在雙Lamder模型中實現可調控光子帶隙

巴 諾, 王 磊, 吳向堯， 李東飛， 王 丹, 嚴立云

(1.吉林師范大學物理學院， 四平 136000; 2.吉林大學物理學院, 長春 130012)

在雙Lamder模型中實現可調控光子帶隙

巴 諾1, 王 磊2, 吳向堯1， 李東飛1， 王 丹1, 嚴立云1

(1.吉林師范大學物理學院， 四平 136000; 2.吉林大學物理學院, 長春 130012)

研究駐波場相干驅動下四能級雙Lamder模型的電磁感應光子帶隙.當耦合場是遠共振或共振時，來自于兩鄰近能級間的自發輻射相干效應(SGC)有助于實現一個或兩個光子帶隙.當自發輻射相干效應不存在時，探測場被原子系統強烈吸收，因此導致光子帶隙嚴重形變甚至無法形成.數值結果表明，光子帶隙結構是由SGC效應導致探測場和耦合場之間的相干增強Kerr非線性調制而產生，并改變駐波場的耦合方式，使系統實現單光子帶隙轉變為雙光子帶隙的動態調控.

量子光學； 電磁感應透明； Kerr非線性； 光子帶隙

1 引 言

在人造復雜的材料中有效控制光子的流動性已經成為當今量子信息領域的熱門話題，因為它可以用于實現更精細和更快速的光子電路和光子設備.光子晶體，作為杰出的人造材料之一，于上世紀八十年代由Jhon和Yablonovitch分別提出[1,2].光子晶體又叫光子帶隙，是由介電常數不同的材料周期性排列形成的結構，當某些頻率的電磁波與它作用時，由于滿足Bragg反射條件不能傳播而被完全反射回來，因此形成帶隙結構.對于傳統方法制備的光子晶體，其帶隙的位置和寬度將固定不變，不利于靈活控制光子的流動性.于是，人們提出利用電磁感應透明技術(EIT)實現動態可調的光子帶隙結構[3-5].電磁感應透明技術[6-9]是光和物質相互作用的一個有效途徑，它可以控制物質的吸收、色散和非線性效應以及光的傳播行為.一般情況下，行波場驅動的原子系統可以用來獲得慢光[10]，光存儲[11]，增強光的非線性[12]等.然而，利用駐波場驅動原子系統時，探測場的折射率在空間上被周期調制，形成一維具有周期性結構的光子帶隙結構[13,14].這種電磁感應的光子帶隙用于產生靜止光脈沖[15,16]，實現光路由[17,18]等.

眾所周知，一般介質的光學非線性非常弱并伴隨著強的線性和非線性吸收，為了克服這個缺點，人們利用原子相干效應提高Kerr非線性同時抑制各種吸收.近年來，增強光學非線性已經用于實現量子相位門[19,20]、光開關[20,21]和光孤子的產生[23,24]等.在這些有趣的現象中原子相干效應的產生至少需要耦合場的相干作用.然而，原子相干效應也可以產生于自發輻射過程，所謂自發輻射相干是原子從靠得足夠近的上能級向同一下能級衰減產生的干涉效應.自發輻射相干(SGC)可導致許多現象，如無反轉光放大[25]，自發輻射變窄和淬滅[26]，誘導透明衰減[27]，和增強的克爾非線性[28].基于自發輻射相干(SGC)，研究者提出在一個四級雙Lamder原子系統中增強Kerr非線性用于實現高效率衍射相位光柵[29].在本論文中，研究駐波場驅動下雙Lamder原子系統的光學響應，討論SGC效應能夠增強Kerr非線性并抑制線性吸收從而有利于光子帶隙結構形成.理論計算指出，通過控制駐波場的耦合方式可以使系統實現從單光子帶隙到雙光子帶隙的動態調控.

2 理論模型

圖1 具有SGC效應四能級雙Lamder型原子系統Fig. 1 A four-level double Lamder atomic system with SGC

在電偶極矩和旋轉波近似下，利用自發輻射Weisskopf-Wigner理論，通過求解穩態條件下幾率幅的運動方程我們可以得到探測場極化率，其表達式是：

式中χ(1)和χ(3)對應于探測場極化率的一階線性部分和三階交叉Kerr非線性部分，分別為：

當耦合場是駐波形式時，我們進一步給出其平方拉比頻率，

其中Ωc0表示耦合場的拉比頻率幅值，Λ=λc/[2cos(θ/2)]是沿x軸方向的空間周期性，它可以通過改變駐波場的前向場和后向場之間的入射角θ來調節.

