嫦娥三號軟著陸軌道的建模分析

申延成，商玉鳳，龐世春

(空軍航空大學 飛行基礎訓練基地基礎部，長春130022)

0 引言

在進行月面勘測時，為了保證儀器設備以及航天員的安全，登陸飛行器都是采用軟著陸的方式，所以登陸飛行器的軟著陸軌道設計至關重要。嫦娥三號于2013 年12 月2 日1 時30 分成功發射，12 月6 日抵達月球軌道。嫦娥三號的著陸軌道為從近月點至著陸點，其軟著陸過程共分為6 個階段，要求滿足每個階段在關鍵點所處的狀態。

本文首先求出了嫦娥三號在近月點、遠月點的速度;其次，采用離散化的思想，對嫦娥三號的軟著陸過程進行建模分析，將連續軌道離散化，根據每個階段兩個端點的狀態去確定階段中各個離散點的狀態，進而實現對飛行器軟著陸軌道的控制。經仿真驗證，發現本模型能較準確地模擬出嫦娥三號的軟著陸軌道;最后，對模型進行了誤差分析。

1 模型的建立與求解

以近月點為坐標原點，近月點指向月心方向為y 軸正方向，垂直于y 軸且與嫦娥三號在近月點速度方向相同的方向為x 軸正方向，建立如圖1 所示的直角坐標系。

由萬有引力定律可知，嫦娥三號在近月點所受的向心力即為月球對其的引力，即:

其中M 為月球的質量，m 為嫦娥三號的質量，r 為嫦娥三號在近月點與月心的距離，r'為嫦娥三號在近月點對橢圓軌道的曲率半徑。易得

聯立方程(1)(2)，代入相應的數據即可算出近月點的速度va=1692。2m/s，同理得遠月點的速度vb=1613.9m/s。

把從15km 到3km 主減速階段的軟著陸軌道用時間間隔進行離散化，整個軌道可分割為N 個小段，每段的節點設一個推力方向，如圖2 所示。

在主減速階段，要使嫦娥三號獲得最好的減速效果，減少燃料消耗，應該保持最大推力［1－2］，且使每一時刻的推力方向與當時的速度矢量反向。當時間間隔足夠小時，可以近似地把嫦娥三號在第i+1 時刻的位置點(xi+1，yi+1)指向第i 時刻的位置點(xi，yi)的方向作為推力的方向，即

圖1 直角坐標系示意圖

其中θi是第i 時刻嫦娥三號運動方向與x 軸負向的夾角。

在間隔時間很小的情況下可以忽略質量的變化，并且由比沖關系式可知，在一個時間間隔t 內的燃油消耗量為

圖2 主減速階段的軟著陸軌道離散化

其中，F 是發動機的推力，ve表示以米/秒為單位的比沖表示單位時間燃料消耗的公斤數。所以第i時刻末嫦娥三號質量為

對嫦娥三號在第i 時刻至第i+1 時刻過程進行受力分析，如圖3 所示。

由牛頓定律，容易得到

其中，Fx、Fy分別表示合外力在x、y 軸上分量，ax、ay分別表示嫦娥三號在x、y 軸上的加速度。分析式(5)發現:在第i 時刻至第i+1 時刻過程中，嫦娥三號沿x 軸和y 軸分別作勻加速直線運動，于是可得到關于位移和速度的方程:

圖3 嫦娥三號的受力分析圖

其中，vXi+1、vYi+1分別為嫦娥三號第i+1 時刻速度vi+1在x、y 軸上的分量。這樣，由方程(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9)(10)(11)便可表示出嫦娥三號在第i(i=0，1，…，N)時刻的質量、速度和位移。

快速調整階段的分析過程與主減速階段完全類似，這里不再贅述。

在粗避障階段，首先對著陸區照片圖像進行預處理，然后按下面的方法分步驟找出合適的懸停位置:

Step1:取一個固定點作為參考點，掃描所有的格點，確定每個點的高程值。

Step2:取適當的高度間距值，并從最高的高度向下減一個間距作為起始判斷高程。

Step3:找出所有滿足該高程的點，判斷這些點是否在圖中可大致互相連接形成閉合的圈，并且在圈中存在比其高程小的閉合的圈;如果有，排除所有的在該圈內以及所有圈上的點。

Step4:判斷高程再減一個間距，如果判斷高程未低于最低高程，執行Step3。

Step5:在剩下的格點中選取行列相連足夠大且離中心點距離最短的矩形，作為最后的選擇點。

找到合適的懸停位置以后，采用與主減速階段同樣的分析方法來模擬這個階段嫦娥三號的運行軌跡。只是考慮到在本階段末要求嫦娥三號水平速度為零懸停，我們分兩個階段來完成。第一個階段是移動到懸停位置正上方，保證速度為零;第二個階段是豎直向下運動，直至將高度降至100m。

