無記憶功放的預失真數學模型

侯道琪，楊 正

(電子工程學院，合肥 230037)

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無記憶功放的預失真數學模型

侯道琪，楊 正

(電子工程學院，合肥 230037)

研究了無記憶功放的非線性特性，建立了正交基擬合模型，運用內積法求解了模型系數，進行了擬合研究和仿真。針對預失真處理，分別建立了偽記憶模型和偽記憶深化模型，運用了序貫最小二乘法，方便、高效地實現多模型中多個未知參數的求解，實現了功放的輸入/輸出線性化，進行了擬合仿真。

無記憶功放；預失真；模型；偽記憶

0 引 言

信號功率放大是電子通信系統的關鍵功能之一，其實現模塊稱為功率放大器(PA)，簡稱功放[1]。功放輸出信號相對于輸入信號可能產生非線性變形，此現象稱為非線性失真。功率放大器是無線通信系統的重要組成部分，隨著數字信號處理能力的不斷提升，數字預失真技術將會是以后的重點發展方向。預失真的基本思想是在放大器前構造放大器的逆特性，使預失真器和放大器的聯合特性呈線性。

1 問題分析

對于攻放而言,如果某一時刻的輸出僅與此時刻的輸入相關，則稱此攻放為無記憶功放。

本文主要是對無記憶功放的非線性特性進行研究并建立預失真模型，從而使得功放能夠達到線性化要求的同時，滿足“輸出幅度限制”和“功率最大化”等各條件的約束。首先針對功放的非線性特性進行研究，建立非線性特性擬合模型，進而建立預失真模型，使得功放滿足多目標優化，最后能夠對所建模型進行歸一化均方誤差(NMSE)評價。

2 無記憶功放的非線性特性數學模型的建立與求解

本文主要是為了通過預失真數學模型改進功放的非線性特性，首先就需要對功放的非線性變形的具體形式進行深入的研究。通過將輸入信號和輸出信號的幅度和相位進行分離，得出結論：功放的輸入/輸出呈現非線性的變化，然而相位的變化呈現良好的線性特性。因此，在下面的分析研究中，著重對功放的幅度非線性特性進行研究。

2.1 無記憶功放的非線性特性分析和建立模型

2.1.1 正交基擬合模型的分析

根據函數逼近的Weierstrass定理可知，對解析函數G(x)總可以用一個次數充分大的多項式逼近到任意程度，故可采用計算簡單的多項式表示非線性函數[2]。

多項式擬合階數原則(PFOP)：模型多項式的階次取得太低，擬合就粗糙；階次太高，擬合“過頭”，使數據噪聲也被納入模型。因此，在多項式擬合中，階數的確定要遵循以下2個基本條件：

(1)χ2量與自由度相近；

(2) 如果Q(χ2,N-(n+1))=1-P(χ2<(N-n-1))與0.5接近，則認為階次適當。

經過對功放非線性特性的擬合多項式進行χ2量與自由度差值的仿真計算，得到圖1中χ2量與自由度差圖，可以看出在多項式擬合階數接近6時，基本滿足PFOP中的條件(1)；進而對條件(2)進行驗證，得到圖1中擬合良好度圖、擬合殘差圖和擬合偏差圖，可以看出在多項式擬合階數為5時是最理想的。

圖1 多項式擬合階次確定

2.1.2 正交基擬合模型的建立

(1)

式中：k=0,1,…。

表1 輸出函數的正交基

從而得到正交基的多項式表達式為:

(2)

2.2 無記憶功放的非線性特性模型的求解

對正交基擬合模型的求解可以通過內積的計算方式:

(3)

得到z(t)中各項φi(x)的參數hi，如表2所示。

表2 正交基擬合模型輸出函數的系數值

因此，得到的正交基擬合模型為：

z(t)=0.27φ5(x)+(-0.75)φ4(x)+ 0.85φ3(x)+(-1.64)φ2(x)+ 3.72φ1(x)+(-0.54)φ0(x)

(4)

依據正交基擬合模型得到的對比曲線如圖2所示。

圖2 正交基模型擬合對比曲線

在所建立的正交基擬合模型的基礎上，運用NMSE對所得到的正交基擬合模型進行模型準確度評價，得到正交基擬合模型的評估值為-62.75dB。

3 無記憶功放預失真數學模型的建立與求解

在無記憶條件下研究預失真模型，最關鍵的就是使得功放非線性的特性在加入預失真模塊后能夠實現線性化。其次還應充分考慮功放最大輸出幅度不能超過功放的可承受范圍[3]。

在建立預失真模型得到理論的功放線性化輸出的基礎上，通過真實輸入輸出數據的實驗，得到模型的結果數據。進而將輸出結果與理論模型進行誤差分析，得到預失真補償后的歸一化均方誤差。

本文分析研究了無記憶功放與有記憶功放的輸入/輸出數據。可以看出，在存在記憶的情況下，功放輸入/輸出信號的幅度和相位都表現出較好的線性特性。通過分析可以說明，如果“人為”將無記憶性的功放作為有記憶功放進行處理，也就是在預失真處理中，使得當前瞬時信號以及該信號之前的若干個信號共同作用于輸出信號，能夠達到輸入/輸出呈線性特性。

