局部熱力學平衡狀態下的等離子體電導率計算

王竹勤， 蘭 生

(福州大學電氣工程與自動化學院， 福州 350108)

局部熱力學平衡狀態下的等離子體電導率計算

王竹勤， 蘭 生

(福州大學電氣工程與自動化學院， 福州 350108)

在Zollweg & Liebermann模型(Z&L模型)的基礎上，結合高溫條件下的量子機理作用，考慮了電子與中性粒子的碰撞關系，最終得出修正后的電導率模型，并對局部熱力學平衡狀態下的水中放電等離子體的粒子數密度及電導率進行了模擬計算.計算結果表明壓力為定值的情況下，水中放電等離子體的總粒子數密度隨溫度變化呈下降趨勢，溫度達到15000 K時，一次電離達最大值.電導率隨溫度增加總體呈上升趨勢，溫度低于12000 K時，電子與中性粒子的碰撞起主導作用，而溫度高于25000 K時，電子與離子的碰撞起主導作用.

水中等離子體； 電導率； 模擬計算

1 引 言

電導率是等離子體輸運性質計算中一個重要的特性參數.為了計算電導率這一參量，Spitzer[1]最早提出了最簡單實用的理想等離子體電導率公式，該公式在非理想條件下計算得到的電導率趨于無窮大，因而它僅適用于理想條件下的電導率計算.大量文獻通過對非理想條件下的電導率進行修正，來研究適用于非理想條件下的電導率模型.較有代表性的兩種等離子體電導率模型為Z&L模型和Mohanti & Gilligan模型(M&G模型).Z&L模型[2]修正了庫侖對數，采用屏蔽半徑模型，從而將Spitzer公式擴展到非理想區域.M&G模型[3]將短程力的作用考慮進去，采用更精確的非德拜屏蔽半徑，并對電子態密度進行修正，得到了更為精確的等離子體的電導率模型.近年來，成劍等人[4]對比分析了Spitzer模型、Z&L模型和M&G模型這三種典型的電導率模型得到的聚乙烯電弧等離子體電導率，并將電子與中性粒子的碰撞考慮進去，所得計算模型能夠較真實的反應弱非理想區域中等離子體電導率的變化；寧燁等人[5]基于Spitzer公式,初步分析了分波法計算得到的等離子體電導率與盧瑟福公式計算得到的電導率之間的區別.Aubreton等人[6]計算了不同壓力情況下，水中等離子體電導率對溫度的依賴性，計算結果顯示電導率隨溫度變大且呈非線性增長趨勢.Chung等人[7]研究了水中等離子體的熱力學性質，模擬計算了質量密度范圍為10-7至10-2，溫度范圍為103至105時，水中等離子體的熱力學性質及電導率的變化規律.

與電弧等離子體和核聚變等離子體相比較，水中放電等離子體具有低電離度、低溫、高密度、高壓力，作用時間短等特點[8]，因而其電導率也具有不同的特點.在水中放電等離子體的粒子成分中，電子，H原子、O原子，H+離子、O+離子占總粒子數量的97%以上[9]，因而在電導率計算中可以忽略O原子二次以上的電離.本文對Z&L模型進行修正，考慮高溫條件下的量子機理作用，同時結合電子與中性原子的碰撞因素，得到一個較簡單適用的電導率計算公式.

2 電導率理論模型

水中放電等離子體的電導率由電子與周圍介質的碰撞過程決定.理想條件下，等離子體完全電離，電子運動取決于電子與離子的庫侖相互作用.最簡單適用于理想狀態下的等離子體電導率模型是Spitzer公式[1]：

(1)

式中，γ為電子間碰撞對電導率的修正系數，T為溫度，Z為離子的平均電荷數，∧為庫侖對數，采用下式表示：

(2)