精避障階段采用與粗避障階段同樣的方法，首先對嫦娥三號高度為100m 時正下方的圖像照片進行預處理，選取合適的著陸點。進一步，嫦娥三號在精避障階段的狀態改變量較小，其軌跡可以近似成一條指向月心的軌道。

2 仿真計算

在主減速階段，已知嫦娥三號初始狀態為m=2400kg，θ0=0，x0=0，y0=0，vX0=va，vY0=0。代入初始狀態進行遞歸就可以得到嫦娥三號主減速階段的運動軌跡。通過MATLAB 編程［3］，最終可以得出嫦娥三號在主減速階段的運動軌道，如圖4 所示。

圖4 嫦娥三號在主減速階段的的運動軌道

圖5 嫦娥三號在快速調整階段下運動軌跡

主減速階段共用時425.5 秒，本階段結束時，嫦娥三號高度為3km，距離近月點的高度差為11996m，水平距離為409.84km，使用燃料1084.9kg，嫦娥三號此時質量為1315.1kg，沿x 軸正方向的速度49.75m/s，軸正方向的速度26.84m/s，合速度大小為56.53m/s，合速度方向跟x 軸正方向的夾角為28.2°.由高度差和合速度可以看出此模型具有較好的合理性。

快速調整階段的初始狀態為m=1315.1kg，θ0=0.49，vX0=49.75m/s，vY0=26.84m/s。代入初始狀態值進行遞歸，使用MATLAB 編程便可得出嫦娥三號在快速調整階段沿坐標系的運動軌跡，如圖5 所示。

由圖5 可得，此軌跡與實際要求達到的狀態較為符合。在快速調整階段嫦娥三號高度下降了600m，水平運動了274.97m，使用的時間為10.8s，使用燃料質量為27.8kg，嫦娥三號此時質量為1287.2kg，沿x 軸正方向的速度為0.36m/s，y 軸正方向的速度為83.32m/s。

在粗避障階段，對照片處理得到圖6。然后，根據我們的搜索算法，很快就將像A、D、E 這樣的大坑中的點全部排除，最后留下B—C 走廊，其中B 是中心點的位置。顯然B 點周圍沒有較大的矩形以滿足于降落，所以沿著B 周圍遍歷，最后找到C 這個最佳懸停點，其位置坐標為(950，1250)。在該階段嫦娥三號應移動距離為223.6m。通過MATLAB 仿真，此階段嫦娥三號的運動軌跡如圖7 所示。

圖6 距2400m 處的月球表面等高線圖

圖7 嫦娥三號粗避障階段的模擬軌跡

在精避障階段，對100m 處獲得的月面著陸區照片進行處理得到圖8。然后，根據粗避障階段的算法，很容易得到A、B、C、D、E、F 處可能存在較大的坑，在選取著陸點時先把這幾塊矩形所包圍的面積剔除。為了節省油料，可選取與中心點距離最短的點為著陸點。用窮舉法，發現(54.33，38.64)滿足可行域，且離中心較近。

圖8 距100m 處的月球表面等高線圖

圖9 嫦娥三號的整個軟著陸軌道模擬圖

精避障階段與粗避障階段過程相似，并且嫦娥三號的狀態改變量較小，其軌跡可以近似成一條指向月心的軌道。在緩速下降階段和自由落體階段嫦娥三號只是垂直下落，沒有橫向的位移。于是，從粗避障過程的第三階段開始到著陸都是一條指向月心的軌道。結合前面幾個階段的運行軌跡，可以得到整個過程的著陸軌跡，如圖9 所示。

3 誤差分析

在著陸軌道的確定上，因為解析法難以求解，所以本文采用將軌道離散化分段控制的方法，來計算著陸軌道。通過列出第i 時刻至第i+1 時刻過程中各個量之間的關系，由初始狀態去遞推出各個時刻的狀態。也就是說，在本模型中只能知道每個時間區間兩個端點的狀態，若想知道區間中某個點的狀態，只能用區間端點的狀態去替代。進一步，在對著陸軌跡曲線的處理過程中，采用了以直代曲的思想，如圖10 所示。

綜合以上分析，在本模型中，控制的時間間隔t 越大，誤差越大。

4 結語

月球軟著陸是月球探測中的一項關鍵技術，如何實施軟著陸以及如何更好地實現對其控制并在過程中盡量減少燃料的消耗，已成為月球探測研究工作中的重中之重。本文建模思想簡單，操作性強，對探測器的軟著陸軌道設計具有一定的參考意義。

圖10 以直線長代替弧線長示意圖

［1］ 孫軍偉，喬棟，崔平遠.基于SQP 方法的常推力月球軟著陸軌道優化方法［J］.宇航學報，2006(1):99－102.

［2］ 趙吉松，谷良賢，潘雷.月球最有軟著陸兩點邊值問題的數值解法［J］，中國空間科學技術，2009(4):21－27.

［3］ 金明，阮沈勇.MATLAB 實用教程［M］.2 版.北京:電子工業出版社，2008.