基于WSNs 的壓縮頻譜感知稀疏基設(shè)計(jì)

王 鈺，張金成，王 泉，呂方旭，陳可偉

(空軍工程大學(xué) 防空反導(dǎo)學(xué)院，陜西 西安710051)

0 引 言

近年來，頻譜匱乏問題越來越引起人們的關(guān)注，認(rèn)知無線電(cognitive radio，CR)技術(shù)被認(rèn)為是解決該問題的有效手段［1］。因?yàn)樵谝欢ǖ臅r(shí)間和空間范圍內(nèi)，頻譜的使用情況被認(rèn)為是稀疏的［2］。使用無線傳感器網(wǎng)絡(luò)(wireless sensor networks，WSNs)進(jìn)行頻譜感知，利用其自身的分布式特性可以克服信號(hào)衰落和陰影效應(yīng)導(dǎo)致的不準(zhǔn)確感知，與傳統(tǒng)頻譜感知方案相比更加高效。

在文獻(xiàn)［3］中最先提出了用WSNs 進(jìn)行頻譜感知的設(shè)想，隨后出現(xiàn)了一些CR－WSNs 的研究。文獻(xiàn)［4］中提出的壓縮感知(compressed sensing，CS)技術(shù)和文獻(xiàn)［5］中給出的模擬信息轉(zhuǎn)換器(analog－to－information converter，AIC)結(jié)構(gòu)，使得快速頻譜感知成為可能。文獻(xiàn)［6］將CS 理論引入CR，利用小波變換檢測(cè)占用頻帶的邊緣信息，進(jìn)而獲得占用頻帶位置。針對(duì)頻譜感知的準(zhǔn)確性問題，文獻(xiàn)［7］中采用小波去噪的方法提升低信噪比條件下的檢測(cè)性能。但在這些方法中都默認(rèn)了觀測(cè)信號(hào)是頻點(diǎn)稀疏的這一假設(shè)，而實(shí)際中，頻譜的占用情況并非頻點(diǎn)稀疏的，再加上噪聲的影響，傳統(tǒng)方法較難準(zhǔn)確給出由大量頻點(diǎn)構(gòu)成的被占用頻帶的位置。基于以上分析，本文提出直接將頻譜子帶作為稀疏基的CS 算法，并以此稀疏基進(jìn)行頻譜重構(gòu)。

1 CS 理論

自然信號(hào)在時(shí)域內(nèi)常常是非稀疏的，但總能找到一個(gè)特定的變換域，使其在變換域內(nèi)是稀疏的。一般信號(hào)在小波基、傅里葉基或離散余弦變換(discrete cosine transform，DCT)基中可稀疏表示［8］。信號(hào)稀疏表示的數(shù)學(xué)描述為:將N 維實(shí)信號(hào)x∈RN×1在某個(gè)特定變換域的正交基(ψi為N 維列向量)下進(jìn)行展開，即

其中，ψ=［ψ1，ψ2，…，ψn］∈RN×L為正交基矩陣(滿足ψψT=1)，θ=［θ1，θ2，…，θn］T為展開系數(shù)向量。若系數(shù)向量θ 是K 稀疏的，即θ 只有K(K?N)個(gè)非零系數(shù)時(shí)，則稱θ為信號(hào)x 的K 階稀疏表示。信號(hào)的稀疏性對(duì)在WSNs 中運(yùn)用CS 理論進(jìn)行感知測(cè)量具有重大影響，信號(hào)的稀疏度決定著采樣數(shù)據(jù)量的大小，以及信息的存儲(chǔ)和傳輸效率，高壓縮比的觀測(cè)可有效延長WSNs 的使用周期。

可壓縮信號(hào)x 通過觀測(cè)矩陣Φ∈RM×N(M?N)實(shí)現(xiàn)非適應(yīng)線性壓縮投影觀測(cè)

線性投影觀測(cè)值y∈RM×1則包含了重構(gòu)信號(hào)的足夠信息。在CS 過程中，感知矩陣A=Φψ 必須滿足約束等距性(restricted isometry property，RIP)，文獻(xiàn)［9］提出了與約束等距條件等價(jià)的相關(guān)性判別理論，給出了兩個(gè)矩陣之間的相關(guān)程度的定義u(Φ，ψ)，即

2 頻譜信號(hào)的稀疏表示與重構(gòu)

2.1 頻譜信號(hào)在傅立葉基下的表示與重構(gòu)

