關于高中數學立體幾何問題的解析方法研究

【摘 要】高中數學教學中，不可避免的接觸到立體幾何的學習，立體幾何作為高中階段重要的一門課程知識，不僅僅和三角運算有著緊密的聯系，同時也是高考的重點難點之一。對于如何做好高中數學立體幾何問題的解析方法教學始終是高中數學教學領域研究的熱點之一。本文主要從函數思想對高中數學立體幾何問題的解析方法作了主要的研究。

【關鍵詞】高中數學;立體幾何;問題解析方法;研究

對于高中數學立體幾何而言，如何對立體幾何問題有效的解析始終是學生和教師關注的問題。立體幾何問題作為一種抽象化的問題，其核心主要是距離、垂直、平行以及夾角之間的關系，并依據于相關的定理和概念，對各種幾何圖形的不同分割加以使用，進而做好立體幾何問題的解析。

一、高中數學函數思想對立體幾何問題的解析

函數思想對立體幾何問題進行解析的過程中，更加注重函數關系的構造，實現化難為易的目的，并借助于函數的性質和證明不等式等，做好立體幾何問題的解答。如高中數學中這一例題而言：如圖1所示，PA和圓O所在的平面垂直，同時圓O的直徑是AB，C是圓周上的一點，若∠BAC=α，同時PA=AB=2r，對異面直線PB和AC之間的距離進行求解。

圖1

在求解的過程中，首先就要對直線AC和PB之間距離進行分析，盡可能的將直線PB上任何一點到直線AC之間距離的最小值求出，并對變量進行設定對目標函數進行建立，進而將目標函數的最小值求出。首先就要在PB上將任意一點M取出，并保證MD和AC垂直于D，同時MH和AB垂直于H。假設MH=x，同時MH和平面ABC垂直，同時AC和HD垂直。

MD2=x2+[（2r-x）sinα]2

=（sin2α+1）x2-4rsin2αx+4r2sin2α

=（sin2α+1）[x-2rsin2α/1+sin2α]2+4r2sin2α/1+sin2α

MD值最小的時候，只有x=2rsin2α/1+sin2α，兩異面直線的距離也即是MD的最小值。該題型在解答的過程中，主要是將兩條異面直線的距離向異面直線上兩點之間的距離進行轉換，進而對其最小值進行求解。這種解析方法主要是對函數的性質加以利用，進而對立體幾何做的一種解答。

二、高中數學空間幾何思想解決立體幾何中垂直和平行問題

高中數學立體幾何問題解答的過程中，更要對立體幾何的相關知識結構進行詳細的分析，并對線和面之間的知識以及面與面平行的相關知識進行全面的分析，盡可能將其向向量之間的平行和向量共面之間的問題進行轉換，進而實現一種化難為易的解答。

假設某一平面π的法向量是 ，同時直線L的方向向量為 ，而兩條直線Lm和Ln的方向向量為 m和 n，其平面π1和平面π2的法向量為 1和 2，在對上述問題進行分析時，可以借助于向量之間的關系進行表示：

Lm∥Ln？圳 m∥ n？圳 n=k m，k∈R ?（線線平行）

L∥π？圳 ⊥ ？圳 · =0 ?（線面平行）

π1∥π2？圳 1∥ 2？圳m2=k 1，k∈R ?（面面平行）

對于空間幾何圖形的垂直關系而言，不僅僅有線與線之間的垂直，同時也存在線與面的垂直和面與面的垂直。這種向量之間的轉化，主要如下所示：

線線垂直主要表現為Lm⊥Ln？圳 m⊥ n？圳 m· n=0

線面垂直主要表現為L⊥π？圳 ∥ ？圳 =k ，k∈R，（同時 和π內的兩個相交直線的方向向量相互垂直）

面面垂直主要表現為π1⊥π2？圳 1⊥ 2？圳 1· 2=0

三、高中數學空間立體幾何問題距離和夾角的利用解析

在高中數學空間立體幾何問題求解的過程中，就要借助于距離和夾角的一些條件，進而運用向量的運算，做好高中數學空間立體幾何問題的求解。

點到平面的距離：點P為平面外一點，點A為平面內的任一點，平面的法向量為 ，過點P做平面π的垂線PO，記∠OPA=θ，則點P到平面的距離

d= = cosθ= ?=

假設兩條直線Lm和Ln的方向向量 m和 n，設θ為兩條直線之間的夾角，則cosθ=cos< m， n>= 進行確定。

假設直線L和平面上π上的投影夾角用θ表示，平面π的法向量是 ，同時直線l的方向向量為 ，則sinθ=cos< ， >= 。

同時設兩平面的夾角為θ，而平面π1和平面π2的法向量為 1和 2，一旦0≤（ 1， 2）≤ ，兩個平面之間的夾角為< 1， 2>，同時當（ 1， 2）> ，兩個平面的夾角為π-< 1， 2>，因此也即是cosθ=cos< 1， 2>= 。

總而言之高中數學空間立體幾何問題距離和夾角的利用解析的過程中，主要是借助于平面外一點到平面的距離的合理計算，并對異面直線間的距離進行計算，進而獲得的一種新的求解。在對高中數學立體幾何中動態問題進行解析的過程中，主要是借助于函數的思想進行解決，一旦遇到立體幾何角度問題時，就要本著動態的眼光，進而對空間幾何思想加以借助向量，進而使得立體幾何中相對復雜的問題逐漸的簡單化。

四、結語

高中數學立體幾何問題作為高中教學中的重點和難點，在實際的解析中，更要借助于向量和函數之間的關系，并對幾何圖形中幾種常見的關系進行詳細的分析，對合適的空間直角坐標系加以建立，對當前我們所學的立體幾何圖形中的一些向量關系，進而在立體幾何中將線與線和線與面之間的關系找出，最后就要正確合理的運用向量之間的關系，將相應的立體幾何問題進行全面的解析。

【參考文獻】

[1]劉軍.無幾何不數學——談高中數學立體幾何教學[J].課程教育研究，2014，（19）：151-151，152

[2]劉先祥.談中數學立體幾何教學[J].南北橋，2014，（5）：162-162

【作者簡介】

趙偉婕（1971，10）浙江省寧海縣，浙江省寧海縣正學中學，一級教師，任教高中數學（人教版）

（作者單位：浙江省寧?？h正學中學）