初中生代數證明水平的發展研究

陳進

摘要：數學證明具有重要的教育價值，在目前教育體制下，初中生具有怎樣的數學證明水平值得大家關注。通過“日歷問題”為例，對初中生的代數證明水平進行調查，了解初中生數學證明水平的一些現狀，并思考出現這些狀況的深層原因。

關鍵詞：代數證明；日歷問題；課程標準；性別差異；城鄉差別

1.問題提出

《數學課程標準》在7～9年級的課程目標中提出“認識通過觀察、實驗、歸納、類比、推斷可以獲得數學猜想，體驗數學活動充滿著探索性和創造性，感受證明的必要性、證明過程的嚴謹性以及結論的確定性”；在課程實施建議中提出“應關注證明的必要性、基本過程和基本方法”。由此看出，新課標更加重視發展學生的數感和符號感，重視口算、估算，提倡算法多樣化，更注重引導學生體會證明的必要性，理解證明的基本過程，加強培養學生“說理有據”的意識；同時，降低對論證過程形式化和證明技巧的要求，旨在讓學生掌握基本的證明方法，對課程內容中有關術語在文字表達上的要求也有所降低，試圖做到“淡化形式”，對于這種改變，數學界有不同的聲音，孰是孰非？不敢妄下結論。在西歐和北美的一些國家，傳統的數學證明在教學中的地位也在逐漸弱化。7～9年級學生的證明水平現狀究竟怎么樣，勢必會引起許多人的關注。在八年級數學教科書下（蘇科版）“說理”一節教學中的一個問題引起了我們的思考。

探索：1.當χ=-5、- 、0、2、3時，計算代數式χ2—2χ+2的值，

與同學交流。

2.換幾個說再試試，你發現了什么？你能說明理由嗎.

在教學中，筆者發現學生在解答本題時存在兩個困難：一是代數式的值大于等于1不會歸納。二是對恒等變換證明這種形式很陌生。因此，能正確回答這個問題的學生很少。事實上，在初中階段，幾何是發展學生證明推理的主要載體。在學生的心目中，證明題就等同于幾何題。眾所周知，證明不僅僅局限于幾何，在代數中也存在推理證明。本文以“日歷問題”為例，研究7～9年級學生的代數證明發展水平。

2.研究方法

2.1 問題的設計

在數學課程標準以及在七年級數學上冊（蘇科版）第一章第二節中，都出現了探索月歷中數量關系的問題，鑒于此問題對初中生來說都比較熟悉，便以操作，筆者略作改編，作為此次問卷調查的題目。

觀察月歷

問題1 觀察月歷中帶有陰影方框中的4個數：

（1）方框中左上與右下數字之積為

（2）方框中左下與右上數字之積為

計算：第（1）個積與第（2）個積之差為

問題2 觀察月歷中另一方框中的4個數：

（1）方框中左上與右下數字之積為

（2）方框中左下與右上數字之積為

計算：第（1）個積與第（2）個積之差為

問題3 在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數之間還存在如上的結論嗎？說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

3·調查對象

在2010～2011學年第二學期3月份在蘇州常熟X校（市區公立學校、每個年級有10個班、轄區招生）每個年級隨機選擇了兩個班級（七年級87名學生，八年級77名學生，九年級78名學生）進行了問卷測試。同時我們又在常熟M校某個（公立農村中學、每個年級有6個班、生源主要來自本鎮）每個年級隨機選擇了兩個班級（七年級、八年級、……）進行了相同的測試。

4.研究的結果

4.1 代數證明水平的劃分

根據學生的回答，我們把學生的證明水平分成兩類：經驗的證明和邏輯的證明。經驗的證明，可以劃分出兩個水平。

水平1通過具體的例子解釋結論的真實性。

問題3在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數字之間還存在如上的結論嗎？請說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

學生答：成立。

因為左上角的數比左下角的數小7，而且右上角的數比左上角的數大1，又因為右上角的數比左下角的數小6，左上角的數比右下角的數小8，所以應該積小7。

第二類是演繹的證明，利用代數式的恒等變換獲得一般結論。此時，學生的水平存在以下三個水平。

水平3用字母來表示數，但未達到水平4。

問題3在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數字之間還存在如上的結論嗎？請說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

學生答：存在。

上下兩個數之差為7

問題3在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數字之間還存在如上的結論嗎？請說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

學生答：成立。

設左上角的數為χ，右上角的數為χ+1，左下角的數為χ+7，右下角的數為χ+8，

則：χ（χ+8）-（χ+1）（χ+7）=χ2+8χ-（χ2+8χ+7）。

問題3在這張月歷中，將方框上下或左右平移后，方框中的4個數字之間還存在如上的結論嗎？請說明你的理由（無論成立與否都要說明理由）。

學生答：成立。

設左上角的數為n，右上角的數為n+1，左下角的數為n+7，右下角的數為n+8，

則：左上與右下之積為n2+8n，

右上與左下之積為n2+8n+7，

差為7。

所以成立。

4.2 數據分析

第一，數據表明（如下頁表1、表2）能用字母表示數來解決問題（也就是達到水平3以上）的人數偏少，X中學學生七年級占26.44%，八年級占35.06%，九年級占61.04%；M中學學生七年級占9.47%，八年級占15.85%，九年級占49.38%。