式中E+和E-分別表示向前和向后的探測場電場.κ=κ′+κ″是復的Bloch波矢，表示光子的帶隙結構，可以通過求解方程e2iκa-Tr[M(Δp)]eiκa+1=0和detM=1得到.

布洛赫波矢用于描述探測場在一個無限周期內的光子帶隙結構.對于一個長度l=Na的介質，N是駐波的周期數，探測場在其的反射譜系數和透射譜系數分別是:

其中MN(ij)是MN=MN中的矩陣元素.因此，探測場經過整個樣品之后的反射率、透射率分別為R(Δp)=|rN|2，T(Δp)=|tN|2.

3 數值結果和分析

由于耦合場的強度依賴于駐波場的形式，所以導致探測場的折射率經歷了周期性的調制.因此，具有恰當頻率的探測場入射到周期性結構上，滿足Bragg條件而被反射回來.在這一部分中，我們給出電磁感應光子帶隙的反射譜和透射譜的數值結果.

[29]，pq<0能夠增強Kerr非線性同時抑制吸收，因此取p=1，q=-1 .而且，高能級向低能級自發輻射弛豫速率分別為Γ31=Γ32=2.0γ，Γ41=Γ42=2.0γ，所有的參數是以γ=1.0MHz為數量級.

3.1SGC的非線性調制下形成單光子帶隙

圖2 當駐波場遠離共振時探測場折射率的虛部隨失諧的變化曲線Fig. 2 The imaginary part of the refractivity versus the probe detuning when the standing wave field is far away from resonance

在圖3中，我們給出探測場的吸收部分Im(n)和折射部分Re(n)隨駐波場傳播方向的變化情況，黑實線和紅虛線對應SGC效應存在，藍點線是沒有SGC效應.圖中結果表明，SGC效應不僅能增強折射率調制深度，也能強烈抑制吸收，這與圖2結論一致.產生上述現象的原因是，探測場和耦合場之間的Kerr非線性增強折射率周期性調制[見圖3(b)中的紅色虛線].這個周期性調制能使頻率滿足Bragg條件的探測場形成光子帶隙結構，由此圖4分別給出光子晶體的布洛赫波矢以及探測場的反射譜和透射譜.從圖4(a)和4(b)可以看出，在SGC效應出現時，一個完美的光子帶隙結構出現在κ′=π/a且κ″≠0的頻率范圍，并且圖中的黑實線和紅虛線幾乎完全重合，這表明所有階極化率對布洛赫波矢的影響和三階非線性效應對布洛赫波矢的影響是一樣的.然而，由于高階吸收的影響使得所有階的反射率和透射率(黑色實線)稍低于三階非線性Kerr效應情況下的結果(紅色虛線)[如圖4(c)和4(d)].而在沒有SGC的情況下，探測場被介質吸收，因此，反射率和透過率都為零[如圖4(c)和4(d)中的藍色點線]，不能形成光子帶隙結構.

圖3 給出在駐波場遠離共振時折射率的虛部(a)和實部 (b)沿駐波場方向周期性演變圖Fig. 3 When the standing wave field is far away from resonance, the real part (a) and imaginary part (b) of refractivity in the direction of the standing-wave field, respectively

圖4 是當駐波場遠離共振時在第一布里淵區附近產生的PBG，(a)Bloch波矢的實部；(b)Bloch波矢的虛部；(c)探測場的反射譜；(d)探測場的透射譜Fig. 4 When the standing wave field is far away from resonance, photonic band gap structure near the first Brillouin zone boundary, (a) the real part of Bloch wave vetor; (b) the imaginary part of Bloch wave vetor; (c) the probe reflectivity; (d) the probe transmissivity

3.2SGC的非線性調制下形成雙光子帶隙

圖5 當駐波場共振時探測場折射率的虛部隨失諧的變化曲線Fig. 5 The imaginary part of the refractivity versus the probe detuning when the standing wave field is resonance