在非理想條件下，電子與離子、電子與中性粒子的碰撞都會影響電子運動.Spitzer公式不適用于非理想條件下的電導率計算.因此，Z&L模型在Spitzer公式的基礎上，對庫侖對數進行修正，并采用較為合適的德拜屏蔽半徑，得到適用于非理想條件下的電導率公式:

(3)

式中，∧m為修正后的庫侖對數，采用下式表示：

(4)

如上所示，Z&L模型將Spitzer公式擴展到非理想區域，且計算形式較簡單，可在不計算等離子體非理想系數的情況下得到電導率.但Z&L模型僅考慮了電子與離子的碰撞，而忽略了電子與中性粒子的碰撞.然而，實際應用中的水中放電等離子體，電離度較低，等離子體粒子成分中仍然有H、O等中性粒子，且電子和H、O等中性粒子之間的彈性碰撞過程對于電子的能量和動量運輸也起著重要作用.因此本文通過計算考慮電子與離子碰撞作用的電導率，并考慮電子與中性粒子的碰撞作用下的電導率，從而得到較為簡單的電導率計算公式.

高溫情況下，電子波的因素不容忽略.當電子通過圓孔時，將發生小角衍射，若該衍射角超過了經典散射角，將會增加散射導致的遠距離碰撞.因而將Z&L模型與量子機理作用相結合，得到的考慮電子與離子碰撞作用的電導率如下：

(5)

其中，α為精細結構常數1/137，c為光速.

考慮電子與中性粒子的碰撞作用下的電導率如下：

(6)

綜合(5)式和(6)式，非理想區域的電導率可通過下式表示：

(7)

3 模擬計算及分析

對電導率進行模擬計算前先做如下假設：

(1)水中等離子體處于局部熱力學平衡狀態；

(2)由于水分子、氧分子、氫分子、臭氧和多種自由基等粒子的含量較少，因而在計算中忽略以上粒子的作用;

(3)水的電離度較低，因此可忽略氧原子二次以上的電離.

3.1 粒子數密度

由電導率計算模型可知，為了模擬計算等離子體電導率隨溫度變化的過程，還需要知道各粒子密度和壓力的數值.由假設可知水中等離子體處于局部熱力學平衡狀態，滿足理想氣體狀態方程P=nκT.同時，等離子體的粒子分布滿足薩哈方程：

(8)

式中，ni、Zi、Wi分別為粒子數密度、配分函數、電離勢能.

忽略氧原子二次以上的電離，可利用薩哈方程導出各粒子數密度的方程.式(9)為通過薩哈方程導出的電子數密度公式：

(9)

當P、T的值已知，等離子體中各類粒子數密度可通過式(8)求得.本文取壓力P為定值100Mpa，離子的平均電荷數Z取1，模擬計算得到等離子體粒子數密度隨溫度的變化規律如圖1所示.

圖1 壓力P=100 MPa時，粒子數密度隨溫度的變化規律Fig. 1 The particle number density changing with the temperature for pressure of 100 Mpa

從圖1可得給定壓力為100Mpa的情況下，隨著溫度的升高，電離度增加，電離運動加劇，中性原子密度不斷減少，電子和離子密度快速增長，在溫度T達到15000K左右，ne、nH+、nO+出現最大值，此時一次電離達到峰值.隨著溫度的持續升高，ne、nH+、nO+開始出現下降趨勢，原因在于等離子體中電離和復合運動同時存在，溫度高于某一值后，復合運動大于分解運動.由于O離子存在二次電離，因而nO+下降速度大于nH+.圖1中的n為粒子總密度，n隨著溫度的升高總體呈下降趨勢.通過理想氣體狀態方程可知，壓力為定值的情況下，隨著溫度的升高，粒子總密度應減小，且由于二次電離的關系，電子密度應比離子密度大，圖1表示的結果均符合以上結論.

