“一葉知秋”的啟示──由一道錯例對“分數的意義”內容進行深度解讀與改進

浙江上虞區百官小學城北校區（312300） 陳卓英

“一葉知秋”是指從一片樹葉的凋落知道秋天的到來，比喻通過個別的細微的跡象，可以看到整個形勢的發展趨向與結果。同樣，在教學上，只要看看學生的作業情況，就可以大致了解到教師的教學是成功的，還是失敗的。下面這個案例，也許能給我們一些啟示。

一、案例背景

原人教版數學課本第十冊第四單元中有這樣一道習題：“把一根4米長的木料平均分成5段，每段是這根木料的（ ），每段長（ ）米。”該題反饋時，發現全班有50%的學生將兩個括號里的答案互相交換了位置，約有40%的學生在兩個括號里均填寫為4／5，10%的學生在第二個括號里填寫 5／4、1／4、1／5 等分數。

筆者在與學生訪談中，發現他們經常會混淆代表具體量和代表分率的兩個分數，還有對用除法解決平均分問題時總愛用“大數÷小數”，而不管誰是總數，誰是份數。后來通過老師的講評，學生訂正了錯誤，可再過幾天，出現類似題目，學生又會頻頻出錯。于是，筆者不禁思考：“學生為什么在講評和多次練習后，還是重復錯誤呢？這說明了什么問題？”

二、剖因溯源

“兩個分數不小心交換了位置”和“除法總是用大數除以小數”這兩個問題看起來微小，卻體現了學生的認知心理，反映了學生認知上的某種障礙。筆者認為主要原因不外乎以下三種。

(一)教材編排方面

對于“分數的意義”內容，原人教版數學教材分兩個階段安排：第一階段安排在三年級上冊，主要是把一個物體或一個圖形看作一個整體；第二階段安排在五年級下冊，主要是把很多物體或多個圖形看作一個整體，概括出單位“1”，并將分數的意義拓展到兩種含義（即表示一種關系和表示具體數量）。教材這樣編排，一方面我們感到分數意義理解的輕重失衡。翻閱原人教版三年級～五年級的數學課本，教材中沒有安排獨立的課時來研究用分數表示數量，所以和學生在第一學段已建立起“部分和整體的一種關系”相比，分數代表一種數的內容過于單薄。另一方面，我們感到不利于學生學習分數意義的正遷移。教材先讓學生理解分數表示“部分和整體的一種關系”，再概括分數的意義，然后學習分數與除法的關系，最后認識分數表示一種關系的另一種意義，這樣編排于無形中割裂了分數的兩種意義，使學生的學習不能發生正遷移，必然造成錯誤理解所學的概念。

(二)教師方面

如教學“分數的意義”時，教師不能很好地把握分數意義的教學重點，忽視了知識結構的前后連貫，隨著知識難度的增加，原本隱藏的問題開始暴露。

(三)學生方面

由于上述題目中的兩個問題非常相似，又比較抽象，很多學生面對問題弄不清是求具體的數量，還是求部分與整體的關系。以前在低年段學習求每份數時，總數都大于份數，結果一般能被份數整除，而到了高年段，學生的思維還是原先的水平，當遇到求具體數量且結果不是整數時，就無從下手了。

三、曲徑通幽

基于前面的原因分析，在對教材進行深度解讀后，筆者改進教學，從而使教學更有效。

策略（一）：重組教學內容，均衡分數的兩種意義

針對原教材中分數兩種意義的教學失衡，筆者覺得可以對有關分數的內容進行整合處理，有助于學生比較好地理解分數的意義。

階段1：三年級上冊──強化認知基礎，拓展分數意義的理解。

由于三年級學生是在整數認識的基礎上學習分數意義的，所以筆者嘗試讓學生在分水果的過程中體會分數產生的必要性，強調“平均分”是分數的本質特征。

（1）通過把4個草莓、2個橘子、1個蘋果分給兩個同學的操作，引出“平均分”。

（2）每人得到多少個？學生列式計算，師板書：被除數÷除數＝商。

（3）理解“一半”的意思，引導學生建構1／2的意義。

①把1個蘋果平均分成2份，每份是多少？根據除法的意義，想一想，怎么列式？1÷2表示什么意思？1÷2＝？

②引出 1／2，說說 1／2 的意思。

③剛才我們從蘋果中找到了1／2，那你能從圖形中找出1／2嗎？（活動操作過程略）

（4）類比遷移，認識幾分之一（略）。

（5）初步感知整體“1”。

師（小結）：由于整體的個數不同，它們的1／2所表示的個數也不一樣。

（6）認識分數各部分的名稱（略）。

設計思路：從分數的引入開始就把整體“1”的均分和單個“1”的均分結合在一起認識，使學生接納分數時就較好地建構起比較完整的分數意義。

階段2：五年級下冊──改變編排結構，完善分數認知系統。

“分數的意義”的學習主要是對三年級分數認識系統的完善，教學時筆者除了重點揭示單位“1”和認識分數單位外，還把原本分兩個課時教學“分數的意義”與“分數和除法的關系”的新授整合在一節課中嘗試教學。

