有限單元法課程教學探索

譚曉慧，侯曉亮，查甫生

摘要：以研究生有限單元法課程教學為例，指出采用“理論講解、程序驗證、軟件計算”相結合的方式來組織教學可有效提高教學效果，培養研究生利用有限元方法分析問題、解決問題的能力，促進創新思維的激發及科研實踐能力的提高。

關鍵詞：有限單元法;課程教學;創新能力

中圖分類號：G642.0???? 文獻標志碼：A???? 文章編號：1674-9324（2014）41-0185-03

一、引言

增強自主創新能力，建設創新型國家，關鍵在于人才，尤其是創新型人才的培養。研究生教育是培養創新型人才的一個主渠道，如何在新形勢下進一步提高研究生的創新意識和創新能力，具有重要的戰略意義。創新能力培養是研究生教育的核心內容，是提高研究生培養質量的重要任務。研究生培養質量的提高及創新型人才的培養關鍵要落實到具體課程的教學上。有限單元法作為一種相對成熟的數值計算方法，是很多工科專業研究生進行數值計算、解決工程實際問題必不可少的工具之一。它是一門理論與實踐相結合的課程，不僅需要學生有系統的理論分析能力，還需要很強的工程實踐能力。有限單元法是一門相對較難學的課程，學生在一定時間內掌握它比較困難。如何提高有限單元法教學效果是一個急需解決的問題。為了培養研究生的創新能力，通過有限單元法的教學，應使學生在理論學習、程序編制及軟件使用上都有所收獲，培養學生的工程建模、數值計算及結果分析的能力。因此，本文結合對我校地質工程專業研究生進行有限單元法課程的教學實踐，探討提高教學效果、培養研究生創新能力的一些方法。

二、傳統教學方法存在的問題

有限單元法是力學、地質、土木、水利、機械等多數工科專業研究生學習中一門重要的學位課程，它綜合運用了矩陣論、數值分析、彈塑性力學等知識，是將理論知識運用于解決工程問題的重要工具，是培養研究生創新能力的一門重要課程。但是，長期以來，這門課程的教學偏重于理論講解及有限元軟件包的介紹，而忽視了對有限元程序的教學。這導致學生在學完這門課程后，雖然對有限元理論有了一定的理解，也能使用商品化的通用或專業有限元軟件，但他們無法將有限元理論的具體內容與商品化的有限元軟件聯系起來，不清楚有限元軟件的理論基礎。由此造成的后果是：學生學習了成堆的公式，但不知這些公式與大型軟件有何內在聯系，對理論學習沒有熱情;學生盡管能熟練使用商業有限元軟件進行數值計算，但不清楚軟件的計算原理，對有限元軟件的模塊結構及功能也理解不透徹，因此很難基于現有的軟件進行二次開發，提高創新能力。

三、創新教學方式的探討

為了克服傳統教學方法中存在的問題，培養研究生的創新力，在教學過程中，以“理論講解、程序驗證、軟件計算”相結合的方式來組織教學。通過“程序驗證”這一中間環節，將純理論的知識點程序化，建立起理論與軟件間的聯系橋梁，避免學生對理論與軟件理解的脫節。

1.理論講解。基礎理論知識的學習是保證教學效果的前提。對于理論講解部分，要進行教學內容的優化設計，提高授課質量。有限元法是一個龐大和復雜的理論體系，需要有較深厚的數學及力學基礎知識，學生在一定時間內掌握有限元法比較困難，因此如何提高有限元法教學效果成為一個急需解決的問題。由于教學時數的限制，要結合授課對象的專業特點及培養目標，研究具體的授課內容，構建課程的知識結構，并在授課之初向學生講清楚這一知識結構。有限單元法理論性強，所涉及到的基礎知識較難，有些內容學生一時難以理解與掌握。但是，有些知識點與后續學習沒有太多的必然聯系。教師在課程講授的過程中，應注重引導學生對課程知識結構的總體理解，不要因為局部難點而阻礙了對后續內容的學習熱情。通過教師的理論講解，學生應該能夠理解基礎的計算理論及各知識點的物理意義，理解有限單元法的本質、方法與思想，學會用有限單元法分析具體問題的思路、步驟及需要注意的問題。以地質工程的有限單元法課程為例，理論教學的主要內容有：有限單元法的基本理論;有限元法在地質及巖土工程中的應用。這些理論內容涉及大量公式及其推導。因此，在教學過程中，使用多媒體進行授課是必不可少的。在講授公式推導時，應注重講解公式推導的思路，而公式推導的細節則可留給學生自己分析。對于若干形式上相同但實質上又不同的公式，要注意引導學生分析公式間的差別。

