基于聲學模態的橢圓截面擴張腔聲學分析*

王 偉，倪計民，李玉琦，金 暉

(1.奇瑞汽車有限公司發動機工程研究院，蕪湖 241009； 2.同濟大學汽車學院，上海 201804)

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2015202

基于聲學模態的橢圓截面擴張腔聲學分析*

王 偉1，倪計民2，李玉琦1，金 暉1

(1.奇瑞汽車有限公司發動機工程研究院，蕪湖 241009； 2.同濟大學汽車學院，上海 201804)

利用馬丟函數來求解橢圓雙曲柱坐標系下的聲波方程，獲得聲壓的解析解，進而求得橢圓柱腔的聲學模態，并利用聲源激勵法分析橢圓截面擴張腔的傳遞損失。與同截面積圓型擴張腔相比，橢圓截面擴張腔的傳遞損失在(2,1,n)偶階模態處產生通過頻率。將進、出口偏移至長軸(2,1,0)偶階模態的波節線處，可消除(2,1,n)偶階模態的影響；將進、出口偏移至短軸(0,2,0)偶階模態的波節線處，可消除(0,2,n)偶階模態的影響。

橢圓截面擴張腔；聲學模態；傳遞損失；通過頻率

前言

汽車消聲器一般布置在汽車下方，它不僅要滿足汽車動力性的要求，也要滿足通過性的要求，在布置空間上受到限制，因此往往采用橢圓截面。對橢圓柱腔體的研究，最早源于電磁波的傳播[1-3]。文獻[4]中用有限元來分析橢圓截面擴張腔的聲學性能。國內也有人利用有限元來研究進、出口位置對橢圓消聲器傳遞損失的影響[5-6]。

本文中建立基于橢圓雙曲柱坐標系的聲波方程，利用初始條件和邊界條件求解三維聲學模態與頻率，然后利用聲源激勵和模態疊加法，研究離心率和進、出口位置對傳遞損失的影響。

1 橢圓柱腔聲學模態與傳遞損失

1.1 橢圓柱腔的聲波方程和聲學模態

為求解橢圓柱腔聲波方程，引入橢圓雙曲柱坐標系，如圖1所示。基于橢圓雙曲柱坐標系的聲波方程[7]可描述為

(1)

式中：p為聲壓；h為半焦距；k0為波數；z為軸向變量；ξ為徑向坐標，代表共焦橢圓族，0≤ξ≤∞；η為角坐標，代表共焦雙曲線族，0≤η≤2π。ξ坐標與η坐標正交。定義橢圓的離心率e=h/a，a為橢圓長軸半徑，而經推演得e=sech(ξ)。

利用分離變量法，聲壓變量可表示為

p(ξ,η,z,t)=Φ(ξ,η)Z(z)T(t)

(2)

式中：t為時間變量；Φ(ξ,η)是ξ和η的函數；Z(z)是軸向變量z的函數；T(t)是時間變量t的函數。

將式(2)代入式(1)，聲波方程變為

(3)

假定Φ(ξ,η)=Ξ(ξ)Η(η)，其中Ξ(ξ)是ξ的函數，H(η)是η的函數。將Φ(ξ,η)代入式(3)，通過分離時間t和z軸變量后，可以得到：

d2H/dη2+(λ-q2cos2η)H=0

(4)

d2Ξ/dξ2-(λ-q2cosh2ξ)Ξ=0

(5)

式中：λ和q是本征值。式(4)稱為馬丟(Mathieu)方程，式(5)稱為虛宗量馬丟方程。

利用馬丟方程，結合剛性壁面條件，可以得到周期方程(或稱角頻率方程)：

(6)

(7)

(8)

(9)

