基于共軛梯度法的低復雜度信道估計*

2015-03-25 05:55:30李臣陽高向川張衛黨

通信技術 2015年11期

李臣陽，高向川，張衛黨

(鄭州大學信息工程學院,河南鄭州 450001)

基于共軛梯度法的低復雜度信道估計*

李臣陽，高向川，張衛黨

(鄭州大學信息工程學院,河南鄭州 450001)

信道估計；大規模MIMO；共軛梯度法；導頻污染

0 引言

在大規模MIMO系統中，基站配置多根天線并與多個同信道用戶同時通信已被引入下一代無線標準[1-2]。大規模MIMO(Massive MIMO) 時分雙(Time Division Duplex, TDD)系統作為一種新穎的蜂窩網絡結構成為當前的研究熱點[3]。Massive MIMO通過增加基站天線的數量來擴大信道容量和提高信道估計性能，已經成為了一種關鍵技術[4-5]。利用信道互易性，信道訓練的開銷僅與每個小區的用戶數相關，而與基站天線數無關，因此，當基站天線數趨向無窮時，并不會增加系統的反饋開銷而且文獻[6]已證明額外多出來的天線總是對性能有益的。

共軛梯度法最早是由Hestenes和Stiefle于1952年提出來的，用于解正定系數矩陣的線性方程組[7-8]，在這個基礎上，Fletcher和Reeves(1964)首先提出了解非線性最優化問題的共軛梯度法[9]。共軛梯度法是介于最速下降法與牛頓法之間的一個方法，它僅需利用一階導數信息，但克服了最速下降法收斂慢的缺點，又避免了牛頓法需要存儲和計算Hesse矩陣并求逆的缺點，共軛梯度法不僅是解決大型線性方程組最有用的方法之一，也是解大型非線性最優化最有效的算法之一。由于共軛梯度法不需要矩陣存儲，且有較快的收斂速度和二次終止性等優點，現在共軛梯度法已經廣泛地應用與實際問題中。在本文中，我們將求逆過程轉化為解方程組的問題，然后通過共軛梯度法近似求解去降低其復雜度。

1 信道模型

我們假設基站端配置Nr根接受天線，發射端配置Nt根接受天線，為了估計準靜態平坦衰落信道H∈Nr×Nt的瞬時MIMO信道系數，信道矩陣H建模為,其中非零均值矩陣H意味著可能存在視距傳播，并且協方差矩陣R∈NtNr×NtNr是半正定。考慮到R一般不是一個經過縮放的單位矩陣，但描述了空間傳播環境，我們使用與文獻[10-12]一樣的導頻信號，也就是發射機發射一個預定的導頻P∈Nt×B，接收機接收到的信號Y∈Nr×B由下公式得到：

Y=PH+N

(1)

式中，N∈Nr×B循環對稱復高斯干擾,干擾協方差矩陣S∈NrB×NrB是正定的，它包括常規的非相關接收機噪聲和不同類型的來自其他系統的干擾，在大量的大規模MIMO參考文獻中[4,13-16],后者通常稱為導頻污染。矩陣R和S被假設在發射器和接收器已知。

(2)

式中，I為一個Nr×Nr的單位陣，則由以上幾個式子可已將信道模型表示為：

(3)

如果接收端已知信道和噪聲的統計信息，那么BayesianMMSE估計結果為[10-12,17]：

(4)

然后得到估計誤差：

(5)

最近，對大規模MIMO系統的研究興趣日益增加，在基站接收端可能會裝置有數百個天線，為了估計每根天線的信道信息，導頻序列長度B要和發射天線數Nt相同[3-4]。在大規模MIMO系統在TDD模式下，在利用信道互易進行信道估計時總有Nt

假設在一個大規模MIMO系統中，Nt=20，Nr=200，那么MMSE估計就需要對一個4 000×4 000的矩陣進行求逆。由于R和S隨時間的變化，這種大規模的操作需要相當頻繁。本文的目的是要用一種迭代方法對求逆的過程進行優化，使計算復雜度和估計性能之間達到一種平衡。

2 共軛梯度法

(6)

共軛梯度法的基本思想是把共軛性與最速下降方法相結合，利用已知點處的梯度構造一組共軛方向，并沿這組方向進行搜素，求出目標函數的極小點。

對于二次函數：

f(x)=1/2xHAx+bHx+c

(7)

式中，x為n維矩陣，A是對稱正定矩陣，c為常數。首先我們給定一個任意初始點x(1),計算出目標函數f(x)在該點的梯度g(1)，若‖g(1)‖<ε，ε為無窮小量，則停止計算，否則令：

d(1)=-f(x(1))=-g(1)

(8)

式中，d(1)搜索方向稱為最速下降方向，沿方向d(1)搜索，得到點x(2)，然后計算在x(2)處的梯度，若‖g(1)‖>ε，則利用-g(2)和d(1)構造第2個搜索方向d(2)，再沿d(2)搜索。一般地，若已知點x(k)和搜索方向d(k)，則從x(k)出發，沿d(k)進行搜索，得到：

x(k+1)=x(k)+λ(k)d(k)