傳統(tǒng)的壓縮頻譜感知方法選取傅立葉基作為稀疏基對(duì)頻譜信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，通過對(duì)信號(hào)的功率譜密度(power spectral density，PSD)重構(gòu)實(shí)現(xiàn)頻譜感知。文獻(xiàn)［7］中指出感知信號(hào)x 的自相關(guān)向量通過2N×2N 的基于小波的平滑矩陣W 和傅立葉變換矩陣F 可以得到信號(hào)的PSD。進(jìn)而利用邊緣檢測(cè)法，設(shè)計(jì)一個(gè)2N×2N 的差分矩陣Γ，則得到信號(hào)的功率譜差分向量v=(ΓFW)rx，向量ν 是頻點(diǎn)稀疏的，與觀測(cè)值的自相關(guān)向量ry的關(guān)系為

重構(gòu)過程首先以觀測(cè)向量y 計(jì)算自相關(guān)向量ry，然后通過自相關(guān)向量ry和感知矩陣A=Φrψ 對(duì)功率譜差分向量ν 進(jìn)行重構(gòu)恢復(fù)，得到占用頻帶邊緣位置。

根據(jù)上述計(jì)算步驟進(jìn)行仿真實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中選取db5 作為小波基函數(shù)進(jìn)行小波邊緣檢測(cè)，最大尺度階數(shù)為3，壓縮率M/N=0.4。實(shí)驗(yàn)中首先對(duì)不同的頻帶占用情況進(jìn)行仿真，如圖1(a)，頻譜中的被占用頻段有著整齊的邊緣，小波尺度階數(shù)為1 時(shí)即可檢測(cè)出占用頻段的邊緣位置。但在實(shí)際中，被占用頻帶邊緣的能量變化是一個(gè)緩慢變化的過程，如圖1(b)，設(shè)計(jì)的邊緣檢測(cè)差分矩陣已無法給出被占用頻帶邊緣的準(zhǔn)確位置。若在圖1(a)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步降低信噪比，如圖1(c)，同樣通過邊緣檢測(cè)的方法無法判斷被占用頻帶的位置。同時(shí)在仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，該方法運(yùn)算量較大，預(yù)處理工作較為復(fù)雜，不適于在運(yùn)算能力有限的WSNs節(jié)點(diǎn)上實(shí)施。

圖1 傳統(tǒng)邊緣檢測(cè)方法獲得頻譜使用情況Fig 1 Usage conditions of spectrum obtained by traditional edge detection methods

2.2 頻譜信號(hào)在子帶基下的表示與重構(gòu)

在傳統(tǒng)方法中以單頻點(diǎn)作為正交基進(jìn)行信號(hào)的壓縮表示，通過頻點(diǎn)系數(shù)向量來刻畫頻譜觀測(cè)結(jié)果。但在實(shí)際頻譜使用情況中，通信信道往往是占用相對(duì)較窄的一段頻帶，要表示這樣的占用情況需用相鄰的多個(gè)頻點(diǎn)來表示。正交基中頻點(diǎn)間的間隔大小體現(xiàn)了頻譜分辨率的大小，間隔過小則會(huì)導(dǎo)致占用頻帶處局部頻點(diǎn)稠密，間隔過大則有可能忽略一些被占用的相對(duì)較窄的頻帶，導(dǎo)致不能準(zhǔn)確地刻畫頻譜的使用情況。同時(shí)，通過2.1 節(jié)的仿真實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)，這樣的稀疏表示方式在低信噪比條件下重構(gòu)效果不佳，致無法準(zhǔn)確判斷被占用頻帶的位置。

通過對(duì)頻譜子帶劃分模型的分析研究，本文直接選取頻譜子帶作為正交基進(jìn)行頻譜信號(hào)的表示，用子帶系數(shù)表示在這一子帶上頻譜的被占用情況，如圖2 所示。

選取相鄰的子帶{b1，b2，…，bn}作為坐標(biāo)基，易證其滿足坐標(biāo)基的正交性條件，即

圖2 頻譜劃分的子帶基示意圖Fig 2 Sub-band basis diagram of spectrum division

通過子帶系數(shù)近似地刻畫頻譜占用情況，雖不能給出頻譜使用的細(xì)節(jié)信息，但系數(shù)大小足以說明該子帶的被占用情況。使用子帶進(jìn)行信號(hào)的稀疏表示，可以克服局部頻點(diǎn)稠密的問題，使得待感知頻譜信號(hào)在子帶基下的系數(shù)向量具有稀疏性。