3.1 偽記憶模型的建立與求解

當無記憶功放建立偽記憶模型時，首先需要進行的就是記憶深度的研究和確定。本文對記憶深度的確定問題建立了2條基本原則，分別是誤差最小化原則(MEP)和操作最簡化原則(SOP)。

誤差最小化原則(MEP)：所選取的記憶深度應為記憶深度的可選取范圍，并能夠使得歸一化均方誤差基本接近或到達該可選范圍的誤差最小值。

操作最簡化原則(SOP)：所選取的記憶深度應為記憶深度的可選取范圍，并能夠使得在操作實施中該記憶深度基本接近或到達可選范圍的最簡，即為記憶深度最小值。

依據以上2條基本原則，通過數據仿真結果，可以確定記憶深度M為3，進而可以得到偽記憶模型為：

(5)

對于該模型的使用，本文運用矩陣逆運算方法，可以簡單方便地完成偽記憶模型的系數求解。

(1) 建立運算矩陣

P·H=O

(6)

完成以上對模型的求解，可以得到偽記憶模型的系數值(分別如表3所示)。

表3 偽記憶模型系數值

可以得到確切系數的模型為：

(7)

(3) 依據偽記憶模型，得到的信號是否通過預失真模塊的放大效果對比曲線如圖3所示。

圖3 通過預失真模塊前后功放的放大效果對比圖

(4) 將偽記憶模型進行NMSE準確度評價，得到偽記憶模型的評估值為-20.33 dB。

3.2 偽記憶深化模型的建立與求解

從對偽記憶模型的NMSE評價值可以看出，該模型的準確度相對較低，從圖中也可以清晰地看出這一現象。為了進一步增強偽記憶模型的應用價值和可信度，在其基礎上同時考慮輸入信號的高階多項式，從而使得考慮因素更全面、更深入。得到偽記憶深化模型[4]：

(8)

(9)

針對本問題大數據量的特點，無法一次完成計算。本文創新性地運用序貫最小二乘估計(基本流程如圖4所示)，給較大的數據量加上“時間標簽”，人為地將全部數據作為隨時間逐漸增加的數據流來處理，不必對全部數據進行批處理，從而達到對偽記憶深化模型的系數求解。

圖4為求解模型系數估計量的更新過程，其中粗箭頭代表了矢量處理[5]。

圖4 序貫最小二乘估計量流程圖

(1) 建立初始矩陣

設定記憶深度為M，最高階次為K，初始時選擇N個數據，則構造一個N×(MK)的矩陣：

(10)

Y[N]=[y(n)y(n+1) …y(n+N-1)]

(11)

(2) 計算批估計量

(12)

通過上式可以得出參數的估計量。

(3) 參數估計量的更新

在已知參數集的基礎上，每增加一行新的數據，參數估計量進行一次更新，新的估計量在老的估計的基礎上增加一個修正項。修正項隨著數據的增多而逐漸下降，從而可以說明，隨著數據的增加，參數的估計量越精確化。

進行參數估計量更新的運算：

(13)

(14)

Σ[n-1]=(XT[n]C-1[n]X[n])-1

(15)

(16)

通過計算，得到了記憶深度為3偽記憶深化模型的系數值如表3所示。

表3 偽記憶深化模型的系數值

依據偽記憶模型，得到信號是否通過預失真模塊的放大效果對比曲線，如圖5所示。

圖5 通過預失真模塊前后功放的放大效果對比圖

將偽記憶模型進行NMSE準確度評價，得到偽記憶模型的評估值為-55.34dB。

4 結束語

本文創造性地提出了多項式擬合階數原則，將模糊問題定量化，在一定程度上減少了階數確定的盲目性。能夠將復雜問題簡單化，極大地提高了運算效率，巧妙地將有記憶功放的特性應用于無記憶功放，實現了簡便的線性化特性，提高了預失真處理的效率和精度。但是，如何使模型大眾化，普及到非專家化的科研工作者，進一步加強模型的方便和實用是最有意義的改進方向。

[1]RavivRaich.Orthogonalpolynomialsforpoweramplifiermodelingandpredistorterdesign[J].IEEETransactionsonVehicularTechnology,2004,53(5):1468- 1479.

[2]MorganDennisR.AgeneralizedmemorypolynomialmodelfordigitalpredistortionofRFpoweramplifiers[J].IEEETransactionsonSignalProcessing,2006,54(10):3852-3860.

[3] 羅鵬飛.統計信號處理[M].北京：電子工業出版社，2001.

[4] 陳亞勇.MATLAB信號處理詳解[M].北京：人民郵電出版社，2001.

[5] 鄔學軍.數學建模教程[M].杭州：浙江大學出版社，2009.

Pre-distortion Mathematical Model of Memoryless Power Amplifier

HOU Dao-qi,YANG Zheng

(Electronic Engineering Institute,Hefei 230037,China)

This paper studies the nonlinear characteristic of memoryless power amplifier (PA),sets up the orthogonal basis fitting model,uses inner product method to solve the model parameters,performs the fitting research and simulation,aiming at pre-distortion processing,respectively establishes the false memory model and in-depth false memory model,adopts sequence least squares method,can solve multiple unknown parameters in multi-model conveniently and effectively,realizes the input/output linearization of power amplifier,performs the fitting simulation.

memoryless power amplifier;pre-distortion;model;false memory

2015-07-01

TN722.75

A

CN32-1413(2015)04-0056-06

10.16426/j.cnki.jcdzdk.2015.04.015