第二，學生的代數證明水平七、八兩個年級之間無顯著差異，九年級顯著高于其他兩個年級。X中學三個年級之間存在顯著性的差異（χ2（10）=33.530， p=0.000）；七年級、八年級無顯著差異（χ2（5）=8.364， p=0.137）；八年級、九年級有顯著差異（χ2（5）=16.097， p=0.007）；七年級、九年級有顯著差異（χ2（5）=21.624， p=0.001）。X中學三個年級之間存在顯著性的差異（χ2（10）=64.775， p=0.000）；七年級、八年級無顯著差異（χ2（5）=10.464， p=0.063）；八年級、九年級有顯著差異（χ2（5）=28.202， p=0.000）；七年級、九年級有顯著差異（χ2（5）=47.569， p=0.000）。

第三，學生的代數證明水平存在城鄉差別。七年級（χ2（5）=24.141，p=0.000）；八年級（χ2（5）=18.799，p=0.002）；九年級（χ2（5）=14.416，p=0.013）。

第四，每個年級的性別之間無顯著差異，整個參與調查的對象的性別之間無顯著差異。X中學三個年級的男女生之間均無顯著差異，七年級χ2（5）=7.626，p=0.178；八年級χ2（4）=4.253，p=0.373；九年級χ2（5）=9.673，p=0.085，M中學三個年級的男女生之間均無顯著差異；七年級χ2（5）=10.315，p=0.067；八年級χ2（5）=1.757，p=0.882；九年級χ2（4）=6.607，p=0.158。

5.討論

5.1 學生代數證明水平的發展受到了課程教材的影響

初三學生能從數學的角度提出問題、理解問題，并能綜合運用所學的知識和技能解決問題，發展應用意識；形成解決問題的一些基本策略，體驗解決問題策略的多樣性，發展實踐能力與創新精神。同時教材對“空間與圖形”的主要關注點—推理與證明，進行了整體性設計，這些設計主要基于以下兩點考慮：一是合情推理與演繹推理是相輔相成的兩種推理形式，不是隔立的，更不是對立的，應當把它們有機地結合起來。二是數學教學需要形式化訓練，但過早地形式化可能會使學生遠離數學的本質。推理的本質是“有條理的思考和表達”，而不是：“∵……∴……（……）”的形式化證明。我們的調查時間是在第一學期，而教材把證明放在八（下）和九（上），從這個角度來看也表明課程有效地促進了學生邏輯性證明的發展。

5.2 數學代數證明水平與學生的性別差異有關系

1993年，國際數學教育委員會（ICMI）在瑞典專門召開過“性別與教育”國際研討會，幾名美國學者通過對部分小學老師的深入調查分析，認為在數學學習上確實存在著性別差異，而且這種差異隨年級的升高逐漸增大，越是高認知水平的學習，男生的優秀就越明顯。我國學者在這方面的研究結論大致有兩類：一類認為，男、女兩性的數學思維發展在總體上是平衡的，但在邏輯推理、掌握邏輯法則、辯證思維及空間想象等方面的表現，又是各具特色的；另一類則認為，男、女兩性的數學學習水平在總體上有顯著差異（個別差異不顯著除外），男性要高于女性。通過這次調查，發現在初中數學證明水平方面男女學生幾乎沒有差異，原因可能是在經濟相對發達的蘇南地區，家庭、社會和學校對性別基本已無偏見，對男女生的期望值是一樣的；在對數學成績的要求上，家長和教師對男女生是相同對待；平時在學校教學中，教師對男女生要求是相同的，環境因素的影響已經很小了。

5.3 數學代數證明水平與家庭教育有關

家長也對“教育孩子”給予了很大的關注，對孩子的健康成長起到了越來越大的積極作用。但由于長期以來的城鄉二元結構，導致城鄉之間經濟、文化發展不平衡，表現在教育上城鄉還存在著一定的差距。從這次調查結果來看也符合了這一點，本次調查的兩所學校從硬件設施和師資及教學內容上來看基本不存在差異，可能主要在于家庭教育上的差異：一是經濟狀況影響，為了給孩子提供更好的學習和生活環境，大部分的農村家長將更多精力用在工作上，很少有時間關心學生的課余生活。二是資料表明，農村人口比城鎮人口受文化教育年限平均少2～3年，城鎮居民再學習提高的時間和機會多。農村家長接受的教育較少，文化程度普遍偏低，相對缺乏自我約束力和調節力，從而給子女造成一定的影響。