灰色－馬爾科夫模型在大壩內(nèi)部變形預(yù)測中的應(yīng)用

沈哲輝，黃 騰，唐佑輝

（河海大學(xué) 地球科學(xué)與工程學(xué)院，江蘇 南京210098）

對(duì)大壩內(nèi)部水平位移進(jìn)行監(jiān)測是大壩安全監(jiān)測系統(tǒng)中的重要組成部分，因此，對(duì)壩體內(nèi)部水平位移數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，建立預(yù)測模型是十分必要的。灰色系統(tǒng)理論是研究系統(tǒng)分析、建模、預(yù)測、決策和控制的理論［1］，而傳統(tǒng)的灰色 GM（1，1）理論預(yù)測模型存在精度差的問題［2］。針對(duì)大壩內(nèi)部水平位移測點(diǎn)之間不是相互獨(dú)立而是相互影響的，而且實(shí)際操作中樣本的等時(shí)距性要求不容易滿足，提出了一種非等時(shí)距的 MGM（1，n）－Mar kov模型。首先對(duì)原始數(shù)據(jù)進(jìn)行等時(shí)距處理，再建立 MGM（1，n）模型。以灰色預(yù)測結(jié)果為基礎(chǔ)，按照馬爾科夫方法劃分狀態(tài)區(qū)間以及確定狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，進(jìn)而求出新的預(yù)測值，提高預(yù)測精度［3］。

1 灰色－馬爾科夫模型的建立

1．1 灰色 MGM（1，n）預(yù)測模型

MGM（1，n）建模過程如下：［4－6］

其中k＝1，2，…，m。

MGM（1，n）模型為n元一階常微分方程組

記

則式（2）可記為

式（4）的連續(xù)時(shí)間響應(yīng)為

X（1）（t）＝e（At）X（1）（0）＋A－1（e（At）－I）·B．（5）

其中

這里級(jí)數(shù)求和要取多少項(xiàng)才合適并不能簡單地判斷出來，因此，建議在MATLAB中用exp m函數(shù)求無窮級(jí)數(shù)。

為了識(shí)別A和B，將式（2）離散化得到

記ai＝（ai1，ai2，…，ain，bi），i＝1，2，…，n。則由最小二乘法得到ai的辨識(shí)值

其中：

則得A和B的辨識(shí)值＾A 和＾B。

MGM（1，n）模型的計(jì)算值為

針對(duì)灰色模型只適用于等時(shí)距的數(shù)據(jù)，因此，把非等時(shí)距的原始觀測數(shù)列化為等時(shí)距的數(shù)列是必要的。

1．2 非等時(shí)間間隔序列的處理

MGM（1，n）模型要求樣本為等時(shí)距的，但實(shí)際過程中很難得到完全的等時(shí)距序列的樣本。對(duì)于非等時(shí)距的數(shù)列，可以通過一定的方法化為等時(shí)距的數(shù)列，具體方法如下［7］：

令Δtk＝tk＋1－tk；

則可求得平均時(shí)間間隔

各時(shí)段與平均時(shí)段的單位時(shí)段差系數(shù)為

最終求得的等時(shí)距數(shù)列為

式（14）就是上述模型所需的等時(shí)距數(shù)列。等時(shí)距化后就可以建立 MGM（1，n）模型計(jì)算各期的擬合值并且進(jìn)行預(yù)測，再建立馬爾科夫模型來對(duì)實(shí)測值與擬合值之間的殘差進(jìn)行修正。

1．3 馬爾科夫狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

馬爾科夫模型建立的方法和步驟［2］如下：

1）狀態(tài)的劃分：計(jì)算出預(yù)測數(shù)值與實(shí)測數(shù)值的殘差序列，并據(jù)此劃分h個(gè)狀態(tài)區(qū)間

3）h步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣是一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣的h次方，即

以上介紹了本文用到的方法和模型，下面介紹把它們結(jié)合在一起的具體過程。

1．4 Markov殘差修正的 MGM（1，n）模型建立

本文構(gòu)建大壩內(nèi)部水平位移的多變量灰色預(yù)測模型，使用Mar kov模型對(duì)殘差序列進(jìn)行修正，構(gòu)建基于Mar kov殘差修正的灰色 MGM（1，n）模型的建模步驟如下：

