基于半經典近似研究費米氣體的穩定性及順磁性

田青松, 門福殿, 陳新龍

(中國石油大學(華東)理學院, 青島 266580)

基于半經典近似研究費米氣體的穩定性及順磁性

田青松, 門福殿, 陳新龍

(中國石油大學(華東)理學院, 青島 266580)

基于半經典近似方法, 給出重力場和強磁場共存下費米子的能譜. 然后由泊松公式導出費米氣體的熱力學勢函數. 在此基礎上, 運用熱力學關系式求解低溫條件下系統的穩定性及磁化率的解析式, 并通過數值模擬分析強磁場背景下重力場對穩定性及順磁性的影響機制.

重力場; 強磁場; 費米氣體; 穩定性; 順磁性

1 引 言

近年來, 研究外勢及相互作用同時對量子系統熱力學性質的影響已成為熱點. 特別是對諧振勢約束下的量子系統的研究, 取得了一系列成果[1-9]. 另外, 對費米系統的研究也逐漸增加. 如文獻[10]研究了強磁場中費米氣體的穩定性及順磁性; 文獻[11]研究了強磁場中費米氣體的統計性質; 文獻[12]研究了強磁場中超冷費米氣體的相對論效應. 文獻[13]研究了強磁場中相互作用費米氣體的相對論穩定性. 但在強磁場背景下, 重力場對費米系統的穩定性及順磁性尚無人涉及. 重力場是一種常見而又重要的勢場, 在強磁場背景下, 研究重力場對費米系統的穩定性及順磁性的影響, 尤其是對于有精細結構的費米系統如6Li原子系統, 具有重要的理論價值和實際意義. 本文基于半經典近似方法, 通過泊松公式解析雙場共存下費米系統的低溫熱力學勢函數, 在此基礎上運用熱力學關系和數值模擬方法分析強磁場背景下重力場對系統穩定性、 磁化率的影響機制.

2 同時考慮重力場和強磁場情況下的熱力學勢函數

z.

(1)

式中σ=he/4πmc為玻爾磁子,n=0,1,2,3…為量子數.mgz為重力場作用項. 根據文獻[15], 當n,pz給定時, 在Δpz區間內的態數為

(2)

其中Lz為粒子在z方向的運動區域的尺度, 令Lz=Δz, 即粒子z方向的運動尺度在有限范圍內為一可變的量. 再考慮自旋, 則粒子在ΔpzΔz區間的態數為

(3)

再根據文獻[14],pz是在磁場方向的動量, 取-∞到∞的連續值,z取0到z的有限連續值, 對于每個給定的n在間隔dpzdz中的態的數目是

(4)

則系統的熱力學函數可表示為

(5)

其中

(6)

利用泊松公式

(7)

(5)式可表為

(8)

其中Ω0(μ)為無外場時系統的熱力學勢函數. 系統的熱力學勢函數可表為

Ω=Ω0(μ)+ΩB+G(μ),

(9)

其中ΩB+G(μ)為含有磁場和重力場的影響項. 經計算, 得

(10)

3 系統的穩定性條件及磁化率

令Sz=V, 則(10)式可化為

(11)

(12)

考慮強磁場條件T≤σB≤μ, 令μ=xσB,T=yσB(即x≥1, 0

(13)

(14)

(16)

4 數值模擬與分析

圖1 穩定性隨溫度的變化Fig. 1 The stability varies with temperature

圖2 磁化率隨溫度的變化Fig. 2 The susceptibility varies with temperature

圖3 穩定性隨磁場的變化Fig. 3 The stability varies with magnetic field

圖4 磁化率隨磁場的變化Fig. 4 The susceptibility varies with magnetic field

在以上圖中z0是表示有磁場無重力場時的情況, z1是磁場和重力場共存下的情況, z0和z1的值都是公式中z的取值.

圖1顯示, 當μ為偶數(如μ=110σB)時, 與單純強磁場相比, 重力場的加入使穩定性加強, 即重力場強化了系統的穩定性, 但這種影響隨溫度的升高在減弱; 當μ為奇數(如μ=111σB)時, 與單純強磁場相比, 重力場的加入使穩定性隨溫度的變化存在著一轉折溫度T0, 當溫度低于T0時, 重力場使系統的穩定性降低, 當溫度高于T0時, 重力場使系統的穩定性加強.

從圖2可看出, 無論μ為偶數還是奇數, 與單純強磁場相比, 重力場的加入都使磁化率有所增加, 這種增加隨溫度的增加略有放大, 且磁化率隨溫度變化的特征不因重力場的加入而改變.

圖3表明, 單純強磁場下, 穩定性隨磁場的增加出現規則振蕩, 振幅逐漸增加, 振蕩中心為一水平直線; 加入重力場后, 與單純強磁場相比, 振蕩中心稍微上移, 振幅增大, 相位幾乎不變.

圖4顯示, 單純強磁場下, 磁化率隨磁場的增加振蕩中心逐漸降低, 振幅逐漸增加; 與單純強磁場情況相比, 重力場的加入使磁化率增加, 但隨磁場的加強這種影響逐漸減弱. 當高度減小時, 重力場對磁化率的影響也降低.

