基于天棚控制的半主動懸架建模及穩定性分析*

龐 輝，付文強,劉 凱,李 強

(西安理工大學機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

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2015199

基于天棚控制的半主動懸架建模及穩定性分析*

龐 輝，付文強,劉 凱,李 強

(西安理工大學機械與精密儀器工程學院，西安 710048)

為探究時滯因素對開關天棚控制半主動懸架動態穩定特性的影響，以含時滯的開關天棚控制半主動懸架模型和時滯微分方程理論為基礎，并運用Lyapunov穩定性理論，提出該懸架控制系統失穩臨界時滯求解的理論分析和數值計算方法；利用數值解法求得不同被動基值阻尼和可切換阻尼減振器阻尼系數下懸架系統的失穩臨界時滯量及全(非全)時滯漸進穩定域；最后，通過建立含時滯開關天棚控制半主動懸架系統仿真模型，分析得到時滯對半主動懸架動特性的影響規律。結果表明，當時滯量達到臨界值時，懸架系統穩定性將嚴重惡化。本研究為含時滯開關天棚控制可切換阻尼半主動懸架控制系統的時滯補償及其穩定性控制策略的制定奠定基礎。

半主動懸架；時滯；天棚控制；穩定性

前言

近年來，磁流變阻尼器半主動懸架系統的研究與應用受到國內外廣泛關注。基于天棚阻尼控制的磁流變阻尼器半主動懸架因其控制簡單，能耗低，阻尼可調節，性能可靠，且通過合理選擇相關參數，可消除懸架系統共振現象，對改善車輛乘坐平順性、操縱穩定性和行駛安全性均具有重要作用，在各型車輛上均有廣泛應用[1]。

天棚阻尼控制是半主動懸架的經典算法[2]，可根據懸架的相對速度和車身絕對速度的符號來切換軟硬阻尼設置，從而對半主動懸架進行最優的反饋控制，具有結構簡單、性能可靠，能耗低、阻尼切換速度快、工程控制易于實現等優點[3]，但是，由于天棚開關控制的半主動隔振系統具有時延性，未能很好地解決操縱穩定性問題。作為控制系統不可避免的時滯問題，其時滯因素包括：由傳導線和A/D、D/A轉換裝置產生的傳輸時滯、振動結構的阻尼時滯、控制器建立控制并計算控制律所引起的計算時滯和作動器的反應時滯等[4]。基于天棚開關控制，半主動懸架作為控制阻尼力可變的自反饋控制系統，時滯因素的疊加效應對懸架性能的影響更加明顯，嚴重時可導致半主動懸架系統喪失運動穩定性，出現影響行駛安全的輪跳現象等懸架失穩問題。

目前，國內外學者對含有時滯的半主動控制懸架開展了大量研究[5-10]，主要聚焦于懸架遲滯非線性特性對汽車平順性影響規律等方面的研究，而對考慮時滯的天棚開關控制半主動懸架系統的失穩機制和建模分析則少有討論。為此，本文中以考慮時滯影響下的天棚開關控制1/4車輛模型為研究對象，首先建立含時滯半主動控制策略下的懸架數學模型，推導出懸架振動系統的時滯運動微分方程，通過分析得到含時滯懸架振動系統的臨界失穩條件、失穩機理及其精確數值解；然后，通過數值仿真分析含時滯天棚開關控制半主動懸架系統的被動基值阻尼系數、減振器“開”狀態阻尼系數和臨界失穩時滯時間的變化規律；最后得到路面激勵下時滯對懸架動態穩定特性的影響規律。

1 含時滯半主動懸架模型與動力學方程

1.1 含時滯1/4車輛懸架

[11]，建立了汽車1/4車輛含時滯實際天棚開關控制半主動懸架系統力學模型簡圖，如圖1所示。半主動懸架設計的目的是改善車輛的動特性，故要求該模型可精確地模擬分析車輛的垂向動力學特性并考慮懸架系統的時滯因素，車輛及其半主動懸架相關的等效參數見表1。

表1 2自由度半主動懸架參數

1.2 含時滯懸架動力學方程

(1)

考慮時滯量τ對懸架系統的影響，式(2)加入了時滯項，由達朗伯原理可得天棚控制可切換阻尼的半主動懸架系統的“開”狀態單時滯運動微分方程[7]為

(2)