1）選取位于大壩某高程處測房內(nèi)的3個(gè)測點(diǎn)從2012－03－22到2013－06－21的15期測值，按式（12）、式（13）、式（14）把它們15期的非等時(shí)距的數(shù)據(jù)化為等時(shí)距的，得到的15期數(shù)據(jù)為（k），i＝1，2，3；k＝1，2，…，15。

4）根據(jù)εi（k），k＝1，2，…，15劃分狀態(tài)，這里對(duì)每個(gè)測點(diǎn)的各期相對(duì)誤差統(tǒng)一劃分狀態(tài)，計(jì)算出各自的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣。

2 實(shí)例分析

2．1 歷史數(shù)據(jù)

本文為驗(yàn)證基于Mar kov殘差修正的灰色MGM 1 n模型的正確性和可靠性，利用大壩內(nèi)部水平位移觀測數(shù)列為歷史數(shù)據(jù)進(jìn)行建模分析。大壩內(nèi)部水平位移指的是大壩內(nèi)部順河向的水平位移，即沿著水流方向的位移，大壩內(nèi)部布有引張線水平位移測點(diǎn)，張線式水平位移計(jì)的工作原理是：在測點(diǎn)高程水平鋪設(shè)能自由伸縮的管路，從各測點(diǎn)引出線膨脹系數(shù)很小的不銹鋼銦瓦合金鋼絲，通過導(dǎo)向滑輪，在其終端加若干張拉平衡砝碼，測點(diǎn)相對(duì)觀測房固定端移動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)鋼絲移動(dòng)，在固定標(biāo)點(diǎn)處用游標(biāo)卡尺測出鋼絲的位移量，算出測點(diǎn)的相對(duì)水平位移。下面以某大壩某高程處壩內(nèi)3個(gè)水平位移測點(diǎn)從2012－03－22到2013－06－21的數(shù)據(jù)為歷史數(shù)據(jù)，如表1所示。

表1 原始監(jiān)測序列

表1中的這15期觀測數(shù)列是非等時(shí)距的，2012－03－22的觀測數(shù)據(jù)在本文中是第1期觀測數(shù)據(jù)，為方便等時(shí)距化，把2012－03－22記作觀測的第1天，2012－04－18就為觀測的第28天，依次類推，2013－06－21就為觀測的第457天。

2．2 等時(shí)間間隔化并建立 MGM（1，n）模型

2．3 馬爾科夫殘差修正

根據(jù)表2計(jì)算出各測點(diǎn)每期的擬合值與真實(shí)值的相對(duì)誤差，見表3。可以看出3個(gè)測點(diǎn)各期相對(duì)誤差在［－5．2，3．2］的區(qū)間內(nèi)，劃分4個(gè)狀態(tài)區(qū)間［－5．2，－2］，［－2，0］，［0，1．5］，［1．5，3．2］。然后對(duì)各測點(diǎn)劃分狀態(tài)，詳細(xì)狀態(tài)劃分見表3。

表2 等時(shí)距序列以及擬合值

表3 相對(duì)誤差狀態(tài)劃分

寫出各自的一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，這里以測點(diǎn)1為例。狀態(tài)1出現(xiàn)2次，狀態(tài)2出現(xiàn)4次，狀態(tài)3出現(xiàn)5次，狀態(tài)4出現(xiàn)2次（去除最后一個(gè)狀態(tài)）。再根據(jù)狀態(tài)x一步轉(zhuǎn)移到狀態(tài)y出現(xiàn)的次數(shù)，求出一步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣

編制預(yù)測表格：由于將狀態(tài)劃分4個(gè)，所以選擇離預(yù)報(bào)時(shí)刻（2013－07－22）最近的4年編制預(yù)報(bào)表，其轉(zhuǎn)移步數(shù)分別定為1，2，3，4，得到新的轉(zhuǎn)移概率［8］，見表4。

