基于ARMAGARCH模型的恒指隱含波動率指數預測及其在期權交易中的應用

陳彥暉

摘要基于ARMAGARCH模型，并結合均值回歸效應，溢出效應和周內效應，本文研究了恒指隱含波動率指數（VHSI）能否被預測及預測是否有助于期權投資實踐的問題.研究結果驗證了香港股市具有均值回歸的特性，標準普爾500指數對恒指隱含波動率指數有明顯的溢出效應.此外，恒指隱含波動率指數呈現出周一上漲，周五下跌的特征，具有明顯的周內效應.最后，本文運用ARMAGARCH模型對恒指隱含波動率指數進行預測，并結合實際的市場數據做了期權交易模擬.結果顯示，ARMAGARCH模型比ARMA模型更適合對恒指隱含波動率進行建模；考慮了均值回歸效應，溢出效應和周內效應之后，ARMAGARCH模型對恒指隱含波動率指數的預測能力顯著提高，并且預測結果有助于期權交易獲得較好的收益.

關鍵詞隱含波動率指數，ARMAGARCH，均值回歸效應，溢出效應，周內效應

中圖分類號F224.9文獻標識碼A

AbstractThis paper investigated whether the implied volatility index can be predicted with meanreversion， spillover effect and dayofweek effect by using ARMAGARCH model. The results show that Hong Kong Stock market is meanreversion and S&P 500 index shows significant spillover effect to VHSI. Refer to the dayofweek effect， Hang Seng implied volatility Index （VHSI） tends to rise on Mondays and decline on Fridays. Finally， this research explores whether the prediction of implied volatility can provide additional value to practitioners and retail investors alike. The result suggests that option trading based on volatility prediction is practical for option traders.

Key words implied volatility index； ARMAGARCH； meanreversion； spillover effect； dayofweek effect

1引言

隱含波動率是一種直接由交易中的期權價格計算而來的市場參數，由于其對金融市場具有重要的指示作用，近幾年來受到了實踐界與理論界的廣泛關注.職業期權交易者在交易時會考慮隱含波動率的大小.他們認為若隱含波動率過高，則期權價格被高估，反之亦然.絕大多數學者則認為隱含波動率對未來市場走向具有一定的指示作用.例如，Simon1研究了過高與過低標準普爾500隱含波動率指數（VIX）與未來市場走向的關系.學者普遍認為隱含波動率與股票指數之間是負相關的，因此隱含波動率可以被用來對沖風險.此外，運用特定的定價模型隱含波動率還可以用來對期權進行定價.由于隱含波動率的受關注度日益提高，美國芝加哥期權交易所（CBOE）為了方便普通投資者追蹤隱含波動率，率先推出了標準普爾500隱含波動率指數（VIX）.作為新興市場的代表，香港證券交易所于2011年發布了恒指隱含波動率指數（VHSI），為廣大投資者提供了更加全面的市場信息.本文以VHSI代表恒指隱含波動率，對恒生指數的隱含波動率進行研究.

早期學者的研究多集中于通過隱含波動率指數對市場收益進行預測2，3，很少有論文直接對隱含波動率指數進行預測.具有代表性的文章僅有兩篇：Konstantinidi et al. 4通過研究一系列歐洲和美國市場的隱含波動率指數對隱含波動率指數的走勢能否被預測進行了驗證；Ahoniemi 5運用ARIMA模型和不同的市場參數對VIX進行了預測.由于波動率在投資決策，資產定價及風險管理中占據重要地位.此外，隱含波動率指數直接由交易中的期權價格計算得到，因而更能反映市場的真實情況，對隱含波動率指數進行預測，并將預測值作為未來市場波動率的估計值，勢必會幫助投資者更加準確地進行投資決策，資產定價及風險管理.

由于美國金融市場的繁榮與主導地位，VIX和美國金融市場的其它隱含波動率指數得到了最廣泛的關注2，6，7.但是，僅有少量文獻涉及到了其他金融市場的隱含波動率指數的研究.而對于新興市場隱含波動率指數的研究更是屈指可數.本文的研究目的在于運用以VHSI為代表的新興市場數據，基于周內效應和溢出效應探索新興市場中隱含波動率指數能否被預測的問題.基于恒指期權的真實交易數據，本文進一步探討了研究波動率指數的特征是否能為期權交易者提供幫助.相信本文將有助于投資者和理論界加深對新興市場隱含波動率的了解.

