耗散介觀RLC串并聯電路在熱真空態下的量子漲落

孔令杰

（菏澤學院物理與電子工程系，山東菏澤274015）

耗散介觀RLC串并聯電路在熱真空態下的量子漲落

孔令杰

（菏澤學院物理與電子工程系，山東菏澤274015）

利用阻尼諧振子正則量子化方法，實現了對耗散介觀RLC串并聯電路的量子化，并在此基礎上，研究了基于熱場動力學（TFD）理論的熱真空態下的電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落.結果表明，在熱真空態下電荷和自感磁通鏈、電壓和電流都存在著各自的量子漲落，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中的器件參數有關，而且還與時間和溫度有關.

耗散介觀RLC串并聯電路；量子化；熱真空態；量子漲落

在20世紀70年代，Louisell通過借鑒經典諧振子量子化處理的研究方法實現了對無源介觀LC電路的量子化工作.在此基礎上，文獻［1－4］分別對LC電路、串聯RLC電路、電容耦合電路、電感耦合電路中的電荷及電流在多種量子態下的量子漲落進行了廣泛的研究.由此可以看出，作為微電子技術發展的原理性基礎，建立一套完整的量子理論來研究電路及器件本身的量子效應已經是一項十分迫切的任務［5－7］.

本文在文獻研究的基礎上，借鑒彭桓武先生對阻尼諧振子做正則量子力學處理的研究思想［8］，提出了實現耗散介觀RLC串并聯電路的正則量子化方法.運用熱場動力學（TFD）理論，討論了耗散介觀RLC串并聯電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流在熱真空態下的量子漲落，以期為耗散介觀RLC串并聯電路的設計及通過調節電路中的器件參數來控制電路的量子噪聲提供一種有效可行的研究思路.

1 耗散介觀RLC串并聯電路的量子化

耗散介觀RLC串并聯電路如圖1所示.圖1中：L為電感；C為電容；R為線性電阻，is（t）為理想電流源；uL和iL分別為電感的電壓與電流；uC和iC分別為電容的電壓與電流；uR和iR分別為電阻的電壓與電流.

假定電容器兩端極板之間的電荷為q，根據集總電路的基爾霍夫定律可知，該耗散介觀RLC串并聯電路的經典電路方程為：

對（2）式求導可得

（3）式意味著，在一個R≠0的耗散介觀電路中，q和p不滿足哈密頓正則方程，因而在經典力學中不構成正則共軛變量.故如果要在海森堡表象中實現q和p的量子化，也就是說使q和p能夠分別代表廣義坐標算符Q和廣義動量算符P，就必須使q和p滿足如下對易關系（即量子化條件）

按照正則量子化方案，考慮由非正則共軛變量q和p到正則共軛變量Q和P的轉換過程，現引入如下正則變換：

則由（2）式可得

顯然，（6）式滿足哈密頓正則方程

所以Q和P構成新的廣義坐標算符和廣義動量算符，且二者互為正則共軛變量，并滿足如下對易關系

結合（6）式和（7）式可以得到該耗散介觀RLC串并聯電路的哈密頓量為

利用有關量子力學的處理方法，為了把由（9）式所給出的哈密頓量進行量子化，現根據（8）式構造如下產生算符a和湮沒算符a＋，其表達式為

由（8）式和（10）式，極易驗證a和a＋滿足如下關系

則該耗散介觀RLC串并聯電路的哈密頓量用a和a＋表示為

至此，便通過阻尼諧振子正則量子化的方法，實現了該耗散介觀RLC串并聯電路的量子化.

2 TFD理論下的熱真空態

TFD理論是研究有限溫度條件下量子效應的一種有效方法，它將力學量的統計力學系統平均值用力學量在熱真空態（與溫度有關的真空態）中的期望值來表示［9］.因此，TFD理論在希爾伯特空間的基礎上，又引入了一個與之對偶的虛擬“希爾伯特空間”，稱為Tilde空間，由這2個空間共同構成一個直積空間，且在這個直積空間中，自由度增加了一倍.這樣對于真實希爾伯特空間中的每個算符和態，在Tilde空間中也存在相應的Tilde算符和Tilde態，故該直積空間中的態相當于是由一個真實模和一個虛擬模（Tilde模）組成的雙模態［10－12］.