(3)

其中：

2 半主動懸架系統時滯穩定性理論分析

根據含時滯的常系數線性系統微分方程理論[12]，式(2)的通解形式為

zr(t)=Xreλt，r=1,2

(4)

式中：Xr為zr經過拉氏變換的變量解；λ為特征值。將此通解帶入式(2)，推導整理得到該齊次微分方程組所對應的特征方程形式如式(5)所示，并由微分方程組式(2)非零實數解條件，得到式(5)恒等為零。

(5)

由線性常系數時不變微分方程的Lyapunov穩定性判據[13]可知，時滯系統漸進穩定的充要條件是式(5)系統特征方程的全部特征根均為負實數，或者具有負實部的共軛復根(系統傳遞函數所有極點必須位于[s]平面左半部，線性系統才穩定)，故系統臨界失穩的條件是式(5)僅有純虛根λ，假設λ=jω，系統將呈現以固有頻率ω為基頻的自激振動，將特征根λ=jω代入式(5)，并利用歐拉公式分離其實部與虛部，可得式(5)僅有純虛根的條件為

(6)

經過化簡可得

X=m1m2ω4-(m2k1+m2k2+m1k2)ω2+

k1k2=0

(7)

Y= [k1-(m1+m2)ω2]·[c+cs(sin(ωτ)-

cos(ωτ))]·ω=0

(8)

為求得時滯系統臨界失穩時滯量，式(8)應滿足無復數根條件，可得到僅含自激振動頻率ω的最簡高次多項式為

b2ω4+b1ω2+b0=0

(9)

式中：b2，b1和b0分別為與懸架等效參數相關的多項式系數。

通過Matlab數值求解得式(9)的精確實根解ω，將該ω代入式(8)中即可解出該懸架系統失穩的臨界時滯量τc。由式(8)可知，適當選擇一定范圍的懸架系統參數，可使基頻ω無實根，則系統失穩的臨界條件不復存在，懸架系統對于任意時滯恒穩定，由式(9)求得系統自激振動基頻為ω=+4.5227Hz，由式(8)可得

(10)

根據懸架參數表1中數值，求得該天棚阻尼控制半主動懸架系統臨界失穩時滯量的精確數值解，并通過Matlab數值求解得到在基值阻尼系數(0～4 200)和天棚開狀態切換阻尼系數 (0～+25000)范圍內存在臨界時滯量τ1=0.4266s，τ2=0.1422s和τ3=0.2415s，其分別表示滿足式(10)的特征數值解。

3 數值仿真

根據所建立的含時滯懸架模型和選用的天棚控制半主動懸架控制策略，本文中通過仿真分析在Matlab中對該懸架系統的臨界時滯量τc進行數值求解，分析懸架基值阻尼c與天棚開狀態切換阻尼cs對時滯(非)穩定區的影響規律，并且根據求解所得臨界時滯量τc，在Simulink中建立考慮時滯的1/4車輛半主動懸架模型，通過仿真分析可得：①被動懸架控制；②不考慮時滯控制(時滯量τ=0)；③臨界失穩時滯量τ3=0.2415s3種情形下時滯因素對懸架系統動力特性的影響規律，最終分析可得時滯量τ與懸架穩定性的變化曲線。

3.1 基值阻尼與天棚開狀態切換阻尼的懸架穩定性分析

根據式(9)和式(10)以及表1中前4個參數值，利用Matlab求解懸架系統中不同基值阻尼c和天棚開狀態切換阻尼cs情形下的臨界失穩時滯量[14]τc，結果如圖2所示。

由圖可見：

(1) 懸架系統參數范圍一定時，超過時滯曲線0.426 6s的臨界時滯量τc代表懸架系統是全時滯漸進穩定的，表示在時滯因素影響下，懸架系統喪失運動穩定性后重獲動態穩定性的系統特征時滯量轉折點，各時滯量曲線分別表示懸架系統非全時滯穩定域(0.142 2～0.426 6s)內臨界失穩的邊界曲線；

(2) 由式(10)和圖2可得，當懸架系統參數一定，并且天棚開狀態切換阻尼cs調節范圍確定時，在基值阻尼c確定的情形下，天棚開狀態切換阻尼cs增大，系統臨界時滯量τc減小，并且對于給定的天棚開狀態切換阻尼cs，隨著基值阻尼c的增大，臨界時滯量τc增大，當天棚開狀態切換阻尼cs足夠小、基值阻尼c足夠大且基值阻尼c大于天棚開狀態切換阻尼cs時，懸架系統將快速進入全時滯漸進穩定區域；