3.2 等離子體電導率

將通過薩哈方程求得的粒子數密度代入電導率公式，可求取相應的電導率數值.水中放電等離子體的粒子成分主要為電子，H原子、O原子，H+離子、O+離子.電子與H、O原子的碰撞截面近似取10-19m2.圖2給出了考慮電子與中性粒子碰撞的電導率σen、考慮電子與離子碰撞的電導率σei及總電導率σ隨溫度的變化趨勢。

圖2 壓力P=100 MPa時，σen、σei及σ隨溫度的變化規律Fig. 2 σen, σei and σ changing with the temperature for pressure of 100 Mpa

如圖2 所示，總電導率σ隨著溫度T的升高而變大.考慮電子與中性粒子碰撞作用的電導率σen，在較低的溫度范圍內隨著溫度的升高而變大.當溫度接近10000K時，σen的增長速度突然變快.考慮電子與離子碰撞作用的電導率σei，在一定范圍內隨溫度的升高而變大，且數值增大趨勢漸緩.當溫度高于25000K時，總電導率σ幾乎與σei重合.分析圖2可得，溫度較低時，電離度較低，電子與中性粒子的碰撞起主導作用，σen不可忽略，隨著溫度的升高，電離度增大，中性粒子數量減少，從而電子與中性粒子的碰撞作用減弱，直至溫度接近12000K時，電子與離子的碰撞作用逐漸增強.當溫度高于25000K時，總電導率僅由考慮電子與離子碰撞作用的電導率σei決定.

Aubreton的電導率模擬計算結果[6]和Chung的電導率模擬計算結果[7]如圖3所示.對比圖2和圖3可知，本文所得電導率隨溫度的變化趨勢與Aubreton的電導率模擬計算結果和Chung的電導率模擬計算結果大致相符合，基本反映了水中放電等離子體電導率隨溫度的變化規律，從而驗證了本文模型的正確性.與Chung的模型相比，本文修正了高溫條件下電子波的影響，得到的電導率隨溫度變化曲線更平緩.

圖3(a) Aubreton的電導率模擬計算結果

圖3(b) Chung的電導率模擬計算結果

4 結 論

本文將Z&L模型與量子機理作用相結合，考慮電子與中性原子的碰撞作用，得出修正后的水中放電等離子體電導率模型，并對得到的電導率模型進行模擬計算.計算結果表明，電導率隨溫度的變化規律總體呈上升趨勢，與其他文獻所得結果符合度較高，驗證了模型的正確性.溫度較低時，電子與中性粒子的碰撞對電導率的貢獻起主導作用，隨著溫度的升高，電子與離子的碰撞作用越來越明顯.

本文求得的電導率模型簡單又不失適用性，可以在不計算非理想參數的情況下得到電導率，為水中放電等離子體提供更為精確的電導率數據，為開展水中放電等離子體的綜合數值模擬提供參考.

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Electrical conductivity simulation of plasma based on local thermodynamic equilibrium

WANG Zhu-Qin, LAN Sheng

(College of Electrical Engineering and Automation, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China)

Based on the Zollweg & Liebermann model (Z & L model), combining with quantum mechanics which is under high temperature conditions, and considering the collisions between electron and neutral particles, the modified electrical conductivity model is accomplished, and the particle number density and electrical conductivity of water plasma are calculated under the assumption of local thermodynamic equilibrium. The results show that under certain pressure, the total particle number density of water plasma decreases when increasing temperature, and primary ionization reaches a maximum when the temperature is 15000 K. The electrical conductivity of water plasma rises when increasing temperature. When the temperature is below 12000 K, the collision of electrons and neutral particles play the leading role, while when the temperature is higher than 25000 K, the collision of electrons and ions play the leading role.

Water plasma; Electrical conductivity; Simulation

103969/j.issn.1000-0364.2015.02.014

2014-08-14

福建省自然基金(2011J01296)

王竹勤(1989-), 女,龍巖市永定縣, 碩士研究生, 主要研究領域為水中放電等離子體.

蘭生，副教授，碩士生導師，主要研究領域為放電等離子體.E-mail: lansheng71@163.com

O539

A

1000-0364(2015)02-0259-05