由刀具齒廓包絡而成的柔輪齒廓。

動坐標系原點 B（Bx，By）的位置方程為：