基于tCopula的一籃子信用違約互換定價模型

張茂軍　趙雪妮

摘要為了刻畫分布函數的厚尾特征和違約的傳染性，構建了單因子tCopula模型，以此研究一籃子信用違約互換（BDS）的定價問題。依據風險中性定價原理和順序統計量方法， 分別得到了第k次違約和n個參照實體中m個受保護的BDS價格的解析式.為了說明定價模型的有效性，用隨機模擬方法分析了相應的數值算例.

關鍵詞信用違約互換；順序統計量；tCopula方法；隨機模擬

中圖分類號F380 文獻標識碼A

AbstractThe one factor tCopula model was established to depict the fattail feature of the distribution and default contagion in order to research the pricing of the basket default swaps （BDS）. The closed solutions of prices at the kth default and m out of n reference entities in BDS were obtained using the riskneutral pricing principle and the method for order statistics. Moreover， some numerical examples were analyzed to indicate the effectiveness of the pricing model in terms of the stochastic simulation method.

Key wordscredit default swaps； order statistics； tCopula method； stochastic simulation

1引言

2008年美國次貸危機揭露了信用風險是金融體系中一類非常重要的系統性風險.公司違約風險相互傳導使得投資者經常面臨著多重違約風險.一籃子信用違約互換（Basket Default Swap，簡稱為BDS）是針對多個公司發生違約事件的保險合約.銀行等機構投資者可以利用BDS對沖債券等標的資產的信用風險.而如何確定BDS的價格是投資者非常關心的問題，尤其是計算BDS中參照實體的聯合違約概率.人們經常用信用風險模型計算違約概率，這些模型主要分為結構化模型和簡約模型.結構化模型是以Merton1的期權定價理論為基礎，假設公司資本結構由資產和負債兩部分構成，如果公司資不抵債就發生違約.Zhou2假設參照實體的價值服從幾何布朗運動，用首達結構模型研究了含有2個參照實體的BDS定價問題，得到了BDS價格的精確解.在簡約模型中，違約由企業價值和外部環境決定，根據不同的違約強度過程計算違約概率.如Duffie3在違約強度模型的基礎上，用隨機模擬方法得到了參照實體首次違約時BDS的價格. Kijima 4在違約事件的發生是條件獨立的假設下，采用了Vasicek強度過程得到了BDS價格的封閉解.然而，這兩類信用風險模型適用于計算單個違約事件的分布函數，不太適合計算多個違約事件的聯合分布函數，其原因在于用這兩類模型得到的聯合分布函數的表達式非常復雜，很難應用于實際的投資決策中.

Copula方法是計算聯合分布函數的有效方法，已經在信用風險管理中得到了廣泛應用.Li5首次利用高斯Copula 模型分析了債券組合的聯合違約概率.Madan等6用單因子高斯Copula 模型為BDS的第k次違約進行定價.詹原瑞等7研究了基于Copula函數族的信用違約互換組合定價模型.Choe和Jang8在單因子正態Copula模型的基礎上，利用順序統計量研究了BDS定價.然而， Gapko和Smid9發現違約分布具有厚尾特征，學生t分布函數可以反映這種特征.Demarta 和McNeil10認為tCopula模型不僅可以刻畫分布函數的厚尾特征和違約傳染性，而且可以簡化聯合違約分布函數的計算復雜性.

因此，本文用單因子tCopula模型刻畫參照實體違約分布的厚尾特征，進而研究BDS的兩類定價問題，包括參照實體第k次違約時和n個參照實體中m個受保護時BDS的價格.并且用隨機模擬方法分別給出兩類BDS定價的數值算例，以此說明模型和方法的有效性.本文研究的主要貢獻在于：其一、構建了為BDS定價的單因子tCopula模型，使以此模型得到的BDS的價格更能反映違約分布的厚尾特征，更加符合市場的實際情況；其二、提出了求解BDS價格的順序統計量方法，簡化了聯合違約分布函數的公式，使得更加容易計算BDS的價格.

3一籃子信用違約互換定價

在BDS中有多個參照實體，它們違約的時間不同，因此依據參照實體違約時間的順序，BDS的定價又可分為一次性保護違約互換的定價和多重保護違約互換的定價.前者規定互換的賣方只對參照實體的第k次違約支付補償，而前k-1次違約并不支付補償；而后者對所有第i（i≤k）次違約事件均提供補償，參照實體出現一次違約事件后，合約不會終止，直到被保護的合約都違約后賣方才向買方提供損失補償.如果參照實體的違約次數k等于參照實體的總數，則意味著互換的買方將信用風險轉移給賣方.本文分別給出了一次性保護和多重保護的信用違約互換定價.為表達方便，變量定義如下：

5結論

信用違約互換是一類非常重要的信用衍生產品，為銀行等金融機構提供了規避信用風險的有力工具.一籃子信用違約互換（BDS）中一個參照實體的違約可能引起其它參照實體的違約，而且違約時間的分布具有厚尾的特征.因此，為了描述這種厚尾現象.本文將單因子正態Copula模型推廣到單因子tCopula模型，用t分布刻畫厚尾現象.在單因子tCopula模型框架下，給出了違約時間的分布函數，進一步提出了用計算順序統計量的方法得到了第k次違約時間的分布函數的顯性表達式.然后根據風險中性定價原理，得到了第k次信用違約互換定價公式和n個參照實體中m個參照實體受保護的信用違約互換價格的解析式.最后，為了說明理論模型的有效性，分別進行了數值實例分析.本文的研究為計算BDS的理論價格提供了一種有效方法，有助于投資者對BDS實際價格進行預測和套期保值策略的分析.

參考文獻

1.R C MERTON. On the pricing of corporate debt： The risk structure of interest rates J..Journal of Finance， 1974， 29（1）： 449-470.

2.C ZHOU. An analysis of default correlations and multiple defaults J.. Review of Financial Studies， 2001， 14（2）： 555-576.

3.D DUFFIE. FirsttoDefault valuationR.. Stacn ford： Stanford University， 1998.

4.KIJIMA M. Valuation of a credit swap of the basket type J.. Review of Derivatives Research， 2000（4）： 79-95.

5.D X LI. On default correlation： A Copula function approach J.. Journal of Fixed Income， 2000， 9（4）：41-50.

6.D MADAN， M KONIKOV，M. MARINESCU. Credit and basket default swaps J..The Journal of Credit Risk， 2006， 2（2）： 103-115.

7.詹原瑞，韓鐵，馬珊珊.基于Copula函數族的信用違約互換組合定價模型J..中國管理科學， 2008，16（1）：1-6.

8.G H CHOE， H J JANG. The k th default time distribution and basket default swap pricing. Quantitative Finance， 2011， 11（2）： 1793-1801.

9.P GAPKO， M MD. Dynamic multifactor credit risk model with fattailed factorsJ.. Finance A UverCzech Journal of Economics and Finance， 2012， 62（2）：125-140.

10.S DEMARTA，A J MCNEIL. The tCopula and related copulasJ.. International Statistical Review， 2005， 73（1）： 111-129.