設與希爾伯特空間中的玻色算符a和a＋相對應的Tilde空間中的算符為~a和~a＋，則算符~a和~a＋滿足如下對易關系：

式（14）中θ為一個與平均熱粒子數n0有關的量，且n0＝sinh2θ，而n0與溫度T的關系由Bose－Einstein分布確定

其中：ω為場的共振頻率；?為普朗克常量；kB為玻耳茲曼常量.

由（14）式可得熱化后產生算符a（θ）和湮沒算符a＋（θ）的表達式：

3 耗散介觀RLC串并聯電路在熱真空態下的量子漲落

未接通電流源時，即is（t）＝0.此時，假定該耗散介觀RLC串并聯電路處于上述所定義的熱真空態下，研究此狀態下該耗散介觀RLC串并聯電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落.

3.1電路中電荷和自感磁通鏈在熱真空態下的量子漲落

由（12）式可得電路中的電荷

則由（17）式可得電路中的自感磁通鏈為

考慮（17）和（18）式可得該耗散介觀RLC串并聯電路中電荷和自感磁通鏈的平均值與方均值分別為：

（19）式表明：熱真空態下，該耗散介觀RLC串并聯電路中電荷和自感磁通鏈的平均值均為零，但它們的方均值不為零，即電路中電荷和自感磁通鏈都存在著量子漲落效應.

由（19）式可得電路中電荷和自感磁通鏈在熱真空態下的量子漲落及量子漲落積：

（20）式表明：電路中電荷和自感磁通鏈在熱真空態下具有各自的量子漲落效應，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數有關，還與時間t和溫度T有關.具體分析如下：

（1）由于阻尼電阻的存在，量子漲落及量子漲落積均隨時間t按指數規律衰減，衰減的快慢由時間常數α決定.

（2）由于函數cothβ是隨β的增大而單調減小的，故由（20）式可知，在有限溫度下，電路中電荷和自感磁通鏈的量子漲落及量子漲落積均隨溫度的升高而單調增加.存在特殊情況，當T→0時，，此時電路由熱真空態退化到真空態，則電路中電荷和自感磁通鏈的量子漲落及量子漲落積均與溫度T無關，其表達式為：

3.2電路中電容電壓和電流在熱真空態下的量子漲落

則由（22）式可得電路中的電容電流為

考慮（22）式和（23）式可得該耗散介觀RLC串并聯電路中電容電壓和電流的平均值與方均值分別為：

（24）式表明：熱真空態下，該耗散介觀RLC串并聯電路中電容電壓和電流的平均值均為零，但它們的方均值不為零，即電路中電容電壓和電流都存在著量子漲落效應.

由（24）式可得電路中電容電壓和電流在熱真空態下的量子漲落及量子漲落積：

（25）式表明：電路中電容電壓和電流在熱真空態下具有各自的量子漲落效應，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數有關，還與時間t和溫度T有關.

3.3電路中電感電壓和電流在熱真空態下的量子漲落

由（26）式可得該耗散介觀RLC串并聯電路中電感電壓和電流的平均值與方均值分別為：4

（27）式表明：熱真空態下，該耗散介觀RLC串并聯電路中電感電壓和電流的平均值均為零，但它們的方均值不為零，即電路中電感電壓和電流都存在著量子漲落效應.

由（27）式可得電路中電感電壓和電流在熱真空態下的量子漲落及量子漲落積：

（28）式表明：電路中電感電壓和電流在熱真空態下具有各自的量子漲落效應，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數有關，還與時間t和溫度T有關.