2數據

2.1恒指隱含波動率指數（VHSI）

本文用于模型參數估計的數據取自2001年1月2日到2010年12月31日的VHSI日數據.圖1展示了自2001年1月到2011年12月的VHSI和恒生指數（HSI）的時間序列數據.從圖1中可以看到，2003年1月到2007年3月間，VHSI的值較為平穩，數值大多數情況下在20上下浮動，在此期間恒生指數呈現逐漸上升的態勢.但自2007年4月之后，伴隨著次貸危機的逐步顯現，VHSI的波動愈發明顯，并于2008年11月達到最大值.并且在2008年，恒生指數經歷了近十年內最大幅度的下跌.2008年之后，VHSI雖有所下降，但仍然維持較高水平，并時有大幅波動.而在此期間，恒生指數雖略有回升，但波動依然十分明顯.為了驗證模型參數的可靠性及穩定性，本文從建模所用的2001年1月到2010年12月的全部數據中，按照VHSI的波動情況及宏觀經濟形勢提取出來兩個不同的子樣本集：2003年1月到2007年3月的數據和2007年4月到2010年12月的數據.這兩個子樣本所含的觀測值數量十分接近，將有助于模型參數的可靠性和穩定性分析.

表1給出了VHSI，VHSI一階差分和VHSI對數變化率的描述性統計.VHSI的最大日變化量出現在子樣本2中：最大漲幅為17.10點，最大跌幅為15.06點.所有的數據集都是右偏的，并呈現尖峰厚尾的態勢.在0.01的顯著性水平下，Augmented DickeyFuller （ADF） 檢驗無法拒絕VHSI是非平穩時間序列的原假設.因而在建模中，本文將排除直接對VHSI進行時間序列建模.

Simon1指出使用對數變化率與隱含波動率指數的右偏形態相吻合.此外，使用對數變化率能避免對隱含波動率指數的預測出現負值.最后，結合偏度和超額峰度可得出VHSI的對數變化率更加接近于正態分布.因此，本文最終將使用VHSI的對數變化率進行建模，并對對數變化率進行預測.

2.2其他參數

很明顯，隱含波動率指數會受到其他金融和宏觀經濟指標的影響.許多諸如股票市場收益其他參數之類的變量已經被用來對VIX或隱含波動率進行建模5，6，8.

首先，市場收益與波動率之間相互影響.雖然許多學者驗證了VIX變化與當日S&P500指數變化的負相關性9，10，但是從預測的角度來說，使用前一天的股票指數變化才能滿足預測隱含波動率指數變化的需要.Fleming et al. 6同樣認為當期VIX變化與前一日股指收益之間存在微弱的正相關關系.Giot11研究了VIX和VXN與未來市場收益之間的關系.他指出極高的波動率指數值是市場超賣的指示.Aboniemi 5的研究發現，在眾多金融和宏觀經濟指標中，只有滯后的S&P500收益率對VIX具有顯著的影響.因此，本文在對VHSI進行建模與預測的時候，會加入恒生指數（HSI）作為重要的解釋變量.

研究者還認為不同國家或區域的股票市場之間會相互影響，產生溢出效應（spillover effect）.“溢出效應”表明一個資本市場的動蕩導致投資者在其他資本市場改變他們的投資行為，從而將這種震蕩傳遞到其他資本市場的現象.Aboniemi 5用MSCI EAFE指數（歐洲， 澳大利亞和遠東市場綜合股指）的收益代表全球股市來研究國際市場對VIX的影響.作為一個開放的經濟體，香港股票市場的變化與全球經濟的變化密不可分.美國股市作為全球經濟的指南針，常常左右全球金融市場的走向.因而本文選取S&P500指數S&P500指數以美國證券交易所，紐約證券交易所和納斯達克交易所中交易的主要企業的股票為樣本進行計算，企業范圍涵蓋各個行業.而道瓊斯工業綜合指數僅包含工業類股票，納斯達克指數僅包含科技股和高增長企業的股票.因此，本文選用S&P500指數，來考察美國股市對VHSI的溢出效應.來研究美國股市對VHSI的溢出效應.