(3) 為了更加清晰地說明被動基值阻尼c與天棚開狀態切換阻尼cs平面內的全(非全)時滯漸進穩定區域，同樣基于式(9)和式(10)求解，可另外得到圖3和圖4的曲線。

圖3示出在基值阻尼系數c，天棚開狀態切換阻尼cs平面上，全時滯穩定性3個不同區域，即非全時滯漸進穩定區域Ⅰ區、全時滯非穩定區域Ⅱ區和全時滯漸進穩定多域Ⅲ區的劃分，由圖中可以看到基值阻尼c、天棚開狀態切換阻尼cs對全時滯穩定性區域的影響[15]。

圖4則示出全時滯穩定性區域在臨界時滯量曲面上的劃分。由圖可明顯看出，臨界時滯量τc與基值阻尼c和天棚開狀態切換阻尼cs之間的關系。天棚開狀態切換阻尼cs確定時，隨著基值阻尼c的增大，臨界時滯量τc減小；但當基值阻尼c足夠大(約大于5 000N·s/m)時，系統進入全時滯漸進穩定Ⅲ區，臨界時滯量τc將隨基值阻尼c的增大而迅速增加。Ⅲ區時滯量明顯大于Ⅰ區，在該區域內懸架系統天棚開狀態切換阻尼cs變化范圍較小，時滯通道受限，而系統臨界時滯量τc非線性增加并穩定存在，使得懸架系統在所屬(c，cs)區域內能夠避免出現振動失穩現象， 即便意外時滯失穩也能最快恢復穩定態。

圖4中Ⅱ區為懸架系統全時滯非穩定區域，懸架系統Ⅱ區的時滯量最小，該區內懸架天棚阻尼開狀態切換時，懸架基值阻尼c、天棚開狀態切換阻尼cs比重呈此消彼長變化，而其臨界失穩時滯量τc呈現出一定的非線性隨機不穩定性，使懸架系統實際時滯量極易超過其最小臨界時滯(量)穩定裕度，導致系統意外失穩，出現較危險的輪跳現象；同時，懸架系統也會因時滯速度通道開關狀態阻尼切換而發生畸變，呈現出對微擾動極為敏感的混沌失穩現象，這都將惡化車輛操縱穩定性、行駛安全性和乘坐舒適性。

圖4中Ⅰ區為懸架系統非全時滯漸進穩定區域，Ⅰ區臨界時滯量大小介于Ⅱ區和Ⅲ區之間，跨度最大，區內懸架天棚開狀態切換阻尼cs變化范圍增大，時滯通道充分放大，而該特定區域內，懸架保持穩定性的最小臨界時滯(量)穩定裕度呈類線性比例穩定存在，在各類時滯疊加影響下，懸架系統實際時滯容易大于其最小臨界時滯(量)穩定裕度，因而可能出現懸架失穩現象。

3.2 路面激勵下時滯對懸架動特性影響分析

根據表1給定的懸架系統參數，可采用時域均方根法來分析汽車懸架結構振動性能的動態評價指標。通過對比分析被動懸架、不考慮時滯因素影響(時滯量τ=0)，考慮時滯因素影響(臨界時滯量τ3=0.2415s)時的天棚阻尼半主動懸架控制系統的動特性時域曲線、時滯量(τ=0～0.65s)范圍內時滯量與懸架運動穩定性變化曲線及數理統計結果分別如圖6～圖8、圖9～圖11和表2所示。

通過分析曲線和數據可得如下結論。

(1)時滯時間量作為影響天棚阻尼控制半主動懸架系統的客觀因素，對于懸架動特性的影響表現不一。與被動控制懸架相比，時滯量τ的增加總會增大輪胎動載荷，惡化懸架系統的運動安全性；時滯對于車身加速度、懸架動行程均有一定程度地振蕩衰減作用，直至漸進臨界時滯量(τ3=0.2415s)，時滯將全面惡化半主動懸架系統的動態特性，導致懸架系統意外失穩。