3.4電路中電阻電壓和電流在熱真空態｜00～〉T下的量子漲落

考慮到is（t）＝0，則由圖1可知，電阻電壓uR＝RiR，且電阻電流iR＝－iC.同樣，由（23）式可得電路中的電阻電壓和電流分別為：

由（29）式可得該耗散介觀RLC串并聯電路中電阻電壓和電流的平均值與方均值分別為：

（30）式表明：熱真空態下，該耗散介觀RLC串并聯電路中電阻電壓和電流的平均值均為零，但它們的方均值不為零，即電路中電阻電壓和電流都存在著量子漲落效應.

由（30）式可得電路中電阻電壓和電流在熱真空態下的量子漲落及量子漲落積：

（31）式表明：電路中電阻電壓和電流在熱真空態下具有各自的量子漲落效應，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數有關，還與時間t和溫度T有關.

為了直觀定量地描述熱真空態下該耗散介觀RLC串并聯電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落效應，現借助Matlab軟件數值計算的方法來展示量子漲落效應隨溫度T變化的規律，函數隨kBT變化的曲線如圖2所示.

由圖2可見，當該耗散RLC串并聯電路的諧振頻率ω較高且溫度T較低的情況下，量子漲落效應隨溫度T變化的趨勢可忽略不計；而當諧振頻率ω較低且溫度T較高的情況下，量子漲落效應隨溫度T變化的趨勢將變得十分明顯，這將嚴重影響到電路中信號的保真度與穩定性.此時如果能選擇合適的諧振頻率與溫度的比值，即在諧振頻率ω一定的情況下，給電路適當降低溫度T，則溫度T對電路量子漲落效應的影響就可忽略.

4 結論

本文在借鑒阻尼諧振子正則量子化方法的基礎上，首先對耗散介觀RLC串并聯電路進行了量子化處理.然后，研究了耗散介觀RLC串并聯電路處在熱真空態下電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落效應.通過上述分析研究，得到如下結論：（1）在耗散介觀RLC串并聯電路中，電荷和自感磁通鏈是滿足對易關系的，能夠進行量子化處理.這就體現出宏觀電路與介觀電路的區別.宏觀情形下，電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流完全可以同時確定；而介觀情形下，電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流是不可能同時確定的.（2）未接通電流源時，耗散介觀RLC串并聯電路在熱真空態下，電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流都存在著各自的量子漲落，且量子漲落及量子漲落積不僅與電路中電感、電容和電阻的器件參數有關，還與時間t和溫度T有關.由于阻尼電阻的存在，量子漲落及量子漲落積均隨時間t按指數規律衰減，衰減的快慢由時間常數α決定；而在有限溫度下，電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落及量子漲落積均隨溫度的升高而單調增加.（3）由于在特殊情況下，當T→0時電路由熱真空態退化到真空態，此時電路中電荷和自感磁通鏈、電壓和電流的量子漲落及量子漲落積均與溫度T無關.

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Quantum fluctuations of dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit in thermal vacuum state

KONG Ling－jie

（Department of Physics and Electronic Engineering，Heze University，Heze 274015，China）

By using canonical quantization method of damped harmonic oscillator，the quantum of dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit was realized in this paper.And on this basis，the quantum fluctuations of charge and inductance flux linkage as the same as voltage and current in circuit under thermal vacuum state which based on thermal field dynamics theory were also studied through this research methods.The results show that charge and inductance flux linkage as the same as voltage and current in circuit under thermal vacuum state respectively exist quantum fluctuations.And the quantum fluctuations and quantum fluctuations plot not only depend on device parameters in the circuit，but also depend on time and temperature.

dissipative mesoscopic RLC series and parallel circuit；quantization；thermal vacuum state；quantum fluctuations

O 431.2 ［學科代碼］ 140·15 ［

］ A

（責任編輯：石紹慶）

1000－1832（2015）01－0095－06

10.16163／j.cnki.22－1123／n.2015.01.018

2014－08－26

山東省優秀中青年科學家科研獎勵基金資助項目（BS2012CL001）；菏澤學院博士基金資助項目（XY10BS02）.

孔令杰（1985—），男，助教，碩士，主要從事信號與信息處理及介觀物理量子效應研究.