研究發現隱含波動率在一周之內的變化是有規律的，即具有周內效應12，13.如表2所示，從平均值上看，周一的VHSI值在一周之內是最高的，周二到周五VHSI的值呈緩慢下降趨勢，而周四到周五的下降趨勢最為明顯，且周五的VHSI值在一周之內是最低的.這與Harvey和Whaley12的研究結果相一致.因此，本文通過設置啞變量來研究VHSI的周內效應（dayofweek effect），找出對VHSI變化影響最為顯著的工作日.

3模型建立與參數估計

3.1模型建立

通過EACF和SCAN方法可得ARMA（1， 1）模型對VHSI對數變化率的擬合度最好，這剛好與Aboniemi 5對VIX建模所得的結論相一致.

此外，本文將HSI對數收益率，S&P500指數對數收益率和衡量不同工作日與VHSI關系的啞變量作為解釋變量加入到ARMA（1， 1）模型中，構成ARMAX（1， 1）模型，如公式（1）所示，并以此模型來研究解釋變量對VHSI的影響，以及它們是否有助于提高模型的預測能力.

3.2參數估計

表3展示了對模型參數的估計結果.對于不同的樣本數據，ARMA和ARMAX的常數項，自回歸項和移動均值項的系數值是相似的，即解釋變量提取了ARMA的誤差項中的有效信息.

對周內效應的分析結果顯示，對于全部樣本和子樣本1，僅有代表周一和周五的啞變量對VHSI變化的影響是顯著的，這剛好與之前關于隱含波動率在一周之內呈周期變化的結論一致5，12，14.工作日啞變量與VHSI變化的關系正如預料的一樣：代表周一的啞變量系數（γ1為正，與VHSI周一上漲的現象一致；代表周五的啞變量系數（γ5）為負，與VHSI在周五的值最低的統計結果一致.但對于子樣本2（2007年4月到2010年12月），只有代表周一的啞變量對VHSI變化的影響是顯著的.Ahoniemi 5通過對1990年到2002年的VIX數據進行研究發現，在代表周一到周五的五個啞變量中，只有代表周一和周五的兩個啞變量顯著影響了VIX的變化.但是在他的樣本中，VIX的變化范圍僅為36.43，最大增幅只有9.92，最大跌幅只有7.8.這三個統計量均比本文所使用樣本的對應統計量要小.Harvey和Whaley 12認為，由于交易者往往在一周的第一個交易日建立頭寸，市場在周一承受了較大的買入壓力，因而周一的隱含波動率要高于其他幾日的隱含波動率.從長期上看，這種現象或許正確，但是當宏觀經濟形勢不穩定的時候，對市場產生重大影響的信息每天都會出現，這類信息使投資者每天都有可能建立期權交易頭寸來對沖風險，因此周五與隱含波動率變化之間的關系也變得不那么明顯.

表3 的參數估計結果同樣也顯示了VHSI的變化率與前一日的HSI收益率之間是正相關的.正的參數估計值暗示在經歷了前一日的股票市場上漲之后，股市下跌的可能性增大，股市風險增大，第一天的VHSI值將會上升.反之，當前一日的股票市場收益為負，股市上漲的可能性增大，股市風險降低，第二天的VHSI值降低.Fleming et al. 6將這一現象視作股市均值回歸的表現.

結果還顯示前一日的S&P500指數的對數收益率反向影響VHSI的對數變化率，也就是說，當前一日S&P500指數的收益為負時，次日VHSI的值將提高；同樣，當收益為正時，VHSI的值會降低.無論是用全部樣本還是兩個子樣本的數據，對應前一天S&P500指數對數收益率的參數（ψ2）都是統計顯著的.這種顯著性表明美國股市對香港股市具有明顯的溢出效應.從數據上分析（見表3），前一日S&P500指數的對數收益率每升高1點，次日的VHSI對數變化率將降低1.1個點.

