一類余弦函數的倍周期分支問題

王軍平

摘 要：倍周期分支過程是一條通向混沌的典型道路，即可以認為是從周期窗口中進入混沌的一種方式。在倍周期分支到達混沌現象的過程中，會依次經過周期1，周期2，周期4，……，混沌單吸引子和混沌雙吸引子。該文根據倍周期分支判別法論證了一類余弦函數迭代映射后發生倍周期分支的充分條件，并對分支走向混沌的過程進行了探討。

關鍵字：余弦函數 倍周期分支 混沌

中圖分類號：O174 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）11（c）-0188-01

從任何初始值出發迭代時，一般有個暫態過程，但當迭代次數很大，即當n→∞時，演化會導致一個確定的終態。終態可取無窮多種值，對初值極為敏感，成為不可預測，開始出現混沌現象。在此前終態都是周期的、可預測的，并與初值無關。

混沌（Chaos）是指發生在確定性系統中的貌似隨機的不規則運動。一個確定性理論描述的系統，其行為卻表現為不確定性、不可重復、不可預測，這就是混沌現象。混沌是非線性系統的固有特性，是非線性系統普遍存在的現象。混沌運動的動力學特性已經被證明在描述和量化大量的復雜現象中非常有用，但是，由于混沌系統所固有的系統輸出對狀態初值的敏感性以及混沌系統和混沌現象的復雜性和奇異性，使得混沌控制理論的研究更具有挑戰性。

這里我們主要考慮一類關于余弦函數迭代映射的模型

（1）

的倍周期分支問題，其中，均為參數。首先作變換，則可有：。（2）

1 倍周期分支

倍周期分支是指在某個特定的參數值的一側有穩定的不動點，但當參數經過這個特定的參數值變化到另一側時，穩定的不動點變成不穩定的，并同時產生了周期2軌道。在給出我們的倍周期分支結果之前，我們先給出關于倍周期分支存在的判別法：

引理：[1]設是充分光滑的函數，記，如果下列條件成立：（1）；（2）；

（3）；

（4）；那么在處發生倍周期分支。更為詳細的是，在附近存在一個不動的曲線，在一邊是穩定的不動點，而過了以后成為不穩定的不動點；并且存在一條光滑的曲線在點與直線相切，而是關于的函數的圖像。當時，新生成的周期2軌道是穩定的，反之則是不穩定的。

引理給出了函數關于參數在特定參數值處發生倍周期分支的充分條件。下面討論模型（1）也就是模型（2）關于參數發生倍周期分支的條件。

定理1：若模型（2）的固定參數滿足，參數是變化的，則在區間上，一定存在參數，模型的不動點在處存在倍周期分支，而且產生的周期2軌道是穩定的。

證明：定義函數，則有

.當時，由于，從而，所以在區間上是嚴格單調遞增函數。又對任意的，都有

所以存在唯一的，滿足。于是對于每一個，都有唯一一個零點與之對應，且關于是連續的。這是因為對于任何，一定有。如果不然，則存在，也就有

。

于是我們根據倍周期分支引理，我們可以知道模型（2）在參數經過時發生了倍周期分支，而且由可知所產生的周期2軌道是穩定的。

若固定參數，，，不變，模型（2）對參數也會發生倍周期分支。

定理2：若模型（2）的固定參數滿足，參數是變化的，則在區間上，一定存在參數，模型的不動點在處存在倍周期分支，而且產生的周期2軌道是穩定的。

證明：定義函數.

因為

所以存在，滿足。定義一個關于k的函數.由于從而有，所以至少存在一個，使得，得出于是我們根據鞍-結點分支引理，我們可以知道模型在參數經過時發生了倍周期分支，而且由可知所產生的周期2軌道是穩定的。

2 結論

根據倍周期分支的判別法，該文分別給出了一類余弦函數迭代映射后關于參數和關于參數發生倍周期分支的充分條件，深刻討論了一類簡單的余弦函數發生倍周期分支的這種復雜動力學行為。而倍周期分支是典型的一條通過混沌道路的途徑。這說明這類余弦函數經過迭代也必然會發生復雜的混沌動力學行為。混沌是非線性科學中十分活躍、應用前景極為廣闊的領域。混沌是比有序（此處指經典意義下的有序━━對稱、周期性）更為普遍的現象。它向我們揭示出一個形態和結構的嶄新世界。這個看似簡單但又充滿神秘，激勵人們不斷地去探究。

參考文獻

[1] Clark Robinson， Dynamical Systems： Stability， Symbolic Dynamics， and Chaos， CRC Press， Boca Raton， London New York， Washington， D.C.， 1998.

[2] 阮炯，黃振勛，蔡志杰.應用數學[M].北京：科學出版社，2000：1-60.endprint