圖6 在駐波場共振時分別給出折射率的虛部(a)和實部(b)沿駐波場方向周期性演變圖Fig. 6 When the standing wave field is resonance, the real part (a) and imaginary part (b) of refractivity in the direction of the standing-wave field, respectively

圖7 是當駐波場共振時在第一布里淵區附近產生的PBG，(a)Bloch波矢的實部；(b)Bloch波矢的虛部；(c)探測場的反射譜；(d)探測場的透射譜Fig. 7 When the standing wave field is resonance, photonic band gap structure near the first Brillouin zone boundary, (a) the real part of Bloch wave vetor; (b) the imaginary part of Bloch wave vetor; (c) the probe reflectivity; (d) the probe transmissivity

4 結 論

總之，我們研究了具有SGC效應的雙Lambda原子系統在駐波場作用下的穩態光學響應.由于駐波場強度的周期性變化導致探測場的折射率也被周期性調制，于是原子系統呈現出一維光子帶隙結構.當駐波場非共振時，由SGC效應增強非線性相位調制產生一個透明窗口，于是對應形成一個具有高反射率的單光子帶隙結構.而沒有SGC效應的情況下，介質對探測場具有強烈吸收導致系統無法形成帶隙結構.當駐波場共振時，由于空間被雙暗態調制產生兩個透明窗口，于是對應形成雙光子帶隙結構.然而，隨著SGC效應消失探測場被吸收，導致光子帶隙結構嚴重形變.這種動態調控光子帶隙結構可以用來設計新型的光學器件，如全光路由和全光開關，它在光學網絡和信息處理具有重要的應用價值.

參考文獻：

[1]YablonovitchE.Inhibitedspontaneousemissioninsolid-statephysicsandelectronics[J].Phys.Rev.Lett., 1987, 58(20): 2059.

[2] John S.Strong localization photonsin certain disordered dielectricsuper-lattices[J].Phys.Rev.Lett., 1987, 58(23): 2486.

[3] Artoni M, La Rocca G C.Optically tunable photonic stop bands in homogeneous absorbing media[J].Phys.Rev.Lett., 2006, 96: 073905.

[4] Wu J H, La Rocca G C, Artoni M.Controlled light-pulse propagation in driven color centers in diamond[J].Phys.Rev. B, 2008, 77: 113106.

[5] Ba N, Wu X Y, Liu X J,etal. Tunable triple photonic band-gaps based on coherent induction in a five-leved 87Rbatomic system[J].ActaOpticaSinica, 2012, 31(11): 0827001 (in Chinese)[巴諾, 吳向堯, 劉曉靜, 等.五能級87Rb原子系統中相干誘導的可調諧三光子帶隙[J].光學學報， 2012, 31(11)： 0827001]

[6]HarrisSE.Electromagneticallyinducedtransparency[J].Phys.Today, 1997, 50(7): 36.

[7] Fleischhauer M,etal. Electromagnetically induced transparency: Optics in coherent media[J].Rev.Mod.Phys., 2005, 77: 633.

[8] Hu X H, Hou B P.Multiple electromagnetically induced transparency in a five-level atomic system [J].J.At.Mol.Phys., 2008, 25(2): 375 (in Chinese)[胡小會， 候邦品. 五能級原子系統中多重電磁誘導透明[J]. 原子與分子物理學報， 2008, 25(2)： 375]

[9] Zeng Z Q, Wang Y P.Absorption and dispersion of a V-type three-level atom driven by a microwave field[J].J.At.Mol.Phys., 2013, 30(6): 965 (in Chinese)[曾志強， 王玉強.微波場驅動下V型三能級原子的吸收和色散特性[J].原子與分子物理學報， 2013, 30(6)： 965]

[10] Hau L V, Harris S E, Dutton Z,etal.Light speed reduction to 17 metres per second in an ultracold atomic gas[J].Nature, 1999, 397: 594.

[11] Fleischhauer M, Lukin M D. Dark-state polaritons in electromagnetically induced transparency [J].Phys.Rev.Lett., 2000, 22: 5094.

[12] Harris S E, Field J E, Imamolu A. Nonlinear optical processes using electromagnetically induced transparency [J].Phys.Rev.Lett., 1990, 64: 1107.

[13] Artoni M, La Rocca G C. Optically tunable photonic stop bands in homogeneous absorbing media [J].Phys.Rev.Lett., 2006, 96: 073905.