4條件異方差性

圖2展示了2001年1月到2010年12月VHSI的日變化率，從圖中可以得出樣本區間內VHSI的波動率具有顯著的變化，即呈現異方差性（Heteroskedasticity）.此外，VHSI呈現明顯的波動聚集性（Volatility Clustering），也就是每一個時點上的VHSI波動率并不是獨立的，而是與之前的波動率相關，Engle15將這種現象稱為ARCH效應，也就是條件異方差性.Engle15通過研究金融時間序列中廣泛存在著這種現象提出了條件異方差回歸模型（ARCH模型）.Bollerslev16在ARCH模型中加入了移動平均項，這就是更一般化的GARCH模型.GARCH模型在研究金融市場的波動性方面倍受學者的推崇，如Blair和Poon2在研究S&P100指數的隱含波動率時應用了GARCH模型，國內學者孫邦勇和李亞瓊17應用GARCH模型研究了行業指數的波動率情況，而魏紅燕和孟純軍18基于GARCH模型對短期匯率進行了預測研究.鑒于可能存在條件異方差性，本文引入GARCH模型對VHSI進行深入分析.

最后，本文通過LjungBox Q檢驗20，Engles ARCH test分別來檢驗不同模型設定的殘差自相關性，異方差性.表6中的殘差檢驗結果顯示，對于全部樣本數據和自樣本數據集1，考慮了均值回歸相應，溢出效應和周內效應的ARMAX模型能很好地消除殘差的自相關性.對于子樣本數據集2，由于這一區間內VHSI的波動較為劇烈，所以ARMA模型殘差的自相關性本身就不顯著.而對于異方差性的檢驗，結果顯示，引入了ARCH（2）之后，模型的殘差序列不能拒絕“無異方差性（ARCH效應）”的原假設.

綜上，考慮了條件異方差性，不僅沒有改變原有模型（ARMA，ARMAX）各項系數的值，而且提高了原有模型對VHSI的建模的擬合度.

5預測結果比較

本節將全部數據分為樣本內數據（2001年1月～2008年12月）和樣本外數據（2009年1月～2011年12月），用樣本內數據進行模型的參數估計，用樣本外數據對兩種模型設定（ARMAGARCH，ARMAXGARCH）的預測結果進行比較.

本節采用均方誤差（MSE）對點預測的結果進行比較，因為準確的點預測對風險管理和資產定價具有幫助作用.除此之外，本節還采用變化方向的預測正確率來對預測結果進行比較.因為交易者可以根據隱含波動率的變化方向來建立適當的交易頭寸.

表7列出了不同模型設定的預測結果.結果顯示，解釋變量的確有助于變化方向預測正確率的提高.當使用均方誤差對點預測進行評價時，無論是樣本內預測還是樣本外預測，包含解釋變量的模型設定要優于不含解釋變量的解釋設定.

6期權交易收益比較

在本節中，將模型的預測結果應用于期權交易，來研究隱含波動率預測的實踐意義.期權投資者往往通過對未來波動率變化方向的預測來建立期權交易頭寸，最簡單的交易策略是：當預計波動率升高時，市場風險增大，投資者持有看跌期權，當預計波動率下跌時，市場風險減小，投資者持有看漲期權.利用波動率升高與降低來實現獲利的期權策略還有跨式交易策略.跨式交易策略需要同時買入或賣出相等張數到期日相同，執行價格相同的看漲期權和看跌期權來構建交易頭寸.當預計VHSI上升時，買入看漲和看跌期權；當預計VHSI下降時，賣出看漲和看跌期權.