2.程序驗證。學習有限元的目的是為了應用。通過理論講解，學生學習了大量的理論公式，也學習了使用有限單元法解決實際問題的思路。由于理論的復雜性，必須將這些公式轉化為相應的計算程序，才可對實際問題進行分析計算。否則，必將導致理論學習與實際應用的脫節。將有限元理論用程序表示出來非常復雜。讓學生編寫完整的有限元程序難度太大;而且由于商用軟件的普及，學生也不一定要編寫完整的有限元程序。但是，有限元程序是從理論走向軟件應用的必由之路，新理論、新算法等研究成果也都需要通過程序來實現。因此，程序的學習對于有限元課程是非常必要的。為了發揮學生的學習主動性，我們的做法是：將學生分成若干組，給每個組選擇一個既具有代表性又相對簡單的有限元程序供學生學習，讓學生閱讀程序，并繪出詳細的程序流程圖。多年的教學經驗告訴我們，多數學生的編程基礎相對較差，對太長的程序也有畏難情緒。因此，在選用程序時，盡可能選擇內容簡單、短小精練的程序。通過比較，我們選擇了文獻[8]的部分主程序作為教學程序。文獻[8]采用結構化方法進行編程，而且對于很多具體功能采用子程序的形式予以表示，這大大減少了主程序的長度，非常有利于學生對程序的閱讀理解。在引導學生閱讀程序并繪制流程圖時，首先只要求學生能看懂每一條語句;當該語句需要調用子程序時，只要求學生了解該子程序的功能及其對應的輸入輸出變量，而不必關注該子程序的具體內容。因此，這一任務對學生來說較為簡單，學生都比較有興趣，并繪出了質量較高的流程圖。繪制程序流程圖，可使學生了解整個有限元程序的結構及其組成部分，抓住學習的主干。但是，有限元的很多理論是通過子程序實現的，如各種形函數、彈性剛度矩陣、塑性剛度矩陣、屈服函數值的計算等。因此，在引導學習了有限元程序的總體結構之后，教師再列出一些重點子程序的清單，要求學生學習這些子程序的具體內容。由于每個子程序的功能相對單一，這些子程序一般都很短小，簡單易懂。通過這些子程序的學習，學生能把理論學習中的公式與程序中主要語句一一對應，能深入了解理論公式是如何在有限元程序中起作用的。在讓學生學習子程序具體內容的同時，也布置了一些簡單的編程任務。如，學生學習了平面問題的應變矩陣求解程序之后，教師讓其編寫空間問題的對應程序;學生學習了Von-Mises屈服函數的求解程序之后，教師讓其編寫Mohr-Coulomb屈服函數的求解程序。通過這種學習，學生普遍感到理論公式活了起來，這反過來又促進了學生學習理論的熱情，為掌握有限元理論打下了扎實的基礎。endprint

3.軟件計算。通過程序驗證環節，學生可以理解書本上的理論知識及公式在軟件中的實現過程。但簡單的有限元教學程序畢竟只是驗證之用，它功能單一，計算能力有限，前后處理功能較差，無法和經過眾多專業人士開發并經多年修改完善的商業化有限元軟件相比。學習有限元編程的目的是使學生了解理論公式是如何在有限元程序中實現的，提高學生的創新能力。為了能對具體工程問題進行分析，熟練掌握至少一種有限元軟件是非常必要的。因此，在程序教學之后，我們進行了軟件教學。軟件教學主要有兩大內容：一是有限元軟件的使用，這主要是讓學生自學;二是案例教學，在案例教學的過程中，適當穿插講解有限元軟件的基本操作過程以及一些必要的操作技巧。案例教學，注重培養學生解決實際工程問題的能力。結合專業特點，我們選擇了地基承載力分析、邊坡穩定性分析、擋土墻土壓力分析等工程案例進行教學。這些案例既包括了本專業主要的工程問題，又有對應的簡單有限元程序，有利于程序與軟件的對比學習。在每個案例的教學分析中，主要側重模型的建立、單元網格的選擇及劃分、邊界及初始條件的定義、載荷的施加等問題，使學生掌握用有限元軟件解決各類工程問題的基本方法。課程講授之后，讓學生分別用簡單的有限元程序及大型軟件進行對比計算和分析。通過計算比較，引導學生發現簡單程序與通用有限元軟件間的差別，了解通用有限元軟件的強大功能是由眾多小程序有機地迭加成的。當有限元軟件的某種功能不能滿足用戶的需求時，學生就能很好地利用軟件的二次開發功能編寫新的程序，這對提高研究生的創新能力有極大的促進作用。

四、結語

有限單元法是進行數值計算、解決工程實際問題的必不可少的工具之一。為了提高研究生的培養質量，培養研究生的數值計算及創新能力，以地質工程專業研究生課程“有限單元法”為例，以“理論講解、程序驗證、軟件計算”相結合的多元化教學方法和手段來組織教學。在理論講解部分，以教師授課為主，有利于快速構建整個課程的知識體系及學生對主要知識點的學習;在程序驗證部分，以學生分組學習為主，教師引導為輔，調動學生學習的主動性;在軟件計算部分，教師的主要任務是設計并精講算例，學生的主要任務是學習有限元軟件，并分別采用簡單程序及大型軟件對工程問題進行有限元計算。這種教學方式，能夠將枯燥的理論知識學習與具體的軟件使用結合起來，使學生理解程序在有限元計算中的作用，理解軟件的強大功能是具體知識點的體現。這不僅有助于理論知識的學習及掌握，對培養研究生的數值計算與創新能力也是極為重要的。

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基金項目：合肥工業大學研究生教學改革研究項目（033006）endprint