[14] Wu J H, La Rocca G C, Artoni M. Controlled light-pulse propagation in driven color centers in diamond [J].Phys.Rev. B, 2008, 77: 113106.

[15] Bajcsy M, Zibrov A S, Lukin M D. Stationary pulses of light in an atomic medium [J].Nature, 2003, 426: 638.

[16] Zhang Y, Zhang Y, Zhang X H,etal. Efficient generation and control of robust stationary light signals in a double-Λ system of cold atoms [J].Phys.Lett. A, 2012, 656: 376.

[17] Gao J W, Wu J H, Ba N,etal. Efficient all-optical routing using dynamically inducedtransparency windows and photonic band gaps [J].Phys.Rev. A, 2010, 81: 013804.

[18] Wan R G, Kou J, Jiang L,etal. Magneto-optical switching and routing via coherently induced photonic band gaps in a driven Fe = 0 ? Fg = 1 transition [J].J.Phys. B, 2011, 44: 065502.

[19] Ottaviani C, Vitali D, Artoni M,etal. Polarization qubit phase gate in driven atomic media [J].Phys.Rev.Lett., 2003, 90: 197902.

[20] Ba N, Wan R G, Jiang B N,etal. Polarization phase gate and three-photon GHZ state using coherently enhanced Kerr nonlinearity [J].Opt.Commun., 2010, 283: 1017.

[21] Harris S E, Yamamoto Y. Photon switching by quantum interference [J].Phys.Rev.Lett., 1998, 81: 3611.

[22] Yan M, Rickey E G, Zhu Y F. Observation of absorptive photon switching by quantum interference [J].Phys.Rev. A, 2001, 64: 041801(R).

[23] Wu Y, Deng L. Ultraslow optical solitons in a cold four-state medium [J].Phys.Rev.Lett., 2004, 93: 143904.

[24] Huang G X, Hang C, Deng L. Gain-assisted superluminal optical solitons at very low light intensity [J].Phys.Rev. A, 2008, 77: 011803.

[25] Harris S E. Lasers without inversion: Interference of lifetime-broadened resonances [J].Phys.Rev.Lett., 1989, 62: 1033.

[26] Zhu S Y, Scully M O. Spectral line elimination and spontaneous emission cancellation via quantum interference [J].Phys.Rev.Lett., 1996, 76: 388.

[27] Paspalakis E, Kylstra N J, Knight P L. Transparency induced via decay interference [J].Phys.Rev.Lett., 1999, 82: 2079.

[28] Niu Y P, Gong S Q. Enhancing Kerr nonlinearity via spontaneously generated coherence [J].Phys.Rev. A, 2006, 73: 053811.

[29] Ba N, Wang L, Wu X Y,etal.Electromagnetically induced grating based on the giant Kerr nonlinearity controlled by sponteously generated coherence[J].Appl.Opt., 2013, 52: 4264.

Tunable photonic bandgap in double Lamder configuration

BA Nuo1, WANG Lei2, WU Xiang-Yao3, LI Dong-Fei3, WANG Dan3, YAN Li-Yun1

(1.Institute of Physics, Jilin Normal University, Siping 136000, China; 2.College of Physics, Jilin University, Changchun 130012, China)

We investigate a four level double lamder system with spontaneously generated coherence (SGC) for achieving photonic band gaps (PBG) by a standing-wave field. When the coupling field is far away from resonance or resonant, we can obtain one-phonon bandgap or two-phonon bandgap due to spontaneous emission coherent from two decay pathways. When the SGC is absent, the probe field is absorbed by the medium, so the PBG cannot be generated. The numerical calculations show that the induced PBG result from the Kerr nonlinear modulation between the probe and coupling field, and by controlling the detunings of coupling field, one PBG can be dynamically tuned into two PBGs in this system.

Quantum optics; Electromagnetically induced transparency; Kerr nonlinear; Photonic bandgap

103969/j.issn.1000-0364.2015.12.019

2015-04-28

國家自然科學基金(1347137，11247201，11374126)；吉林省教育廳"十二五"科學研究項目(吉教科合字[2015]第215號)；吉林師范大學博士項目(2011022)

巴諾(1980—),女,講師，博士，研究方向為量子光學.E-mail: banuo2008@163.com

O431.2

A

1000-0364(2015)06-1027-06