談對應思想及其在數學教學中的滲透

浙江慈溪市碧海學校（315300） 龔煥淼

小學數學教學內容中有兩條線索：一條是顯性的知識線索，如概念、公式、性質等；另一條是隱性的數學思想方法線索，它蘊涵、滲透在知識體系之中，是一條無形的線索。小學生由于能力、心理發展等方面的限制，往往只注意數學知識的學習，而忽視聯結這些知識的思想與方法。因此，數學教學中，教師要在抓住知識線索這條明線的同時，還要緊緊抓住隱含在數學體系中的思想方法的這條隱性線索，為學生未來的發展奠定良好基礎。

一、對應思想的內涵

對應思想是人們的思維對兩個集合元素之間聯系的一種思想方法。也就是說，一個系統中的某一項在性質、作用、位置上跟另一個系統中的某一項相當，形成一種相呼應的狀態，其本質是一一對應。

滲透對應思想的核心是使學生感悟到尋找對應關系的方法，以對應的觀點對所要解決的問題進行轉換，其關鍵在于找到可以對應的聯結點，找到一條通向已經解決的問題的途徑，這是對應思想的精髓所在。也就是說，當遇到較為復雜或隱蔽的問題時，通過對應的方法找出對應的關系，化抽象為直觀、化難為易、化繁為簡、化隱蔽為明晰，從而使問題得以順利解決。對應作為一種重要的數學思想方法，隱藏在整個教材之中，許多具體的數學方法都來源于此，是應用最普遍的數學思想方法之一。

二、對應思想在數學教學中的滲透

1.在知識形成中充分感悟——引導學生體驗對應

著名兒童心理學家皮亞杰的認知發展理論表明，6歲的孩子已經有了對應的意識。雖然小學低段數學知識比較淺顯，但也蘊含著豐富的思想方法，所以教師在小學一年級時就可以滲透對應思想來指導學生的學習。只有讓學生從小接觸對應思想，才能在以后的數學學習和應用中熟練運用對應思想，提高學生解決問題的能力。

對應思想蘊含于生活之中，如一個學生對應一個學號、一支鉛筆或一本書對應一個抽象的數字“1”等。對應思想也蘊含于數學知識的形成過程中，如“看圖寫算式”“多位數乘一位數”中利用數形對應理解數與式的概念、利用數軸滲透點與數集的對應把數軸上的點和數建立一一對應的關系等，都是滲透對應思想的好素材。在學習這些數學知識時，教師要盡可能提煉出蘊含其中的對應思想，在知識產生、形成過程中，讓學生充分體驗。

例如，教學一年級“比一比”時，為讓學生通過操作初步建立起“同樣多”的概念，教師引導時有以下兩種策略：一是數數；二是進行配對，即用一一對應的方法比較物體的多少。如小兔搬磚，一只小兔搬一塊磚，即一只小兔對應一塊磚，正好都對應上，沒有多余的，所以小兔和磚就是“同樣多”。配對時可上下一一對齊，再用虛線相連來強化對應。在這個過程中，學生初步感知了對應這一思想在數學學習中的運用。

在接下來“比大小、比多少”的練習中，對應思想也有所體現。如下面這道練習題：

教學時，教師可借助多媒體先出示7個三角形，讓學生數一數，再在三角形后面緊跟著出示10個小圓形，然后出示問題，讓學生思考好后說說自己的想法。這時，學生當然采用先數數再計算的方法。在此基礎上，教師把右邊的10個小圓形移到三角形下面，使10個小圓形通過移動逐漸與三角形一一對應起來，并顯示對應的小圓點，然后讓學生說說畫面有什么變化、這樣排列有什么好處。通過對比，讓學生感受到兩種物品對應起來一眼就能看出多多少、少多少。同時，教師還可以讓學生借助圓片和三角形，讓學生像這樣對應起來擺一擺、說一說。通過以上教學環節，使對應的方法真正被學生接受，在以后遇到類似的問題時，就自然會用一一對應思想來思考和解決問題。

2.在實踐中加強探究——引導學生初步運用對應

通過一定的體驗學習，學生已對對應思想有了一個初步的感知和認識，在接下來的學習中，教師要找準契機，引導學生初步運用對應思想，逐步培養學生用對應思想解決問題的能力。

例如，“面積和體積”的教學是先通過轉化，將未知圖形變換為已知圖形，引導學生觀察轉化前后兩種不同圖形之間的對應關系，從中建立起不同圖形之間的對應關系，再通過已知圖形面積、體積的計算方法，推導出未知圖形面積、體積的計算方法，使學生在觀察、比較、對應、推導中找到解決新問題的思路。

又如，在平行四邊形面積公式推導過程中，對應思想也深深蘊含其中，即把平行四邊形轉化成長方形后，轉化前后的兩種圖形在多處體現了對應關系。如下：

如上圖所示，長方形面積與平行四邊形面積相對應，長方形的長與平行四邊形的底相對應，長方形的寬與平行四邊形的高相對應。在此對應的基礎上，平行四邊形的面積計算公式才得以推導出來。

而在探究三角形的面積、梯形的面積和組合圖形的面積時，都是以長方形面積計算為基礎，以圖形內在的對應聯結點為線索，以未知向已知轉化為基本方法開展學習。此外，利用長方形面積計算方法推導圓面積計算公式、利用長方體體積公式推導圓柱體積公式等，無不體現著對應思想。

3.在問題解決中及時提煉——引導學生靈活應用對應

到了小學高段后，學生已對對應思想形成了一定的認識基礎，但只有進一步的運用，才能將所學知識內化為學生自己的東西。教師可讓學生用掌握的對應思想去分析與解決問題，使學生從數學思想方法的高度把握知識的本質，讓對應思想在學生心里扎根，逐漸轉化為學生內在的一種能力。

例如，在“植樹問題”教學中，教師可用對應思想統領整節課，充分地創設各種問題情境，利用點（種樹棵數）與段（間隔）的一一對應，讓學生在觀察、比較、類推中，深刻地理解種樹的棵數與間隔數之間的關系，從而建立解決“植樹問題”的一般模型。

小學數學中蘊藏著各種可運用對應思想進行解答的內容，教師應重視在平時的教學中，以具體數學知識為載體，有意識、有針對性地進行教學，引導學生領會蘊含其中的數學思想方法，揭示它們的本質與內在聯系。若干年后，數學知識可能被遺忘，但相應的數學思想方法會一直伴隨著學生，使其一生受益。