式中：c0為聲速；L為柱腔的z軸向長度；n為對應z軸方向的模態階數。

下面計算一具體橢圓截面柱腔的聲學模態。橢圓截面長軸半徑a=107.5mm，短軸半徑b=70mm，離心率e=0.76，z軸長度L=150mm。利用式(6)和式(7)計算出偶模態和奇模態本征值，如表1所示。受篇幅所限，表1中最高本征值僅顯示到(2,2)階。在表1的基礎上，利用式(8)和式(9)，計算出偶模態頻率和奇模態頻率，如表2所示。

表1 本征值

表2 模態頻率

為理解橢圓截面的聲學模態，利用聲學有限元計算出偶、奇模態云圖(振型)，分別如圖2和圖3所示。

1.2 基于聲源激勵法的傳遞損失

所謂點源激勵就是在入口設置聲源作為激勵源，經過特定的聲學空間，在出口獲得聲壓值，利用出口聲壓和入口聲源強度來計算系統的頻率響應函數。一旦獲得橢圓消聲器的外形尺寸，那么利用模態疊加法，就可以獲得橢圓腔的聲學響應。根據諧波的特性，聲腔入口與出口的聲學變量之間的關系可以用四極子來表示：

(10)

式中：p和u分別表示聲壓和質點速度，下標1和2分別表示入口和出口。式(10)還可以轉化為

(11)

式中Hij表示坐標i點的聲壓對坐標j點體積速度的頻率響應函數。式(10)和式(11)中四極子參數的關系為

(12)

(13)

(14)

(15)

(16)

橢圓截面擴張腔的傳遞損失表達式為

(17)

2 橢圓截面擴張腔消聲特性分析

2.1 通過頻率

將1.1節提到的橢圓柱腔連接半徑為20mm的進出口管后，變成橢圓截面擴張腔。利用聲源激勵法計算它的傳遞損失，結果如圖4所示。為了便于分析，圖4上標注了聲學模態階數，其中模態標簽中的“E”指偶模態，“O”指奇模態。E(0,1,2)階模態頻率與O(2,1,1)階模態頻率重合，頻率越高，這種模態頻率重合現象越多，因此本文中主要研究低價模態對消聲性能的影響。從圖4中可以看出，E(0,1,1)階、E(2,1,0)階、E(2,1,1)階和E(0,1,2)階模態頻率成為傳遞損失的通過頻率。(1,1,0)階和(1,1,1)階不管偶模態還是奇模態，都未產生通過頻率；(2,1,1)階和(2,1,2)階的奇模態也未產生通過頻率。E(0,1,1)階和E(0,1,2)階是兩個典型的軸向模態，它由腔體軸向長度決定。對照圖2和圖3，未產生通過頻率的模態云圖原點都是波節區，而(2,1,n)偶階模態位于波腹區。結合模態理論，當擴張腔入口位于某階模態的波節區時，該階模態無法被激發；如果擴張腔出口位于某階模態的波節區，則該階模態的影響被極大衰減。

2.2 離心率對傳遞損失的影響

離心率是橢圓本征的一個重要參數。本節對截面積相等，離心率不同的橢圓擴張腔進行傳遞損失的研究。圓是橢圓的一種特殊形式，它的離心率是0，加入0.5離心率的方案，結合前文中已有0.76離心率的方案，共有3種離心率方案，詳見表3。

表3 離心率方案

圖5對比3種不同離心率擴張腔的傳遞損失。E(0,1,n)模態作為軸向模態，對應的通過頻率不受離心率的影響。隨著離心率的降低，同階模態頻率升高，同階偶模態和奇模態頻率也越來越接近。對于e3方案，E(2,1,0)階模態通過頻率影響周圍頻率的傳遞損失；但對于e2方案，偶模態和奇模態頻率由于比較接近，較窄的頻率范圍受E(2,1,0)階通過頻率的影響。而對于圓形截面方案，偶模態和奇模態頻率完全一致，此時(2,1,0)階模態原點完全變為波節區，此模態不會產生通過頻率。如果用圓形截面代替橢圓截面進行擴張腔傳遞損失計算，會漏掉一些通過頻率。同等截面積條件下，圓形截面擴張腔的消聲性能最好。