(9)

式中，迭代步長λ(k)滿足：

(10)

此時可求出λ(k)的顯示表達式：

(11)

利用-g(k+1)和d(k)構造下一個搜索方向d(k+1)，并使d(k)和d(k+1)關于A共軛。令：

d(k+1)=-g(k+1)+β(k)d(k)

(12)

上式兩端左乘d(k)HA可解得：

(13)

再從x(k+1)出發，沿方向d(k+1)進行搜索。

共軛梯度法具體過程如下算法：

1.給定任意初始點x(1)和精度要求ε。

(14)

3 仿真分析

為評估提出的估計算法的性能，設定在大規模MIMO系統中，Nr=100，Nt=10，導頻長度B=10。不失一般性，設定零均值的信道和干擾。我們遵循克羅內克模型[18]來描述目標信道和干擾信道天線之間的相關性。在仿真中，MIMO系統的協方差矩陣被模擬為：R=Rt?Rr，其中Rt∈Nt×Nt和Rr∈Nr×Nr分別為發射端和接收端的協方差矩陣。干擾小區和目標小區模型一樣，第i個干擾小區的協方差矩陣為Rti?Rri,β≥0,U為干擾小區集合，β因子表示該污染小區的污染嚴重程度。β=0時表示噪聲受限情況，β=1表示干擾受限情況。

我們利用歸一化的MSE作為我們度量性能的標準:

(15)

在圖1中，畫出了β=0、0.1、1,迭代次數N=40情況下，估計誤差MSE和信噪比SNR的關系。在圖1中可以看出，在β=0 噪聲受限情況下，MMSE估計器隨著信噪比的增加，估計精度趨于0，在β≠0時，由于存在導頻污染，估計精度趨于一個非零值；我們還可以看出在信噪比較低時，基于共軛梯度法的信道估計精度并沒有降低，只有在信噪比較高時，由于逼近誤差所產生的偏差，MSE會有所下降。在存在導頻污染的情況下，對于任意固定的迭代次數N，隨著信噪比的增加，基于共軛梯度法的信道估計和傳統的MMSE信道估計一樣，MSE最終均收斂到一個非零值。而且干擾情況越嚴重，基于共軛梯度法的估計性能越接近于MMSE估計器，當β=1時，基于共軛梯度法的估計性能與MMSE估計器是完全相同的。

圖1 不同干擾情況下MSE隨著SNR 的變化

在圖2中，信噪比SNR設定為5 dB，迭代精度ε=0.001,我們可以看出，隨著迭代次數的增加，基于共軛梯度法的信道估計誤差一直在降低。而且β=0、0.1、1時，迭代次數N=45、45、30，本文所提出的優化算法就能夠達到MMSE估計器的估計性能。也就是說迭代次數很小就能夠達到傳統MMSE估計的性能，而且45?1 000,在復雜度方面降了一個數量級。

圖2 不同干擾情況下MSE隨著迭代次數N的變化

4 結語

通過使用信道的二階統計信息，Bayesian MMSE信道估計獲得了良好的性能。但是在大規模MIMO系統中，天線尺寸非常大，由于再利用Bayesian MMSE方法進行信道估計時，存在協方差矩陣的逆，所以這將是一個極其復雜的過程。在本文中，我們將求逆的過程轉化為解方程組的問題，然后利用共軛梯度法通過迭代取得方程組的近似解，以此來降低Bayesian MMSE估計方法的復雜度。而且隨著迭代次數的增加，基于共軛梯度法的信道估計性能無線接近于Bayesian MMSE的信道估計性能。并且，在迭代次數很小的時候，就可以達到Bayesian MMSE的估計精度。

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Low-ComplexityChannelEstimationbasedonConjugateGradient

LIChen-yang，GAOXiang-chuan，ZHANGWei-dang

(InformationandEngineeringCollege,ZhengzhouUniversity,ZhengzhouHenan450001,China)

In consideration of pilot-based channel estimation in large-scale MIMO (Multiple-Input Multiple-Output) communication systems,hundreds of antennas are equipped at the base station. Conventional MMSE estimator enjoys good performance in the estimation accuracy, and however, when MMSE channel estimation method is used to implement estimation,the operation of covariance matrix inversion would result in computational complexity ofO(M3),Mmeaning the dimension of channel covariance matrix,and when the base station is equipped with hundreds of antennas, this would be an extremely complex process. To solve this problem, the inversion process is transformed into solution of linear equations, thus the computation complexity of the whole process is reduced toO(NM2) through conjugate gradient method,Nmeaning the iterations number of conjugate gradient algorithm andN?M.

channel estimation; large-scale MIMO; conjugate gradient; pilot contamination

10.3969/j.issn.1002-0802.2015.11.002

2015-06-15；

2015-09-20 Received date:2015-06-15；Revised date：2015-09-20

國家自然科學基金(No.U1204607)

Foundation Item:National Natural Science Foundation of China(No.U1204607)

1002-0802(2015)11-1213-04