觀測(cè)頻段內(nèi)的頻譜使用情況可近似線性表示為

其中，F(xiàn)(f)為待感知頻譜信號(hào)的頻域，θi為子帶系數(shù)，bi為子帶基，θi可由時(shí)域信號(hào)x 在正交基F－1(bi)下的投影得到

即正交基矩陣ψb中的元素ψi=F－1(bi)，單個(gè)子帶基bi則可看作頻域門函數(shù)的平移

其中，τ 即為單個(gè)子帶基的寬度，代表了頻譜感知的精度。當(dāng)τ→0 時(shí)，頻譜的子帶稀疏基表示趨于信號(hào)的連續(xù)頻譜函數(shù)，即有極限關(guān)系

寫成矩陣形式可以得到

其中，ψb∈RN×L，L 為感知頻段劃分的子帶個(gè)數(shù)，子帶個(gè)數(shù)L 由子帶基的寬度τ 決定。在WSNs 中，簇內(nèi)節(jié)點(diǎn)個(gè)數(shù)越多則單個(gè)節(jié)點(diǎn)需感知的頻段范圍也就越小，則可以選擇更小的寬度來提高感知精細(xì)。

感知過程中對(duì)一個(gè)感知周期內(nèi)的N 維離散形式信號(hào)x進(jìn)行觀測(cè)，得到的觀測(cè)值y 與子帶稀疏向量θ 有如下關(guān)系

重構(gòu)過程中通過觀測(cè)值y 與感知矩陣A=Φψb來求解子帶稀疏向量θ，從而達(dá)到頻譜感知的目的。

3 仿真實(shí)驗(yàn)與分析

依據(jù)2.2 節(jié)提出的基于子帶稀疏基的頻譜感知方法，在Matlab 中進(jìn)行仿真分析實(shí)驗(yàn)，實(shí)驗(yàn)中為了便于計(jì)算，將待感知?jiǎng)澐譃?6 個(gè)子帶，每個(gè)子帶的帶寬為5 MHz，N=1 000對(duì)應(yīng)觀測(cè)周期內(nèi)奈奎斯特采樣數(shù)目，根據(jù)公式M ＞C·μ2(A)·K·lg N［4］取M=130，CS 壓縮比M/N=0.13，加性高斯白噪聲的方差為0.002 5～0.05，被占用子帶的信噪比(SNR)為8～15 dB，檢驗(yàn)頻帶占用情況下的頻譜感知情況。

仿真實(shí)驗(yàn)中首先對(duì)邊緣整齊的門函數(shù)進(jìn)行重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，圖3(a)和圖3(d)中加性噪聲方差分別為，可以看出:重構(gòu)結(jié)果準(zhǔn)確地給出了被占用頻帶的位置和大致的幅值，可用于判斷頻譜上某一信道的使用情況;然后選用邊緣變化較為平緩的漢明窗函數(shù)生成子帶占用情況進(jìn)行重構(gòu)實(shí)驗(yàn)，加性噪聲的方差與先前實(shí)驗(yàn)分別相同，從圖3(b)，(e)中可以看出在高信噪比條件下，基于子帶稀疏基的重構(gòu)可準(zhǔn)確給出頻譜的使用情況，同時(shí)在低信噪比條件下，仍能給出被占用頻帶主體的準(zhǔn)確位置，對(duì)于邊緣的灰色占用帶，重構(gòu)結(jié)果判為未被占用;之后選用呈尖峰形狀的Kaiser 窗函數(shù)生成子帶占用情況進(jìn)行重構(gòu)，其他設(shè)置參數(shù)與之前相同，由圖3(c)，(f)可以看出:在高信噪比條件下，該方法仍能給出各占用頻帶的準(zhǔn)確位置，當(dāng)降低信噪比后，對(duì)于能量較強(qiáng)的頻帶給出了頻帶的主體位置，能量較弱的頻帶則沒有給出，這一情況與重構(gòu)算法中搜索迭代停止門限的大小有關(guān)，門限的高低決定了某一子帶是否被判為占用頻帶。

4 結(jié)束語

本文針對(duì)壓縮頻譜感知中重構(gòu)的準(zhǔn)確性問題，使用子帶稀疏基進(jìn)行頻譜重構(gòu)，通過仿真實(shí)驗(yàn)證明了該方法在低信噪比條件下可以準(zhǔn)確地給出被占用頻帶的位置和幅值，同時(shí)該方法具有較高的壓縮比，適于在資源受限的WSNs中使用。

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圖3 基于子帶基的不同信噪比條件下和不同頻譜占用情況下頻譜感知結(jié)果Fig 3 Result of spectrum sensing based on sub-band basis with different SNR and spectrum usage conditions

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