隨機振動的描述及其試驗與仿真

吳 煥，趙潤生，唐 勇

（中認英泰檢測技術有限公司，蘇州 215104）

引言

隨機振動是未來任何一給定時刻的瞬時值都不可預先確定的一種機械振動。它的運動規(guī)律 無法用確定函數(shù)，只能用概率與統(tǒng)計方法描述。隨機振動從振動單次現(xiàn)象觀察來看存在不確定性，但根據(jù)相同的條件下多次測試結果的總體分析，其統(tǒng)計特征為確定的。通常隨機振動探討的問題有：確定系統(tǒng)響應統(tǒng)計特性之“預測”問題，估計系統(tǒng)性能之“識別”問題以及尋找外部的激勵信息之“測量”問題[1]。

工程上用隨機振動試驗來確定元器件和設備經(jīng)受規(guī)定嚴酷等級的隨機振動能力，國內(nèi)目前能進行隨機振動試驗的檢測機構非常多，但能完成較大量級隨機振動試驗的單位較少。

隨著有限元技術的發(fā)展，隨機振動也可以通過計算機進行有限元仿真。經(jīng)過試驗驗證的有限元分析方法可以用來分析結構在隨機激勵下的響應，研究結構在承受一定嚴酷等級隨機振動后的失效模式，在此基礎上對結構進行優(yōu)化設計，縮短了結構設計周期，降低了設計成本。

1 隨機振動的描述

隨機振動和確定性振動有本質的不同，不能用時間的確定性函數(shù)來描述。在幅域上，隨機振動通過概率分布函數(shù)、概率密度函數(shù)、均值、均方值、方差等來描述；在時差域上用相關函數(shù)、相關系數(shù)來描述；在頻域上則通過功率譜密度函數(shù)來描述[2]。

1.1 隨機振動的幅域描述

1）概率密度函數(shù)

如圖1所示的隨機信號，描述的是信號幅值隨時間的變化，幅值落在 x到x +Δx 區(qū)間內(nèi)的總時間為：

則幅值落在該區(qū)間內(nèi)的概率為：

定義概率密度函數(shù)為：

由式（2）可以看出，概率密度函數(shù)是概率相對于振幅的變化率，因此可以從對概率密度函數(shù)積分而得到概率，即：

式（2）亦表明概率密度函數(shù)是概率分布函數(shù)的導數(shù)，它給出了隨機信號沿幅值域分布的統(tǒng)計規(guī)律。不同隨機信號有不同的概率密度函數(shù)圖形，工程上最常見的也是應用最多的是正態(tài)分布的概率密度函數(shù)圖形，如圖2所示。

2）均值

隨機信號{ Xn}的均值定義為其隨機變量Xn的數(shù)學期望：

均值是隨機變量的一階矩，可理解為信號的直流分量。

3）均方值

隨機信號{ Xn}的均方值定義為其隨機變量Xn模的平方的數(shù)學期望：

均方值是隨機變量的二階矩，可理解為信號的平均功率，表達了信號的強度。

1.2 隨機振動的頻域描述

信號頻域描述的目的是判斷一個信號過程由哪些頻率成分構成。對于確定性信號，若信號為周期信號，可用傅里葉級數(shù)展開來分析周期信號的頻率成分；若為非周期信號，可用信號本身的傅里葉變換來對信號進行頻域分析。而對于隨機信號，不能直接對其進行傅里葉變換，采用功率譜密度函數(shù)進行頻域描述。

圖1 隨機信號示意圖

根據(jù)巴塞法爾定理，在時域中計算的信號總能量等于在頻域中計算的信號總能量，即：

對于上式等號左邊的積分，均值不為零的隨機信號不是平方可積的，在這種情況下就沒有傅里葉變換。維納-辛欽定理（Wiener-Khinchin theorem）提供了一個簡單的替換方法，如果信號可以看作是平穩(wěn)隨機過程，那么功率譜密度就是信號自相關函數(shù)的傅里葉變換，記為Sx(f)，結合自相關函數(shù)的定義，進一步推導得：

