關(guān)于“方程和方程的解”的教學(xué)探究

北京第十八中學(xué)左安門分校 周麗麗

關(guān)于“方程和方程的解”的教學(xué)探究

北京第十八中學(xué)左安門分校 周麗麗

對(duì)于方程，學(xué)生關(guān)注解的過(guò)程和結(jié)果多于方程概念本身，本文通過(guò)一個(gè)方程的錯(cuò)解生成的問(wèn)題引發(fā)學(xué)生的廣泛討論，從而對(duì)方程和方程的解的概念有了深入認(rèn)識(shí)。

方程 方程的解 概念教學(xué)

一、背景介紹

北京教育出版社第13冊(cè)第三章第3節(jié)“等式與方程”一課的教學(xué)目標(biāo)為：了解方程、方程的解、解方程等概念，檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是某個(gè)一元一次方程的解。方程是在等式的基礎(chǔ)上進(jìn)行定義的。教材上給出的定義為“含有未知數(shù)的等式叫做方程。”筆者把教學(xué)重點(diǎn)確定為了解方程、方程的解的意義，檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是某個(gè)一元一次方程的解，對(duì)方程的概念一帶而過(guò)并沒(méi)有過(guò)多分析和解釋。

二、討論過(guò)程

1.2 x +1=0是方程嗎？學(xué)生A在檢驗(yàn)方程2 x +1=0解時(shí)，認(rèn)為x=-1是方程2 x+1=0的解，其他同學(xué)說(shuō)不對(duì)并且有同學(xué)馬上給出合理解釋“把x=-1代入方程，左邊1右邊，所以不是方程x=-1的解。”問(wèn)題本該就此了結(jié)，但是A同學(xué)竟然提出了一個(gè)引發(fā)討論的問(wèn)題“當(dāng)x=-1時(shí)，方程左邊1右邊，所以當(dāng)x=-1時(shí)，2 x +1=0不是等式，不是等式那么就不是方程了，也就是說(shuō)當(dāng)x=-1時(shí)，2 x +1=0不是方程。”一時(shí)間教室安靜下來(lái)，但片刻又沸騰起來(lái)，大家進(jìn)入熱烈的討論，有的同學(xué)覺(jué)得有道理，有的同學(xué)覺(jué)得不可思議，但是又一時(shí)找不到反駁的理由。這個(gè)問(wèn)題太有趣了，從沒(méi)有人懷疑2 x +1=0不是方程。

B：“2 x +1=0是方程，因?yàn)樗鼭M足方程的概念，既含有未知數(shù)又是等式，所以是方程。”A：“當(dāng)x=-1時(shí)，2 x +1=0左右兩邊不相等，不是等式也就不是方程。”C：“Χ不能等于－1，因?yàn)樗皇欠匠痰慕猓愿静荒馨褁=-1代入方程。”D：“代入會(huì)怎么樣呢？”C：“不是方程的解，代入方程后當(dāng)然不成立了。”A：你的意思是當(dāng)x=-1時(shí)，2 x +1=0不是方程。只有當(dāng)x=-時(shí)，2 x +1=0是方程。C：“對(duì)！”A：“我認(rèn)為2 x +1=0是不是方程，不應(yīng)該受x的限制。”E：“方程2 x +1=0只有x=-時(shí)才是方程，其他情況不是。”此時(shí)兩個(gè)很明顯的觀點(diǎn)產(chǎn)生了：一種認(rèn)為若2 x +1=0是方程，那么是普遍意義的方程，并不受方程的解的限制。另一種認(rèn)為2 x +1=0是方程，但一定是x取x=-時(shí)才是方程。很顯然，筆者希望學(xué)生接受第一種觀點(diǎn)，但如何有力反駁第二種觀點(diǎn)呢？第一種觀點(diǎn)是一棍子打死嗎？顯然不能。筆者鼓勵(lì)學(xué)生繼續(xù)討論，并把問(wèn)題確定為2 x +1=0是不是方程與x的取值有關(guān)嗎？

2.2 x +1=0是不是方程與x的取值有關(guān)嗎？學(xué)生中沒(méi)有明顯的觀點(diǎn)，筆者開始逐步引導(dǎo)：我們把2 x +1=0中的x稱為什么？學(xué)生回答：“未知數(shù)。”“什么叫未知數(shù)？”“不知道的數(shù)。”“在方程2 x +1=0中這個(gè)不知道的數(shù)是多少呢？”“x=-。”“那么x=-和方程什么關(guān)系？”“x=-是方程的解。”