表4 狀態(tài)預(yù)測

表5 測點(diǎn)1擬合結(jié)果比較

圖1 測點(diǎn)1擬合值相對(duì)誤差比較圖

從表5可以計(jì)算出測點(diǎn)1的MGM（1，3）擬合結(jié)果相對(duì)誤差的絕對(duì)值的平均值為1．25%，而灰色－馬爾科夫擬合結(jié)果的相對(duì)誤差的絕對(duì)值的平均值為0．43%。從圖1中可以看出，測點(diǎn)1的灰色－馬爾科夫擬合值相對(duì)誤差折線比灰色模型擬合值相對(duì)誤差折線平穩(wěn)，灰色－馬爾科夫擬合值相對(duì)誤差總體上比灰色模型擬合值相對(duì)誤差小。

同理，可求出測點(diǎn)2在2013－07－22的預(yù)測值為80．546 8 mm，用灰色馬爾科夫模型修正的值為81．150 9 mm，實(shí)測值為83．29 mm。MGM（1，3）預(yù)測值得相對(duì)誤差為3．29%，殘差修正后的相對(duì)誤差為 2．57%；測 點(diǎn) 3 在 2013－07－22 的 預(yù) 測 值 為97．321 5 mm，用灰色馬爾科夫模型修正的值為98．051 4 mm，實(shí)測值為99．85 mm。MGM（1，3）預(yù)測值的相對(duì)誤差為2．53%，殘差修正后的相對(duì)誤差為1．80%。

用灰色－馬爾科夫模型對(duì)測點(diǎn)2和測點(diǎn)3在2012－03－22至2013－06－21的位移量進(jìn)行擬合。圖2為測點(diǎn)2的灰色－馬爾科夫模型擬合值相對(duì)誤差與灰色模型擬合值相對(duì)誤差比較圖；圖3為測點(diǎn)3的灰色－馬爾科夫模型擬合值相對(duì)誤差與灰色模型擬合值相對(duì)誤差比較圖。

圖2 測點(diǎn)2擬合值相對(duì)誤差比較圖

圖3 測點(diǎn)3擬合值相對(duì)誤差比較圖

經(jīng)計(jì)算，測點(diǎn)2的MGM（1，3）模型擬合結(jié)果相對(duì)誤差的絕對(duì)值的平均值為1．54%，而灰色－馬爾科夫擬合結(jié)果相對(duì)誤差的絕對(duì)值的平均值為0．37%；測點(diǎn)3的 MGM（1，3）模型擬合結(jié)果相對(duì)誤差的絕對(duì)值的平均值為1．22%，而灰色－馬爾科夫擬合結(jié)果相對(duì)誤差的絕對(duì)值的平均值為0．54%。從圖2和圖3可以看出，測點(diǎn)2和測點(diǎn)3的灰色－馬爾科夫擬合值相對(duì)誤差折線均比灰色模型擬合值相對(duì)誤差折線平穩(wěn)，兩點(diǎn)的灰色－馬爾科夫擬合值相對(duì)誤差總體上比灰色模型擬合值相對(duì)誤差小。

綜上可見，灰色－馬爾科夫模型的模型精度比灰色模型的擬合精度高。從對(duì)3個(gè)測點(diǎn)2013－07－22的灰色－馬爾科夫模型預(yù)測的結(jié)果和灰色模型預(yù)測的結(jié)果比較看出，灰色－馬爾科夫模型的預(yù)測精度高于灰色模型的預(yù)測精度。

3 結(jié)束語

本文通過對(duì)某大壩內(nèi)部水平位移的實(shí)測數(shù)據(jù)建立非等時(shí)距的灰色－馬爾科夫模型，解決了實(shí)際測量中樣本序列不等時(shí)距的問題，得到了灰色－馬爾科夫模型不僅比單一的灰色模型的擬合精度高，而且預(yù)測精度也比灰色模型的預(yù)測精度高，具有一定的實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。本文中Mar kov模型建立在灰色模型之上，其狀態(tài)區(qū)間是隨機(jī)劃分的，所以預(yù)測結(jié)果會(huì)隨著狀態(tài)區(qū)間劃分的不同會(huì)有略微的差異，如何劃分狀態(tài)區(qū)間使得灰色－馬爾科夫的擬合精度和預(yù)測精度盡可能的高還有待進(jìn)一步研究。

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