數學開放題的五個層次

【摘要】數學開放題可分為五種不同的層次：第一個層次為“一題多解”；第二個層次為“一題多變”；第三個層次為以跨學科的概念為主題的數學任務；第四個層次為以工業設計為主題、基于學生小組活動的數學任務；第五個層次為以現實主題和角色扮演的方法布置的復雜的數學探索問題。它們適合小學生在日常課堂中、課外興趣小組以及夏令營中使用。

【關鍵詞】數學教育；開放題；五個層次

【中圖分類號】G622.3 【文獻標識碼】A 【文章編號】1005-6009（2015）05-0019-02

【作者簡介】1.安嵩，美國德克薩斯大學教育學院（美國德克薩斯州，79902）助理教授，數學教育哲學博士，博士生導師，《數學教育學報（美國）》總編助理；2.Danile Tillman，美國德克薩斯大學教育學院（美國德克薩斯州，79902）助理教授，教育科技哲學博士，博士生導師。

是否需要向美國等西方國家學習數學教育的方法，是近二十年教育研究者、教師和家長們熱烈爭論的話題之一。其中關于開放式的教學模式是否適用于中國課堂的討論尤為激烈：一方面的觀點認為，美國創新性人才層出不窮是源于美國提供給了學生足夠的開放空間，讓學生無拘無束地發揮想象力；另一方面的觀點認為，美國基礎教育薄弱，相比于在應試體制下成長的中國學生而言，美國學生的數學能力明顯不足。

目前，讓教師學會擺脫對學生布置那種已經有唯一標準答案的和需要使用常規方法來解決的數學問題，是美國數學課程研究者的重點研究課題之一。雖然教育研究者們反復強調，數學課需要大量引入基于生活的、能夠吸引學生積極投入數學思考的問題，但是能夠廣泛地在各個學校里普遍推廣的課程還極其有限。一個優秀的數學教師要具備自己設計和改編每一道題目的能力。

本文將簡要介紹我們對開放題的研究成果：數學開放題可分為五種不同的層次，它們適合小學生在日常課堂中、課外興趣小組以及夏令營中使用，并取得了一定的成果。

第一個層次：“一題多解”

“一題多解”是第一個層次的數學開放題。要解決此層次的數學問題，需要學生在使用非常規思維的情況下，使用高層次的思維來獲取并且驗證答案。

比如：“請列舉出三個數，讓三個數之和等于54”，針對這樣的開放題，需要學生運用逆向思維的方式和代數的思維方法，在大腦中進行多次猜想和運算，利用三個“未知數”之間的關系去得到一組答案。解決此題，學生不僅可以使用加、減法，還可以使用乘、除法，甚至可以列舉方程。在比對不同解題方法和不同答案的同時，可以加深學生對“變量”的理解，為以后學習代數打下堅實的思維基礎。

第二個層次：“一題多變”

“一題多變”是第二個層次的數學開放題。要解決此層次的數學問題，需要學生聯系多個數學學科概念（包括算術、幾何、統計、概率和代數等）。

比如：“請在世界杯決賽階段找出30項與數學有關的數據，并根據你的數據排列出你心目中的世界杯最佳陣容”，解決此題目，學生需要通過觀看世界杯的比賽，閱讀每場比賽的數據，并時刻留意與數學相關的細節，從而得到屬于自己的答案。解決此類問題時，不僅需要學生同時考慮若干數學概念（包括時間、空間），還需要他們利用其間的聯系去組織數學內容從而得出結論。

第三個層次：以跨學科的概念為主題的數學任務

以跨學科的概念為主題的數學任務是數學開放題的第三個層次。要解決此層次的問題，需要學生在不同學科之間尋找聯系，在探索數學學科之外的某一個主題（如物理、化學、生物、音樂、美術等）時，利用數學知識獲取結果。

比如：“請觀察水在植物生長中的作用，并且用實驗來驗證你的發現”，解決此題，需要學生利用自己所學的生物學知識，來選取某一個植物進行實驗。在實驗中利用數學測量的方法獲取數據，用數學方法分析數據，最后用數學方法來展示數據并報告最終的結論。此層次的數學任務可以提高學生對數學與其他學科之間的聯系的認識，有利于學生樹立起正確的數學價值觀。

第四個層次：以工業設計為主題、基于學生小組活動的數學任務

以工業設計為主題、基于學生小組活動的數學任務是第四層次的數學開放題。解決此層次的問題，學生可以做到寓學于樂，在探索數學的同時又能創造出可以使用的某種產品。

比如：“請用電腦設計出一款新型的廚房用具（比如湯勺），并用3D打印機打印出自己的產品，請計算如何利用最少的材料制作出有最大容積的湯勺”，要解決此題，學生不僅要在這項工業設計中利用各種幾何知識（包括未學的），考慮自己設計的產品在生活中的實用性，還需要自己設計計算方法來測量它的容積及其所需要的材料的體積。學生在進行工業設計和制造的過程中可以有機會了解數學所起的作用，通過與班里其他同學的產品進行比較，學生可以知道什么樣的設計最好，還可以知道為什么那樣的設計比較好。

第五個層次：以現實主題和角色扮演的方法布置的復雜的數學探索問題

以現實主題和角色扮演的方法布置的復雜的數學探索問題是開放題的最高層次。解決此層次的問題，學生需要在共同協商的情況下，通過收集數據、數學計算、圖形表達來找到一個最佳的而不是唯一的問題解決方案。

比如：教師可以讓學生分組選取并扮演不同的社會角色（如工程師、環保工作者、醫生、政治家、商人等），來商討“如何在確保經濟發展的情況下有效地治理首都圈的霧霾問題”。此題目中有諸多變量，且其中的關系并非此消彼長的簡單線性關系，扮演不同角色的學生要通過圖書館、互聯網、檔案室等收集與自己職業相關的數據、文件和資料，并且要在制訂自己的預案時兼顧其他職業角色的需求，以統計數據和數學模型為依據，提出一個各方可以共贏的方案。此層次的開放題可以讓學生在探索數學、利用數學的同時，為社會實際存在的重大問題找到可能的解決方案，有利于學生樹立正確的職業選擇和人生理想。

在中小學階段，我們的教育目的并不是把學生都培養成數學家，而是要培養學生掌握通用的“數學語言”和縝密的思維能力，并為他們以后接受高等教育的專科（特別是理工科類的專業）學習打好基礎。

我們眼中的開放，是一種貫穿學校學科的開放和連接學校與生活的開放。成功的開放性數學教學應該基于一些與實際生活緊密相關的活動，比如讓學生通過開展工程設計、軟件設計、城市規劃等活動來探索數學和應用數學。課外的以及非正式的教育，也是學生積累學科和綜合知識的另一個重要的渠道，博物館、天文臺、動物園、植物園、體育館、火車站、超市等都可以成為學生進行自主探索的場所。只有接受、包容和理解學生數學學習過程中遇到的困難，順應學生的成長需求，才能真正做到數學教育的開放。

高質量的數學教育是需要在數學概念、數學過程以及實際生活間貫通的。數學教師和課程設計者需要解放自己的思想，開放自己的思維，把一些“看似與數學無關”的課題（比如城市交通規劃、環境保護、科技創新、國家政治等）作為數學探索的主題。

我們堅信：讓學生在解題過程中培養和發展創造力，遠比得到一個正確的答案重要得多。當學生可以自覺地把數學作為一種有效地處理生活中的各種問題的“工具”時，我們才能有信心讓我們的學生以后在航天工程、生物科技、人工智能、軟件開發、建筑設計及其他任何需要數學的領域成為棟梁之才。■