師：對(duì)于方程的解來(lái)講可以不依賴方程獨(dú)立存在嗎？

生：不可以。沒(méi)有方程，哪里來(lái)的方程的解？

師：所以方程和方程的解什么關(guān)系？

生：先有方程然后才有方程的解，方程并不依賴方程的解，但是方程的解依賴方程。

生：哦，明白了，2 x +1=0是方程，它的解是x=-，其他數(shù)都不是它的解，所以代入之后等式不成立。今后解方程必須要檢驗(yàn)。代入方程后等式成立即為解，不成立就不是方程的解。

3.方程一定有解嗎？

學(xué)生開始熱烈討論，同學(xué)之間互相舉例驗(yàn)證，教室里一度安靜，筆者始終沒(méi)有開口，期待學(xué)生的發(fā)現(xiàn)。大約五六分鐘過(guò)去了，G高興地叫起來(lái)：“我發(fā)現(xiàn)了，我發(fā)現(xiàn)了！x2=-1就沒(méi)有解，不可能有解。”“大家認(rèn)為呢？”“對(duì)，不能有這樣的x。”“那么大家認(rèn)為x2=-1是方程嗎？”G：“從表面上看是，因?yàn)榧群形粗獢?shù)，又有等號(hào)連接，應(yīng)該是方程。但是實(shí)質(zhì)上不是，因?yàn)榉匠讨械奈粗獢?shù)沒(méi)有取值，所以不是方程。”筆者說(shuō)：“G同學(xué)解釋得很好，我們目前學(xué)到的數(shù)確實(shí)沒(méi)有數(shù)滿足x2=-1，為了解決這個(gè)問(wèn)題使方程x2=-1有解，又引入一類數(shù)叫虛數(shù)，我們?cè)诟咧袝?huì)學(xué)到。”H：“老師我發(fā)現(xiàn)的這個(gè)方程肯定沒(méi)有解=0。”“這個(gè)例子非常好。事實(shí)上存在沒(méi)有解的方程！方程只需滿足定義即可，是否是方程并不依賴于解的存在。大家嘗試再舉出一些沒(méi)有解的方程。”

三、反思與收獲

方程的定義本身是一個(gè)邏輯定義，方程并不依賴于方程的解的存在，有些方程是沒(méi)有解的，但不能否認(rèn)它是方程。學(xué)生的討論過(guò)程即學(xué)生認(rèn)識(shí)和接受知識(shí)的過(guò)程，所謂理越辯越明，在本課中有很好的體現(xiàn)。每一個(gè)數(shù)學(xué)概念的形成歷經(jīng)了漫長(zhǎng)和艱難，概念中體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的思維方式，所以學(xué)生在學(xué)習(xí)和討論概念的過(guò)程中也經(jīng)歷了概念的形成過(guò)程，體會(huì)數(shù)學(xué)的思維方式，在討論中自主構(gòu)建概念。本節(jié)課雖然沒(méi)有完成事先設(shè)計(jì)好的例題與練習(xí)，但是通過(guò)一場(chǎng)熱烈的思辨討論，學(xué)生對(duì)方程的概念、方程的解與方程的關(guān)系有了更加深入的了解。學(xué)生提出這個(gè)問(wèn)題有很大的偶然性，若是沒(méi)有學(xué)生提出，必然也就沒(méi)有這一場(chǎng)思辨。這使筆者對(duì)概念的教學(xué)引起了重視，在平時(shí)教學(xué)中概念絕不可以一帶而過(guò)，數(shù)學(xué)中的知識(shí)都可以回歸到概念上來(lái)，在概念中挖掘知識(shí)的本質(zhì)和源頭。我們總是抱怨學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握不扎實(shí)，運(yùn)用不靈活，深入思考很可能是對(duì)概念的理解不清。也許以討論的方式上概念課也不失為一種很好的教學(xué)方式。教學(xué)是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過(guò)程，課堂上會(huì)產(chǎn)生一些預(yù)設(shè)之外的生成性問(wèn)題，生成性問(wèn)題就像是劃過(guò)夜空的流星，眨眼間就會(huì)錯(cuò)過(guò)，抓住課堂的生成問(wèn)題，積極引導(dǎo)學(xué)生探究，激發(fā)學(xué)生思考，激活學(xué)生的數(shù)學(xué)潛能，抓住課堂的生成問(wèn)題是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)興趣的極好機(jī)會(huì)。

ISSN2095-6711/Z01-2015-06-0266