5 結 論

本文基于強磁場條件, 根據半經典近似的方法引入重力場, 然后用理論解析和數值模擬的方法研究了重力場和強磁場共存條件下費米氣體的穩定性及順磁性, 分析了強磁場背景下重力場對費米氣體的穩定性及順磁性的影響. 研究表明, 從穩定性隨溫度的變化來看, 與單純強磁場相比, 當μ為偶數時, 重力場強化系統穩定性; μ為奇數時, 重力場的加入使穩定性隨溫度的變化存在著一轉折溫度T0, 當溫度低于T0時, 重力場使系統的穩定性降低, 當溫度高于T0時, 重力場使系統的穩定性加強. 從磁化率隨溫度的變化來看, 無論μ為偶數還是奇數, 重力場的加入都使磁化率有所增加. 從穩定性隨磁場的變化看, 加入重力場后, 振蕩中心稍微上移, 振幅增大, 相位幾乎不變. 從磁化率隨磁場的變化看, 重力場的加入使磁化率減小, 但隨磁場的加強這種影響逐漸減弱.

[1]LiMZ,YanJZ,ChenJC, et al.ThermodynamicpropertiesofanideaFermigasinanexternalpotentialwithinanydimensionalspace[J]. Phys. Rev.A, 1998, 58(2): 1445.

[2]LiMZ,LinHS,ChenLX, et al.ChemicalpotentialandheatcapacityofanidealFermigastrappedinaharmonicpotentialinanydimensionalspace[J]. Journal of Xiamen University (Natural Science), 1998, 37(4): 498 (inChinese) [李明哲, 林海生, 陳麗璇, 等.n維空間簡諧勢阱中理想費米氣體的化學勢與熱容量[J]. 廈門大學學報(自然科學版), 1998, 37(4): 498]

[3]NoronhaJMB,TomsDJ.ThespecificheatofatrappedFermigas:ananalyticalapproach[J]. Phys. Lett.A, 2000, 267(4): 276.

[4]ButtsDA,RokhsarDS.TrappedFermigas[J]. Phys. Rev.A, 1997, 55(6): 4346.

[5]BruunGM,BurnettK.InteractingFermigasinaharmonictrap[J]. Phys. Rev.A, 1998, 58(3): 2427.

[6]OlivaJ.DensityprofileoftheweaklyinteractingFermigasconfinedinapotentialwell:Nonzerotemperature[J]. Phys. Rev.B, 1989, 39(7): 4204.

[7]RothR,FeldmeieH.Effectives-andp-wavecontactinteractionsintrappeddegenerateFermigases[J]. Phys. Rev.A, 2001, 64(4): 043603.

[8]SuGZ,ChenLX.ThermodynamicpropertiesofaweaklyinteractingFermigas[J]. Acta. Phys. Sin., 2004, 53(4): 984 (inChinese) [蘇國珍, 陳麗璇. 弱相互作用費米氣體的熱力學性質[J]. 物理學報, 2004, 53(4): 984]

[9]SuGZ,ChenJC,ChenLX.Low-temperaturebehaviorofaweaklyinteractingFermitrappedinapower-lawpotential[J]. Phys. Lett.A, 2003, 315(1-2): 109.

[10]MenFD,WangHT,HeXG.ThestabilityandparamagnetismofFermigasinastrongmagneticfield[J]. Acta. Phys. Sin., 2012, 61(10): 100503 (inChinese) [門福殿, 王海堂, 何曉剛. 強磁場中Fermi氣體的穩定性及順磁性[J]. 物理學報, 2012, 61(10): 100503]

[11]MenFD,FanZL.StatisticpropertiesofFermigasinastrongmagneticfield[J]. Chin. Phys.B, 2010, 19(3): 030502.

[12]MenFD,HeXG,ZhouY, et al.RelativisticeffectofultracoldFermigasinastrongmagneticfield[J]. Acta. Phys. Sin., 2011, 60(10): 100502 (inChinese) [門福殿, 何曉剛, 周勇, 等. 強磁場中超冷費米氣體的相對論效應[J]. 物理學報, 2011, 60(10): 100502]

[13]WangLL,MenFD,ZhangYP, et al.RelativisticstabilityofinteractingFermigasinastrongmagneticfield[J]. J. At. Mol. Phys., 2013, 30(4): 607 (inChinese) [王麗林, 門福殿, 張一鵬, 等. 強磁場中相互作用費米氣體的相對論穩定性[J]. 原子與分子物理學報, 2013, 30(4): 607]

[14]LandauLD,LifshitzEM. Statistical physics partI[M]. 3rded.Oxford:PergamonPress, 1999.

[15]LandauLD,LifshitzEM. Quantum mechanics (Non-relativistic Theory) [M]. 3rded.Oxford:PergamonPress, 1999.

Study of the stability and paramagnetism of Fermi gas based on the semiclassical approximation

TIAN Qing-Song, MEN Fu-Dian, CHEN Xin-Long

(College of Science, China University of Petroleum(East China), Qingdao 266580, China)

Based on the semiclassical approximation, the energy spectrum of single fermion trapped in both gravitational field and strong magnetic field is given. By using Poisson’s formula, the thermodynamic potential function of Fermi gas is derived. Furthermore, by using the thermodynamic relationships, the analytical expressions of the stability and magnetic susptibility of the system at low temperature are obtained. The influence mechanism of gravitational field on the thermodynamic properties of the system in the background of strong magnetic field is analysed by numerical simulation.

Gravitational field; Strong magnetic field; Fermi gas; Stability; Paramagnetism

103969/j.issn.1000-0364.2015.12.025

2014-09-24

田青松(1988—)，男, 河南商丘人, 碩士研究生, 主要研究方向為量子統計.E-mail: tqs728@126.com

門福殿. E-mail: menfudian@163.com

O414.1; O414.2

A

1000-0364(2015)06-1059-05