2.3 進出口位置對傳遞損失的影響

根據模態理論，如果將入口或出口放置在E(2,1,0)階或E(0,2,0)階的波節線上，則可消除這些模態產生的通過頻率。對于E(2,1,0)階模態，位于長軸上的波節點與原點距離約為45mm；對于(0，2，0)階模態，位于短軸上的波節點與原點的距離約為36mm[8]。圖6顯示4種不同的進、出口布置方式，方案1與2.2節方案e3相同。

圖7對比了出口偏置對傳遞損失的影響。方案2的出口偏置到E(2,1,0)階模態的波節線上，不但消除E(2,1,n)低階模態通過頻率的影響，還在E(1,1,n)低階模態處產生共振峰值，增強消聲效果。方案3的出口偏置到E(0,2,0)階模態的波節線上，它消除了E(0,2,n)低階通過頻率的影響，同時還增強O(1,1,n)低階模態處的消聲效果。方案2對低頻通過頻率的消除作用明顯。

圖8顯示了進、出口同時偏置對傳遞損失的影響。方案4進口偏移到(2,1,0)階模態的波節線上，出口偏移到(0,2,0)階模態的波節線上。它兼顧了方案2和方案3的優點，在3 000Hz范圍內，消除了除E(0,1,n)軸向低階模態之外其他模態產生的通過頻率。而E(0,1,n)軸向低階模態產生的通過頻率，可通過采用內插管的方式來消除。

3 試驗分析

利用消聲器插入損失試驗對前面的模擬結果進行分析。試驗臺架系統如圖9所示，噪聲測試儀器為ND2型精密聲級計。

試驗僅對2.2節的方案e1和2.3節的方案1和方案4進行對比，如圖10所示。3個消聲器在1 250Hz以前的中心頻率帶，插入損失相同。方案1中，消聲器受E(2,1,0)和E(2,1,1)階模態影響，1 600和2 000Hz中心頻率處消聲量降低。方案4中，提高1 600和2 000Hz中心頻率的消聲量，達到圓形截面消聲器的水平。另外，方案4消除了傳遞損失在2 300～3 000Hz內的通過頻率，其插入損失在2 500Hz的消聲量得到提升。

4 結論

相比圓形截面，基于橢圓截面的擴張腔會產生更多的通過頻率，降低消聲性能。但是通過研究聲學模態，如果將進、出口設置在低價通過模態頻率的波節線上，則可消除該模態通過頻率的影響。

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Acoustic Analysis on the Expansion Chambers withElliptical Cross-section Based on Acoustic Modes

Wang Wei1, Ni Jimin2, Li Yuqi1& Jin Hui1

1.EngineEngineeringResearchInstitute,CheryAutomobileCompany,Wuhu241009;2.SchoolofAutomotiveStudies,TongjiUniversity,Shanghai201804

Mathieu function is used to solve the sound wave equation under elliptic-hyperbolic cylindrical coordinate with the analytical solutions of sound pressure obtained. The acoustic modes of cylindrical chambers with elliptical cross section are further acquired and sound source excitation method is employed to analyze the transmission loss of expansion chamber. Compared with expansion chamber with round cross section of same area, the transmission loss of expansion chamber with elliptical cross section generates passing frequency at even mode (2,1,n). With its inlet and outlet moving onto the nodal line of even mode (2,1,0) on the major axis of expansion chamber, the effects of even mode (2,1,n) can be eliminated; while with its inlet and outlet moving onto the nodal line of even mode (0,2,0) on the minor axis of expansion chamber, the effects of even mode (0,2,n) can be eliminated.

expansion chamber with elliptical section; acoustic modes; transmission loss; passing frequency

*國家863計劃項目(2008AA11A148)資助。

原稿收到日期為2013年8月29日，修改稿收到日期為2013年12月9日。