率相關晶體塑性本構方程顯式數值算法

范昌勝　鄭燦偉

摘 要：該文采用歐拉向前迭代算法求解率相關晶體塑性本構方程。通過引入位錯密度演化模型來考慮晶體變形的滑移阻力。基于該模型，研究了晶體材料的變形特性及位錯演化。結果表明，該模型預測的材料流動應力特征與實驗相符，位錯密度演化大于某一應變值時，即可達到穩態；采用該算法可以極大的提高計算效率。

關鍵詞：本構模型 數值求解 滑移阻力 歐拉向前迭代法

中圖分類號：TG316.3 文獻標識碼：A 文章編號：1674-098X（2015）11（b）-0001-02

多數金屬多晶體材料表現出流動應力隨晶粒尺寸的減小而增大，隨試件厚度方向尺寸的減小而減小。當試件尺寸繼續減小至微米量級以下時，金屬材料的流動應力會隨著試件尺寸減小而明顯增大[1]，這歸因于在微米量級尺度以下時，金屬材料的應力與應變梯度有關。基于位錯機制的晶體學理論可描述這種多晶體流動應力由于尺度效應所表現出的強化效應[2]。通過位錯沿晶體滑移系的滑移是晶體材料的塑性變形的主要實現方式[3]。

早期許多學者對該理論的數值求解算法進行了大量的隱式迭代算法理論研究。采用歐拉向前迭代法求解了高階晶體塑性本構方程[4]，例如文獻[4]以Gleeble-1500熱物理模擬試驗為基礎，研究了熱壓縮變形過程中不同變形速率和形變溫度對流變應力的影響。通過線性回歸確定了鑄態42CrMo鋼的應變硬化指數以及形變激活能，結合試驗數據擬合了該物質高溫條件下的流變應力本構方程。

1 構建數學模型

2 晶體塑性模型顯式求解算法及參數確定

該文基于歐拉向前迭代法求解率相關晶體塑性本構方程。晶體塑性本構方程主要是關于參數m（）的非線性相關方程，如果采用傳統的求解算法如牛頓迭代法，不但求解效率低而且計算結果不穩定。因此，采用顯示歐拉迭代即第N步的計算結果作為第N+1步的初始值。這樣，可以極大的降低計算時間，還能滿足計算精度。

在整個求解過程中，主要確定變形梯度的塑性部分。首先由有限元程序讀入材料變形總的變形梯度，然后由文獻[5]的方法求解變形梯度的塑性部分。當變形梯度的塑性部分計算出來后，算出變形梯度的彈性部分。然后，由公式計算出變形的彈性應力，基于此，求出每個晶粒的柯西應力。從而，求出晶粒變形的分解剪應力及由于位錯密度的演化而造成的滑移阻力。除了與材料性質有關的參數外，其它參數均需通過模擬擬合所得與實驗對比進而確定參數的具體數值。

3 結果與討論

采用該文算法求解本構模型所得到的應力——應變曲線。若模型不考慮加工硬化現象，則應力表現為隨應變增大而增大。若考慮軟化效應，則應力表現出平臺效應，即當應變達到一定值時，應力不再發生變化。在較低應力下，加工硬化率較高，回復軟化較難進行；隨應力升高，空位原子擴散以及位錯進行交滑移、攀移的驅動力增大，從而更容易發生動態再結晶。模型反應出的應力-應變變化趨勢與實際實驗現象相似，也證明了該文采用顯示算法的可靠性。

通過模擬所得位錯密度隨應變演化規律。若考慮加工硬化效應，則位錯隨應變的增大而始終增加。這與應力——應變曲線中的應力隨應變增大效應一致。若考慮動態軟化效應，則在初始階段（應變<0.05），位錯密度隨應變增大而增大；當應變>0.2時，位錯密度幾乎達到穩態值，不隨應變的變化而變化，這一現象與應力-應變曲線中的考慮動態軟化的應力趨勢相同。

4 結語

該文采用歐拉向前迭代算法求解率晶體塑性本構方程，并通過實例驗證求解算法的可靠性與準確性，得到如下結論。

（1）采用顯示歐拉向前迭代算法，不但降低了計算時間而且可以保證模擬所需計算精度；（2）若考慮硬化效應，則通過該文模型預測所得應力隨應變的增大而增大，而位錯密度也隨應變的增大而增大；（3）若考慮動態軟化，則當應變達到某一值，應力及位錯密度均不在隨應變的增大而增大。

參考文獻

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[5] Kothari M，Anand L，1997.Elasto-viscoplastic constitutive equations for polycrystalline metals：application to tantalum[J].Journal of the Mechanics & Physics of Solids，1998，46（1）：51-83.endprint