基于ARMA模型的GPS鐘差預報改進研究

黃孝增

(中山市測繪工程有限公司，廣東 中山528405)

一、引 言

目前，國內外學者對鐘差模型的預報已有大量的研究。在短期預報時通常采取二次項擬合模型;而在長期預報時，基于灰色模型的鐘差預報法是一種比較好的方法。但這兩種預報模型僅僅是在鐘差的趨勢項上建立鐘差的函數模型，而不考慮鐘差的隨機部分。針對鐘差隨機項的建模，目前主要采用時間序列模型來進行。

本文利用傳統的預報模型二次多項式與灰色模型提取鐘差中的隨機項，利用時間序列模型ARMA、AIRMA對鐘差隨機進行建模分析，在一定程度上提高了預報模型的精度，解決了預報滯后的問題。

二、GPS衛星鐘差預報理論方法

1．二次多項式模型

該模型是將二次冪函數作為擬合的目標函數，對已知的鐘差數據進行擬合，并估計參數a0、a1、a2，從而得到擬合后的鐘差模型

式中，Xi為鐘差;a0、a1和a2分別為鐘差、鐘速和鐘漂。

2．灰色模型

設X(1)=(x(1)(1)，x(1)(2)，…，x(1)(n))，其中，X(1)為X(0)的1-AGO序列，Z(1)為X(1)的緊鄰均值生成序列，z(1)(k)=0．5x(1)(k)+0．5x(1)(k－1)

對于GM(1，1)模型

通過對模型求解可得

3．ARMA模型

由于IGS提供的精密星歷是等間隔排列的時間序列，可以通過時間序列分析對精密鐘差建立盡可能合適的統計模型，而大量的時間序列觀測樣本都表現為趨勢性、周期性和隨機性，因此，每個時間序列或經過適當函數變換的時間序列，可以表示成3個部分的疊加，如下

式中，Tt是趨勢項;St是周期項;Rt是隨機噪聲項;時間序列Xt是三者的疊加。通常認為趨勢項Tt是時間t的實值函數，是非隨機的，隨機噪聲項Rt是本文重點考慮的部分，通過ARMA模型來進行建模。

如果序列Xt的當前值不僅與自身的過去值有關，還與其進入系統的外部干擾存在一定的依存關系，則在用模型刻畫這種動態特征時，模型中既包括自身的滯后項，也包括過去的外部干擾，這種模型叫作自回歸滑動平均模型(autoregressive-moving average model)，即ARMA(p，q)模型，一般形式為

式中，φ1，φ2，…，φp為自回歸系數，θ1，θ2，…，θp為移動平均系數。

對模型參數進行矩陣估計后，可解得

三、基于ARMA模型的鐘差預報

通過上面3步建立好模型后，就可以對數據進行處理。第一階段使用傳統模型對GPS鐘差進行建模，提取趨勢項。

1．短期預報

本次數據是在IGS官網下載的名為igs16770．clk_30s的鐘差數據，鐘差數據為2012年2月26日1整天24 h的數據。短期預報對于二次多項式，采用2012年2月26日0時—6時共6 h的數據建模預測未來6 h的鐘差，即6時—12時的鐘差。灰色模型則采用15個初始歷元的數據。本算例對ASG03和ASG17兩顆衛星進行分析。G03號衛星采用MA(1)模型，G17號衛星則采用ARMA(3，1)模型。如圖1、圖2所示。

圖1 G03衛星短期預報對比

圖2 G17衛星短期預報對比

通過對比圖，可以對模型的擬合程度有一個大致了解，為了更加直觀地表示出幾個模型之間的精度，采用表格的方式對上述模型作精度評估，見表1。

通過表1的對比分析可以看出，基于時間序列分解的鐘差預報模型，其預報精度明顯高于傳統的預報模型精度，究其原因是因為時間序列模型在建模過程中充分考慮了鐘差數據中的隨機項，因而數據的擬合程度更高，誤差更小。

表1 短期預報精度統計

2．長期預報

與短期期預報類似，長期預報對于二次多項式，采用2012年2月26日0時—6時整共6 h數據建模，預測未來42 h的鐘差，即6時到2月27日24時整的鐘差。灰色模型分析精密鐘差數據，兩個歷元之間的鐘差數據差值比較大，因此灰色模型長期預報采用30個初始歷元值，以保證模型的精確度。

與短期預報一樣，利用Eviews時間序列軟件建模，G03號衛星采用AR(1)模型，G17號衛星則采用ARMA(3，1)模型。如圖3、圖4、表2所示。

圖3 G17衛星鐘差長期預報模型

圖4 G03衛星長期預報模型對比

通過表2的對比分析發現，基于時間序列模型具有可行性，它提高了傳統預報模型的精度，同樣可以應用于實際中的GPS高精度的定位。

3．基于時間序列的小結

由算例結果對比表1和表2，說明了二次多項式模型在短期預報中相對灰色模型具有優勢，而灰色模型則在長期模型中比二次多項式模型的精度更高。在時間序列分解模型，將鐘差分解為趨勢項和隨機項，利用傳統預報模型提取趨勢項，再用時間序列模型對剩下的隨機項建模分析，最終得到了更加理想的鐘差預報模型。

表2 長期預報精度統計表

四、結論與展望

本文主要研究的是GPS鐘差預報，傳統的GPS鐘差預報模型只考慮鐘差的趨勢項，沒有其中的隨機項，本文在傳統預報模型的基礎上，用時間序列模型ARMA對隨機項建模分析。

在短期預報中，采用了3種方法進行預測:①二次多項式，利用6 h鐘差數據預報未來6 h鐘差;②灰色模型，利用15個初始歷元數據，預報未來6 h數據;③與基于時間序列分解的預報方法(趨勢項由二次多項式提取)。

在長期預報中，同樣采用3種預報模型:①二次多項式，利用6 h鐘差數據，預報未來42 h鐘差數據;②灰色模型，采用30個初始歷元數據，預報未來42 h鐘差;③基于時間序列分解模型(趨勢項由灰色模型提取)。

通過算例得出了以下幾個結論:①二次多項式模型在短期預報中較灰色模型預報精度高;②灰色模型在長期預報中較二次多項式精度高;③基于時間序列模型的模型精度達到了0．01 ns以上精度;④基于時間序列的鐘差模型可以在實際中得以應用。

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