2 隨機振動試驗

2.1 試驗簡介

圖2 正態(tài)分布概率密度函數(shù)示意圖

隨機振動試驗適用于使用中可能受到隨機性振動條件影響的元器件和設備。試驗目的在于確定機械弱點和（或）規(guī)定性能是否下降，并結合有關規(guī)范使用這些信息來決定試驗樣品是否接收。工程上隨機振動試驗采用振動臺實現(xiàn)，樣品通過夾具固定在振動臺臺面上，隨機振動信號由振動控制儀給出，經(jīng)過功率放大器傳遞至振動臺，實現(xiàn)振動激勵，加速度計將振動信號反饋至控制系統(tǒng)，實現(xiàn)閉環(huán)控制，如圖3所示為隨機振動試驗示意圖。

隨機振動試驗方法已列入國家標準GB/T 2423，以擴大現(xiàn)行的正弦振動試驗GB/T 2423.10。隨機振動試驗是一種比較接近于實際環(huán)境中存在的振動類型的試驗方法，并且在試驗樣品中產(chǎn)生的效應比較接近于使用中可能發(fā)生的效應。當實際環(huán)境大致為隨機振動時，只要經(jīng)濟上合理就應采用隨機振動試驗，因為正弦振動和隨機振動對樣品失效機理的影響方式并不相同[3-4]。

2.2 試驗條件和相關試驗參數(shù)計算

隨機振動的試驗條件包含試驗頻率區(qū)間、試驗譜形和量級、試驗時間以及試驗方向。試驗譜形和試驗量級經(jīng)常用表格的形式或者加速度功率譜密度曲線的形式給出。圖4為用功率譜密度曲線表示的典型隨機振動的試驗條件：

2）加速度功率譜密度斜率（dB/oct） 按照下式計算：

圖3 隨機振動試驗示意圖

3）加速度均方根值（grms）的計算

由功率譜密度的定義可知，功率譜密度曲線下的總面積即為隨機信號的總功率，再求其算數(shù)平方根，即可得到加速度均方根值。面積A1、A2、A3計算如下：

式中m=N/3，若N=3則m=1時，必須采用以下降譜計算公式：

則加速度總均方根值為加速度功率譜密度曲線下總面積的算術平方根，即：

加速度總均方根值是隨機振動量級的衡量。

2.3 試驗再現(xiàn)性

在所有環(huán)境試驗方法國家標準中，特別是對鑒定試驗或驗收試驗，以及有關方面（例如電子元器件的供方和需方）打算對同型號試驗樣品進行的試驗，都要求有一定等級的再現(xiàn)性。

一是研究制訂更加有效的政策，扶持“金屬表面無磷處理”“中水回用”“再生水、雨水綜合利用”等項目，以發(fā)揮示范項目的作用；二是通過 “多水源、多用戶的優(yōu)化配置”等方面研究，進一步加強水資源管理能力；三是繼續(xù)加大農(nóng)村供水管網(wǎng)改造力度，2014年將完成城區(qū)及鄉(xiāng)鎮(zhèn)26個村的老舊供水設施的改造,將農(nóng)村供水管網(wǎng)漏損率降低到22%；四是加快實施居民自來水階梯水價制度，創(chuàng)建一批節(jié)水型示范機關、學校、企業(yè)、醫(yī)院、居民小區(qū)；五是加快新建、擴建4個集鎮(zhèn)污水處理廠，將全市的污水日處理能力從現(xiàn)在的9.5萬t提高到22萬t。

圖4 功率譜密度曲線圖

隨機振動試驗的再現(xiàn)性不是指試驗與實際環(huán)境之間的再現(xiàn)性，而是指由不同的人在不同場合下進行試驗時所得結果的一致性。隨機振動的再現(xiàn)性分為高、中、低三個等級，不同等級對應的試驗容差不同。