(2)時滯能夠振蕩減小車身加速度，可改善車輛行駛平順性，直至臨界時滯量，時滯將使得車身加速度振動幅值劇增，嚴重惡化車輛的乘坐舒適性。

(3)懸架動撓度并不隨時滯量τ的增大而呈現單調變化，在臨界失穩時滯時刻，時滯使得懸架動撓度值激增，將嚴重惡化車輛操縱穩定性。

(4)時滯會惡化輪胎-路面附著效果，至臨界時滯量時，輪胎附著效果變差并產生周期性跳動現象，并且隨時滯量的增大，輪跳周期縮短而幅值波動變化，輪胎喪失良好的抓地性能，車輛行駛安全性被嚴重破壞。

表2 隨機路面激勵下時滯對半主動懸架動特性影響統計

注：表中車身加速度、懸架動撓度和輪胎動載荷的變化各有兩欄數據，其中，第1欄表示相對被動控制變化的百分比；第2欄則表示相對天棚開關控制變化的百分比。

(5)由圖9～圖11所示時滯時間與懸架運動穩定性變化曲線可知，因時滯時間的存在，車身加速度、懸架動撓度、輪胎動載荷均會隨著臨界失穩時滯量的出現而呈現出劇烈增加趨勢直至最大，懸架運動穩定性嚴重破壞，當時滯量(τ≥0.4266s)為漸進穩定時滯時刻時，三者呈現周期性波動，其幅值變化周期縮短而峰值衰減，車輛懸架系統喪失運動穩定性后逐漸恢復穩定。

(6)時滯總是會惡化車輛行駛安全性，在臨界失穩時滯量處，懸架系統全面喪失運動穩定性，伴隨含時滯懸架系統漸進穩定時滯量(τ1=0.4266s)的出現，懸架振動系統由此重新進入漸進穩定平衡態。

(7)相較于不考慮時滯的天棚開關控制半主動懸架控制系統(τ=0)，時滯因素(臨界時滯τ3=0.2415s)對懸架性能的影響遵從上述(2)～(5)保持不變；在現實條件下，時滯作為直接影響懸架運動性能的客觀因素，將時滯量τ限定在較小范圍內，可使懸架系統具有較好的平順性，對改善車輛操縱穩定性、安全性及輪胎附著性能有一定的現實意義。

4 結論

本文中基于含時滯的1/4車輛天棚開關控制半主動懸架動力學模型，結合理論分析、數值求解與仿真實驗，分別給出了懸架系統臨界時滯量τc與基值阻尼c、天棚開狀態切換阻尼cs之間的關系，討論了含時滯天棚開關控制半主動懸架控制系統的時滯漸進穩定性機理，獲得了時滯因素對天棚控制半主動懸架系統動特性及懸架動態穩定性的影響規律，為解決懸架系統時滯預估補償策略的研究奠定了堅實基礎。

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Modeling and Stability Analysis of Semi-Active Suspension with Sky-hook Control

Pang Hui, Fu Wenqiang, Liu Kai & Li Qiang

SchoolofMechanicalandPrecisionInstrumentEngineering,Xi’anUniversityofTechnology,Xi’an710048

For investigating the effects of time delay factor on the dynamic stability characteristics of semi-active suspension with switch sky-hook control, based on semi-active suspension model with time-delay switch sky-hook control and the theory of delay differential equations, and by applying Lyapunov stability theory, the methods of theoretical analysis and numerical calculation are proposed to find the critical time delay of that suspension control system. Then with the methods, the critical time delay resulting in instability and the asymptotic stability region of non-arbitrary and arbitrary time delay of suspension system are obtained under different passive damping and the damping coefficients of shock absorber with switchable damping. Finally, a simulation model for the switch sky-hook control semi-active suspension with time delay is built, and the rules of the effects of time delay on the dynamic characteristics of semi-active suspension are analyzed. The results show that the stability of semi-active suspension will seriously deteriorate when time delay approaches its critical value. This study lays a foundation for setting up the strategies of time-delay compensation and stability control for the semi-active suspension control system with time delay switch skyhook damping control.

semi-active suspension; time delay; skyhook control; stability

*國家自然科學基金(51305342)、陜西省自然科學基金(2014JQ7240)、陜西省教育廳科研計劃項目(2013JK1027)和校博士科研計劃(102-211204)資助。

原稿收到日期為2015年7月2日，修改稿收到日期為2015年8月19日。