從“收斂”到“極限為零”

丁志帥，張志猛

摘要：本文通過對兩類問題“從級數(shù)的收斂性與數(shù)列的單調(diào)性得到數(shù)列極限”、“從反常積分的收斂性與函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性態(tài)”進行詳細(xì)分析，將其推廣成更有一般意義的問題，并給出證明。

關(guān)鍵詞：級數(shù);反常積分;單調(diào)性

中圖分類號：O174???? 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A???? 文章編號：1674-9324（2014）41-0275-03

1 引言

在考研輔導(dǎo)書及數(shù)學(xué)分析的習(xí)題集上我們經(jīng)常會碰見有如下特點的一類問題，這類問題的主要條件是具有某種形式的級數(shù)或反常積分是收斂的，結(jié)論是具有另一類形式的數(shù)列或函數(shù)極限等于零。下面是從數(shù)學(xué)分析的教輔或題解上遇到的問題（具體解答參看參考文獻(xiàn)）。

1.1[1]已知正項級數(shù)■a■收斂，a■單調(diào)遞減趨于零，則■na■=0.

1.2[2]已知級數(shù)■a■收斂，a■單調(diào)，則■na■=0.

1.3[3]已知級數(shù)■a■收斂，na■單調(diào)，則■a■nlnn=0.

還有相應(yīng)的無窮積分的結(jié)論，可以做一下對比。

1.4[4]已知無窮積分■f（x）dx收斂，f（x）單調(diào)遞減，則■f（x）=0.

1.5[2]已知無窮積分■f（x）dx收斂，f（x）單調(diào)，則f（x）=o（■）.

1.6[2]已知無窮積分■f（x）dx收斂，xf（x）單調(diào)，則■f（x）xlnx=0.

本文通過對這類問題的詳細(xì)分析，發(fā)現(xiàn)均為“從級數(shù)的收斂性與數(shù)列的單調(diào)性得到數(shù)列極限”、“從反常積分的收斂性與函數(shù)的單調(diào)性得到函數(shù)在無窮遠(yuǎn)處的性態(tài)”，我們將其推廣為更一般的形式。首先給出本文將用到的引理。

引理：（微分中值不等式）若f（x）在R上可導(dǎo)，則？坌x■∈R，都有

f（x■）-f（x■-1）≤f'（x■）≤f（x■+1）-f（x■）？搖（其中f'（x）單調(diào)遞增）

f（x■+1）-f（x■）≤f'（x■）≤f（x■）-f（x■-1）（其中f'（x）單調(diào)遞減）

證明：由Lagrange中值定理知，存在ξ∈[x■-1，

x■]，使得■=f'（ξ）

所以inf{f'（x）：x■-1≤x≤x■}≤f（x■）-f（x■-1）≤sup{f'（x）：x■-1≤x≤x■}

若f'（x）單調(diào)遞增，則f'（x■-1）≤f（x■）-f（x■-1）≤f'（x■）;

若f'（x）單調(diào)遞減，則f'（x■）≤f（x■）-f（x■-1）≤f'（x■-1）.

2 主要結(jié)果

為方便書寫，定義ln[-1]■x=ln（-1）x=1，ln■[0]x=ln（0）x=x，ln（k）x=lnln（k-1）■x，ln[k]■=ln（k）xln（k-1）■x（其中k∈N）

命題1：已知無窮積分■f（x）dx收斂，f（x）ln[k-1]■x是單調(diào)函數(shù)，則■f（x）ln[k]■x=0.

命題2：已知級數(shù)■a■收斂，a■ln[k-1]■n單調(diào)，則■a■ln[k]■n=0.

要想解決這兩個難題，只參考書上的辦法很難行通，雖然用同樣的思路是可以解決的，但中間的過程程異常麻煩，甚至無法表達(dá)清楚。本文就試圖用統(tǒng)一的辦法解決這個問題.

定理1：已知無窮積分■f（x）dx收斂，可微函數(shù)G（x）單調(diào)遞增趨于正無窮，G'（x）恒不為零，■單調(diào)，則■■=0（條件中所有式子在[a，+∞]間均有意義）.

證明：不妨設(shè)■單調(diào)遞增，我們首先證明■≤0.

反證：若？堝x■使得■≥c>0，則？坌x≥x■，■≥c>0，于是f（x）≥cG'（x），所以■f（x）dx≥

c■G'（x）dx=+∞，矛盾。故有■≤0（？坌x≥a）.

∵G（x）單調(diào)遞增趨于正無窮，故■G（x）單調(diào)遞增，因此G（x）有反函數(shù)，令y（x）=G■（■G（x））.則G（y（x））=■G（x），y（x）≤x（x≥a）.再由柯西收斂準(zhǔn)則知，？坌ε>0，？堝M>0，使得？坌x■>y（x■）>M（當(dāng)x充分大時，G（x）>0，故y（x）

ε>■f（x）dx=■■■■dx≥■■G'（x■）dx=■（G（x■）-G（y（x■））=■

故■■=0.同理，對于■單調(diào)遞減的情況，類似證明.

定理2：已知級數(shù)■a■收斂，b■=■，c■=G（n），anbn單調(diào)，則■a■b■c■=0。其中的G（n）滿足定理1中的條件，并且G'（n）單調(diào)。

證明：不妨設(shè)G'（x）單調(diào)遞減，anbn單調(diào)遞減.先證明anbn≥0.

反證：若？堝n■和c使得a■b■≤c<0，則？坌n≥n■，都有anbn≤c<0，則a■≤cG'（n），所以■a■

c■（G（n）-G（n-1））=c■G（n）-G（n■-1）=-∞？搖？搖（1）矛盾。所以，anbn≥0.其中（1）式是由于G'（x）單調(diào)遞減，滿足引理條件，故G（i）-G（i-1）>G'（i）>G（i+1）-G（i）.由定理1的證明過程可知G（n）存在反函數(shù)，令y（n）=G■（■），其中a=max{nn≤a}被稱為地板取整函數(shù).于是G（n+1）-G（y（n））≥■+■-G（y（n））≥■

則由柯西收斂準(zhǔn)則知，？坌ε>0，？堝M>0，使得？坌n■>y（n■）>M，都有

ε>■a■=■■>■G'（i）■

>■（G（i+1）-（G（i））■

=G（n■+1）-G（y（n■））？搖■≥■

所以：■anbncn=■■=0.

還有三種情況：（1）G'（x）單調(diào)遞增，a■b■單調(diào)遞減;（2）G'（x）單調(diào)遞減，a■b■單調(diào)遞增;（3）G'（x）單調(diào)遞增，a■b■單調(diào)遞增。同理，都可類似證明。

綜上所述，■anbncn=■■=0

最后給出開始的兩個命題的證明：取G（x）=ln■x單調(diào)遞增趨于正無窮，G'（x）=■恒不為零，滿足定理1的條件，所以命題1成立。又G'（n）=■單調(diào)遞減（n充分大時），滿足定理2的條件，所以命題2成立。

參考文獻(xiàn)：

[1]歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳璋.數(shù)學(xué)分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2007.

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[4]舒陽春.高等數(shù)學(xué)中的若干問題解析[M].科學(xué)出版社，2005