求函數值域中的大類總結思維方法

周立偉

摘 要：函數值域的求法是高中數學中教材并不直接說明，但是卻具有較大實用價值的一個重要內容，也是學生學習中的難點。嘗試采用大類總結的思維方式，對各種常規函數的值域求法進行一個跨章節跨知識點的集中總結。所謂大類總結，指的是打亂章節設置和知識點排列，從思維方法的類別上入手，把不同知識點整理到同一板塊的題型中去，形成立體的知識網絡。

關鍵詞：函數 值域 大類總結

中圖分類號：G424 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）11（b）-0241-02

通過近幾年數學教學實踐，筆者發現學生在函數的學習方面有著不小的問題。究其原因，主要在于學生從初中的數學思維層次躍升到中職或者高中的數學層次時，有很多不適應的地方。筆者所從教的中職數學教學內容基本和高中內容相同，因此，以下均簡稱為高中數學。

如果初中數學的特點用“方程”二字可以概括的話，那么高中數學的特點就可以用“函數”二字進行總結。高中數學在很多的知識點里，均引入了變量和參數的概念，從初中機械的公式套用，轉變到現在的靈活多變，分類討論和數形結合的基本思維方法，更是貫穿始終，成為高中數學的一大亮點，當然，同時也成為了很多學生心目中的一大難點。

在從事數學教學實踐的過程中，筆者發現，如果不能及時引導學生完成數學思維的跨越，則學生根本無法應對數學中如此龐雜和靈活的解題技巧，也達不到高考的基本要求。因此，在不斷地改進教學方法的同時，筆者也在進行很多思考，試圖能把許多學生望而生畏的數學，變得豐富多彩一些和簡單易學一些。在這些筆者嘗試過的教學方法中，“大類總結”是一個非常有實效的方法。這種方法打亂章節設置和知識點排列，從思維方法的類別上入手，把不同知識點整理成一串，用具體思維過程作為其聯系的紐帶。這種總結與循序漸進的章節學習配合起來，能構成一張縱橫交錯的立體知識結構，對學生的數學學習大有裨益。

針對學生們普遍叫難的函數值域求法，筆者根據上述的教學思維理念，做了一個書面的嘗試，并在幾個年級進行了實驗。現將大致過程和內容記錄如下。

基本初等函數分為：正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數等。若將其中的幾個綜合起來，則可以得到一些更復雜的函數。但是萬變不離其宗，圍繞著基本初等函數的相關性質，很多值域的問題還是可以得到解決的。

函數值域的常規解法，可大致分為以下九類。

（1）配方法。

二次函數或形如類的函數。二次函數在給出區間上的最值有兩類：一是求閉區間上的最值；二是求區間定（動），對稱軸動（定）的最值問題。求二次函數的最值問題，勿忘數形結合。

（3）換元法。

換元法指的是通過觀察，也可通過解析式變形，在函數的解析式中，得出一些具有相同形式的元素，設其整體為一個新的變量，達到換元的目的。但是，使用換元法時要注意跟學生強調，務必考慮這個新變量的取值范圍。

例3：求下列函數的值域。

以上9類求函數值域的求法，筆者對學生戲稱為“獨孤九劍”，在使用時要能針對具體題型進行方法歸類，在記憶和鞏固的時候一定要特征鮮明，并且不斷地進行練習和加強。

此項內容若編寫成教案，應該合理安排課時，再多添加一些新的練習題，并可根據學生情況進行刪減。根據筆者實踐，普通高中學生對該思維方法掌握得較好，內容較適中，但中專學生基礎略差，上述9類方法要刪去一些，根據2015年上海市教委教研室頒布的新的《中職數學課程標準》，有些內容作了較大的調整，因此，在具體教學時，要再進行例題的組合和整理。此外，這些求函數值域的辦法，也可以在學生的數學課外興趣班里進行嘗試，對于學生全面了解《函數》這一章的知識結構和前后傳承，有很大的幫助。

由于大類總結的方法往往打破了教材上的章節界限，因此，可能需要在相應章節教授完畢后，以專題或者復習課的方式拿出來進行講授。這樣對于構建數學學科的知識縱向網絡是有很大幫助的。如果高三或者高復班的教師用來進行高考第二輪復習，也應具有一定的實用價值。

參考文獻

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