本節將運用上文所討論的4種模型設定對VHSI的變化方向進行預測，并結合恒生指數期權的交易數據，做期權交易模擬.預測值全部采用樣本外預測的結果，按照當日對次日VHSI變化方向的預測，以當日的收盤價買入或賣出最近到期日的價近期權.選用價近期權是因為價近期權的交易最為活躍21，關注波動率變化的投資者更傾向于交易價近期權，而不是價內期權與價外期權22.此外，Bollen 和 Whaley 9認為價近期權對波動率變化的敏感度最高.并且香港交易所在計算VHSI時選用的期權的執行價格位于市場價格±20%的區間之內.選用最近到期日的期權，同樣是基于成交活躍度的考慮.Poon 和 Pope 23對1 160天S&P100和S&P500指數期權的交易數據分析得出離到期日5到30天的期權合約數量最多，成交量也最大.但是為了避免離到期日越近，期權價格的不規律變動增多，本文僅選用距到期日5天以上的當期期權或近期期權.用于測試的樣本外數據選自2011年4月1日～2011年12月30日恒生期權每日收盤價格，2001年1月到2011年3月的數據作為樣本內區間進行模型的參數估計.

本文根據預測的VHSI變化方向，在第T天建立交易頭寸，在T+1進行反向操作，對前一日的交易頭寸進行平倉.當預測的VHSI變化方向為正時，建立買入頭寸，即買入價近的看漲和看跌期權，再將兩者于次日賣出.同樣，當預測的VHSI變化方向為負時，建立賣出頭寸，即賣出價近的看漲和看跌期權，次日再買入相同的期權進行平倉.買入頭寸與賣出頭寸的獲利分別由公式（4）和（5）計算.

同期權下一個交易日的收盤價格.

雖然本節主要應用變化方向的預測來進行交易，但依然在交易模擬中設置了閾值（filter）.這是因為，當預測的VHSI變化率很小時，波動率方向變化的預測結果會變得不可靠.此外，閾值的使用也是出于對交易成本的考慮，因為極小的變化率會使利潤被交易成本抵消，最終無法實現獲利.Harvey 和Whaley 12，Noh et al. 24都運用了兩個閾值，將極小的變化率預測排除在外.出于對交易成本的考慮，Poon 和 Pope 23設置了三個閾值來進行交易模擬.本節選用了三個閾值-0.1%， 0.2% 和0.5%-來對交易信號進行過濾，當預測的VHSI變化率小于閾值時，將不做建倉交易.

交易模擬的初始資金設置為5 000港幣.交易的獲得的收益可以加入本金，不再額外補充本金.最終的收益率（R_ratio）由最后的總收益除以原始本金得到，盈利比例（W_ratio）由盈利次數除以交易次數得到.為了避免價格干擾和流動性缺乏，本節使用距到期日5日以上的當期期權和近期期權.例如，自2011年4月25日～4月30日，本節將不選用到期日為2011年4月30日的期權進行交易，而是選用到期日為2011年5月30日的期權進行交易模擬.交易模擬的結果如表8所示.

交易結果顯示，包含解釋變量的模型設定優于不含解釋變量的模型.所有的模型均能得到50%以上的盈利比例，但是較高的盈利比例并不對應著較高的收益率，這是因為收益率與每次交易的收益有關.結合全文的分析，本文認為對VHSI進行預測，并結合跨式期權交易策略有利于交易收益的提高.

7結論

本文應用ARMAGARCH模型，并基于金融市場的均值回歸效應，美國股市對VHSI的溢出效應，VHSI的周內效應，對VHSI進行建模與預測.研究結果表明，前一日的恒生指數收益率與VHSI的變化率正相相關，這是香港股市具有均值回歸特征的體現.其次，美國股市對VHSI的溢出效應體現在S&P500指數的變化與VHSI的變化呈現負相關的關系.研究結果還表明VHSI的值在周一升高，之后4天緩慢下降，具有明顯的周內效應.模型參數估計的結果，則表明周一和周五對VHSI變化的影響最為顯著.為了檢驗模型參數的穩定型和可靠性，本文按照宏觀經濟形勢，從全部樣本數據中提取了兩個波動形態相反的子樣本.通過對3個樣本的模型參數估計結果分析，得出本文所使用模型中解釋變量對VHSI變化的影響總體上是穩定的.預測結果的比較顯示，通過模型設定，VHSI變化方向可以被預測.最后，為了考察對隱含波動率建模與預測的實踐意義，本文將模型的預測結果用于恒指期權的交易當中.交易模擬的結果顯示，考慮均值回歸效應，溢出效應和周內效應有助于提高期權交易的收益.因而，對隱含波動率進行預測有助于投資者做出正確的投資決策.

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