微分幾何課程學習的幾點建議

任 燕

(運城學院 應用數學系，山西 運城 044000)

微分幾何課程學習的幾點建議

任 燕

(運城學院 應用數學系，山西 運城 044000)

通過對微分幾何課程的教學實踐，從曲線論和曲面論兩方面對課程的學習進行探討，分別針對曲線論和曲面論中的計算類和證明類題型給出了對應的解題方法，通過本文的論述希望能為學生學習微分幾何提供一些參考。

微分幾何；曲線倫；曲面論；解題方法

0. 引言

1854年黎曼(Riemann,1826-1866)的《論作為幾何基礎的假設》一文的發表是現代微分幾何開端的標志[1]。現在，微分幾何已成為高等院校數學與應用數學專業的一門重要幾何類課程。該課程主要借助向量微積分及空間坐標架，去解決各種空間曲線和曲面的有關幾何問題。由于其具有很強的理論性和抽象性，加上符號多、公式多，可引用的實例較少，直觀性弱，所以導致很多同學在學習微分幾何時，時常感到題難做，特別是題難證明。其實，任何學科，都有其自身規律，微分幾何也不例外。本文主要對微分幾何的學習提些建議。

1. 曲線論學習建議

1.1 解題規律應依賴于相應知識的內在規律

1.2 曲線論中的題型及解題規律

1.2.1 計算類問題

1.2.2 證明類問題

曲線論中的證明問題主要有兩類,下面分別給出兩類問題的解題規律。

(1)證曲線是直線、平面曲線、或證空間曲線有某種性質。這種類型題，首先要掌握好曲線是直線、平面曲線等的充要條件。在應用這些充要條件的過程中，要應用“碰見問題就求導、有點就用伏雷內公式Frenet”的規律。

例 證明如果一條曲線的所有法平面包含常向量e，那么這曲線是直線或平面曲線。

兩邊對s求導，得

兩邊對s求導，得

例 設在兩條曲線c和c1的點之間，建立了一一對應關系，且對應點的切線平行。

求證：對應點的主法線及副法線也分別平行。

2. 曲面論的學習建議

2.1 曲面的性質

3.2 曲面論中的題型及解題規律

2.2.1計算類問題

曲面論中的計算問題主要有兩類,下面分別給出兩類問題的解題規律。

代入曲率線方程

(a2+b2+v2)du2-(a2+b2+u2)dv2=0

兩邊積分，

ln(a2+b2+u2)=ln(a2+b2+v2)+lnc

?a2+b2+u2=c(a2+b2+v2)

為所求曲率線方程。

說明：先求基本量E、F、G、L、M、N，然后代入曲率線方程，解微分方程得曲率線。

已知曲線可為

代入正交條件，得：

說明：求基本量E、F、G代入正交條件。

綜上，這類題型解題規律比較簡單，關鍵在于掌握曲面上各點、線、面的方程特征，求各種軌線，各種計算幾何量的公式及各種幾何量間的關系式。

(2)由于曲面上有諸多的曲率，求這些曲率及它們之間的各種關系是研究曲面的重要課題，是曲面上幾何性質的重要表征。這必導致以各種曲率及其相互關系表征曲面幾何性質的一類題型。解這類題型的規律是：由曲面的向量方程求其基本量，再利用它們之間的各種關系公式去解決有關的問題。

2.2.2 計算類問題

求得E=1，F=0，G=u2+a2

∵L=N=0

∴ 曲面上的參數網為漸近網

由u線可得dv=0，v=v0(常數)

解這種類型題的規律是：由曲面的向量方程首先求出六個基本量，再用各種坐標網成立的必要條件，或利用各種曲線的性質，特別是充要條件.而對曲面上的曲線，還是要用“碰見問題就求導，有點就得用公式”的規律。

3. 總結

總之，在微分幾何的學習過程中，對一些比較典型的問題，只要找準規律選對方法，就可以使問題變得簡單。學生在學習時可以通過與其他同學討論合作,與老師交流等途徑來尋求解題方法。只有不斷交流，才能相互促進，達到更好的學習效果[3]。

[1]RiemannB.OntheHypotheseswhichlieattheBasesofGeometry[J] .Nature,1873 ,8(183).

[2] 梅向明，黃敬之．微分幾何[M]．北京:高等教育出版社，2003．

[3] 王春麗．高中數學學習方法談[J]．硅谷，2009(12)．

【責任編輯 馬太來】

2015-08-11

山西省教育科學“十一五”規劃課題(QZ-09017);運城學院教育教學研究項目(JG201408)

任燕(1982-)，女，山西侯馬人，運城學院應用數學系講師，博士，研究方向為密碼學、有限域。

O

A

1008-8008(2015)06-0008-03