低再現(xiàn)性試驗方法可能比其他方法要簡單和便宜。高再現(xiàn)性試驗給出相對高的再現(xiàn)性，但一般都比較復雜，可能需要更貴重和更先進的試驗設備，還由于要求附加的測試而使試驗的時間較長。只有當絕對必要時才要求采用高再現(xiàn)性試驗。

再現(xiàn)性的選取不應高于試驗樣品推薦應用時所必要的再現(xiàn)性。

3 隨機振動的有限元仿真

圖5 隨機振動有限元分析流程

隨著社會工業(yè)發(fā)展以及經(jīng)濟水平逐漸提高，對各種結構的可靠性、安全性要求也越來越高，其中結構的振動問題為影響結構可靠性、安全性的重要因素。機械設備、橋梁、建筑物、輸電鐵塔等各種結構在實際應用中，難免受到地震、沖擊、波浪、風載等外界的隨機激勵，確保結構在振動激勵下的可靠性、安全性十分必要。

通過隨機振動試驗，在實驗室中就能模擬結構經(jīng)受外界隨機激勵，得到結構的響應或失效模式。但對于大型結構、建筑、橋梁等，需在設計階段就對其抗振能力進行評估，確保結構具有足夠的安全性才投入生產(chǎn)和建造，利用隨機振動試驗無法實現(xiàn)。采用有限元技術，在計算機中就能模擬結構經(jīng)受隨機振動激勵時的響應，如圖5所示，結合材料的疲勞特性，還能預估結構的使用壽命[5]。

如圖6所示為某輸電鐵塔的隨機振動有限元分析過程。在軟件ANSYS Workbench中建立輸電鐵塔的有限元模型（圖6a），對其進行模態(tài)分析，得到其固有頻率和振型，即輸電鐵塔自身的振動特性（圖6b）；輸入隨機振動功率譜密度曲線（圖6c），通過模態(tài)合并，計算出結構在給定隨機激勵下的響應（圖6d）。

隨機振動有限元分析流程簡單，軟件操作便捷，分析結果可靠性高。大批有限元軟件的問世使各種非線性問題、耦合場問題的分析成為可能，有限元技術在工程中應用愈來愈廣泛。

圖6 輸電鐵塔隨機振動有限元分析

4 結論

隨機振動只能通過概率和統(tǒng)計方法來描述。嚴格來說，實際工程中遇到的振動一般都是隨機振動。利用隨機振動來考核產(chǎn)品才能更真實地反映產(chǎn)品對振動環(huán)境的適應性和考核其結構的完好性。

過去，實驗室模擬隨機振動絕大部分均是采用正弦掃頻試驗代替，近階段隨著快速傅利葉變換算法的推出與電子計算機技術的發(fā)展，也出現(xiàn)了各種型號的隨機振動數(shù)字式控制系統(tǒng)，使得隨機振動試驗被廣泛采用。但國內(nèi)的隨機振動試驗能力相比國外仍落后較多，相應的隨機振動嚴酷等級也低于國外。

有限元技術的發(fā)展給隨機振動的仿真帶來了便捷。一些大型結構難以用隨機振動試驗進行可靠性考察的，可以通過有限元技術進行振動響應分析，在此基礎上對結構進行優(yōu)化設計，估算結構的疲勞壽命。目前有限元技術在工程上已廣泛應用，在結構的振動分析中也發(fā)揮了巨大作用。

[1]李杰,陳建兵. 隨機振動理論與應用新進展[M]. 上海:同濟大學出版社, 2009, 4.

[2]賈民平，張洪婷，周劍英. 測試技術[M]. 北京:高等教育出版社，2007, 12.

[3]GB/T 2423.56-2006, 寬帶隨機振動（數(shù)字控制）和導則[S].

[4]GB/T 2423.10-2008, 振動（正弦）[S].

[5]李范春. ANSYS Workbench 設計建模與虛擬仿真[M]. 北京:電子工業(yè)出版社, 2011, 8.