（1）分數與除法關系的認識。

①老師買了6個餅，平均分給3個人，每人得到多少個？

生：6÷3＝2（個）。

②1.5個餅平均分給3個人，每人得到多少個？

生：1.5÷3＝0.5（個）。

……

師：觀察這些算式，你發現分數與除法有什么關系？

師（小結）：看來，兩個數相除，商不僅可以用小數來表示，也可以用分數來表示。

③如果用字母a表示被除數，b表示除數，誰可以用字母來表示這種關系？（板書：a÷b＝a／b）

師：a／b是a÷b的商，在這里它表示一個具體的量，有時也表示一種關系。

設計思路：以除法的含義為解決問題的主線，讓學生感受到解決問題的方法是一樣的，只是商的表達方式不同。這樣教學，不僅讓學生比較清楚地認識到分數和除法之間的關系，又能讓學生理解分數可以表示具體數量，為后續學習分數表示分率做好準備。

（2）單位“1”的認識。

①師：看到a／b，你會想到哪些分數？（生答略）

師：請舉例說說1／4的含義，也可以畫圖表示。

②學生反饋交流（略）。

（3）師：在表示1／4的過程中，有什么共同點？（都是平均分成4份，取了其中的1份）有什么不同的地方？（分的物體不同）

（4）在分數與除法、具體量與分率的溝通中認識單位“1”。

（5）師（小結）：我們把一個整體平均分成若干份，這樣的一份或幾份都可以用分數表示。這個整體可以用自然數1來表示，通常把它叫做單位“1”。表示其中的一份的數叫分數單位。

設計思路：這里抓住1／4這個突破口，強化1／4的含義，引導學生理解雖然單位“1”不同，但都是用分數1／4表示。通過圖的變換，讓學生對單位“1”是一個物體的認識，逐步拓展到單位“1”是多個物體的認識，進一步理解單位“1”和分數單位。

策略（二）：指導學習方法，引領分數的兩種意義

分數是小學數學學習中的一個重點，尤其是剛開始接觸分數時，學生對于正確區分量、率更是個難點。教學中，教師可給學生提供適當的學習方法，讓學生在學習新知時收到事半功倍的效果。

1.單位區分。

如上述題目，分析時可以先從題目的字面入手，引導學生仔細審題，觀察這兩個問題有什么異同。通過比較，學生發現第一個括號后面沒有單位，而第二個括號后面是有單位的。如“每份占總量的幾分之幾”“甲是乙的幾分之幾”所表示的就是分率，分率是沒有單位的；如“每段長幾分之幾米”“每份是幾分之幾”所表示的就是具體數量，數量是有單位的。第一個問題“每段是這根木料的幾分之幾”，求的是分率，以木料的全長為標準；第二個問題“每段長幾米”，求的是數量。

2.數形結合。

我們可以借助畫線段圖或示意圖等方法來幫助學生理解題意，從而把抽象的問題變為直觀圖形。如上述錯例分析中，可以引導學生根據題意分別畫出兩幅線段圖。如下圖：

師：圖1是把誰看做單位“1”？（整根木料）平均分成幾段？（5段）其中的一段就是表示“每段是這根木料的幾分之幾”，用算式表示是1÷5＝1／5。圖2是把誰平均分成5段？（4米長的木料）每段是多少米？用算式表示是4÷5＝4／5（米）。

策略（三）：拓展題目類型，強化分數兩種意義

認識分數與除法的關系后，可以設計一些專門區分分數兩種意義的對比練習題，以便學生更好分辨“什么時候是一種關系，什么時候是具體的數量”“什么時候該加單位，什么時候不該加單位”。如下：

（1）基礎練習。

①一根5米的鋼管平均截成8段，每段是這根鋼管的（ ），每段長（ ）米。

②同學們到植物園參觀，用25分鐘走了2千米，平均每分鐘走（ ）千米。

（2）拓展練習。

①小明做完以下三項作業要2小時，其中做作業用了1／2小時，聽英語用了1／4小時，那剩下的體育鍛煉要用幾小時？

②小明做完以下三項作業要2小時，其中做作業用了所有時間的1／2，聽英語用了1／4，那剩下的體育鍛煉用了全部時間的幾分之幾？

筆者對于三年級和五年級兩次教學分數的內容各有側重，從教學情況和效果來看，雖然仍有很多不成熟的地方，但能幫助學生比較完整地掌握分數的兩種意義，為今后小數乘除法、分數乘除法等計算教學和相關的解決問題的教學做好鋪墊。