建筑結構動力特性簡化與抗震性能有限元分析

王長虹

(上海應用技術學院軌道交通學院，上海200235)

1 引言

在建筑結構動力學計算中，為了節約運算時間和減少建模的工作量，經常需要建立簡化的結構動力學分析有限元模型。在動力學分析計算中，建筑結構抽象為多質點模型，將建筑結構的剛度簡化為梁的剛度，建筑結構的質量按集中質點處理。通常情況下，建筑結構各質點實際的質心、形心和剪心不在同一幾何位置，導致計算結果不能真實地反映原結構的力學狀態［1］。另外，簡化建筑結構模型的結果精度不僅限于剛度和質點幾何位置，而且還涉及阻尼的影響，動力學計算中，以Rayleigh阻尼最為常用，將系統假設為比例阻尼來處理，阻尼的建模對少數振型參與計算時精度較好，當取大量振型參與計算時，精度有可能失控［2］。

為了分析簡化建筑結構模型的質點幾何位置以及阻尼特性對計算結果精度的影響，通過Ansys軟件中Beam44單元和Matrix27單元的介紹，建立考慮建筑結構的質心、形心和剪心變化的簡化三維模型和真三維模型;并根據材料模態阻尼比、質量矩陣、振型矩陣直接計算阻尼矩陣，通過數值分析對比建筑結構動力特性與時程計算結果，全面了解簡化建筑結構模型動力特性與抗震性能的計算效率和結果精度的影響因素。

2 ANSYS單元介紹

2．1 Beam44 單元

Beam44梁單元可用于拉伸、壓縮、扭轉、彎曲計算，單元有兩個節點I和J，每個節點有6個自由度、3個平動自由度和3個轉動自由度，兩個節點可以是不同的非對稱幾何截面，并根據中心線掃略成不規則梁單元。

梁單元橫截面參數可以通過實常數描述，如轉動慣量、截面尺寸、剪心和質心偏移值等，Jzz和Jyy是圍繞截面形心主軸的轉動慣量，當不指定扭轉轉動慣量Jxx時，值為Jzz與Jyy之和。轉動慣量在J端截面沒有特別指定時，將和I端截面采用同樣數值。

梁單元I端截面質心偏移值 Dx1、Dy1、Dz1，和剪心偏移值DSCY1、DSCZ1的正負號規定與單元坐標系指向一致，TKYT1、TKYB1定義了截面Y方向的尺寸，TKZT1、TKZB1定義了截面Z方向的尺寸，當不特別指定梁單元J端截面參數時，將復制I端截面的參數。梁單元截面見圖1。

圖1 梁單元截面Fig．1 Beam element section

2．2 Matrix27 單元

Matrix27可代表一種任意的單元，單元的幾何特性無定義，但其彈性運動學響應可用剛度、阻尼或者質量系數來指定。單元連接2個節點，每個節點有6個自由度:沿節點坐標系X、Y、Z方向的平動和繞節點坐標系X、Y、Z方向的轉動。

單元生成12×12維的矩陣。自由度排列的順序為:I節點的X方向平動自由度(UX)、Y方向平動自由度(UY)、Z方向平動自由度(UZ)、繞X軸轉動的自由度(ROTX)、繞Y軸轉動的自由度(ROTY)、繞Z軸轉動的自由度(ROTZ)，然后是J節點的如上6個自由度。如果有一個節點沒有使用，則它在矩陣中對應的全部行和列默認為0。Matrix27單元描述見圖2。

圖2 Matrix27單元描述Fig．2 Description of element Matrix27

當定義為阻尼單元時，指定KEYOPT(3)=5，表示此單元定義的是12×12維的阻尼矩陣。

3 工程介紹

抗震規范［3］要求，對于復雜結構的抗震分析，應該采用不少于兩個不同的力學模型，并對其計算結果進行分析比較。簡化三維模型和真三維模型是兩種不同性質的結構體系，采用這兩種模型，可滿足規范要求。

如圖3所示，某核電站建筑物為二層框架結構，建筑面積為200 m2，高度為22．607 m，質量為15 567 t，對抗震性能要求極高。

真三維有限元建模采用Beam44單元模擬梁柱，Shell181單元模擬樓板，Mass21單元模擬集中質量，真三維模型共12 322個單元，7 452個節點。

簡化三維模型由于質心、形心、剪心不重合，在計算過程中，質心和形心之間采用主從自由度耦合，形心、質心和剪心的幾何位置由Beam44單元實常數設定。

圖3 真三維模型圖Fig．3 Real three dimensional model

如圖4所示，根據建筑物的形狀，質量分布和抗震性能計算得出各樓層質心、形心和剪心位置，如表1所示，建筑物的幾何參數如表2所示，建筑物的材料參數如表3所示。

圖4 簡化三維模型Fig．4 Simplified three dimensional model

表1 質量參數Table 1 Mass parameters

表2 幾何參數Table 2 Geometry parameters

表3 材料參數Table 3 Material parameters

地震作用力來自于三個方向，南－北方向地震，即X軸方向;東－西方向地震，即Y軸方向;豎直方向地震，即Z軸方向。

簡化三維模型取線彈性模型，考慮到建筑物采用筏板基礎，剛度大，地基的嵌固作用也較強，所以視基礎底面為完全嵌固。

4 結構動力特性分析

4．1 模態分析

在動力學計算中，阻尼作用通過Rayleigh阻尼矩陣確定，實現了任兩階(或少數階)模態阻尼比的建模控制，公式如下所述:

式中，［C］為阻尼矩陣;［M］為質量矩陣;［K］為剛度矩陣;α，β為常數，可以根據任意兩個模態阻尼比 ξi和 ξj決定:

ωi表示第i階模態的圓頻率。這種生成方法只在第i，j階才嚴格保證模態阻尼比計算值為設定值，而其他階的模態阻尼比則不能保證。

根據材料模態阻尼比、質量矩陣、振型矩陣直接計算阻尼矩陣的公式如下所示:

式中，［M］為m×m階質量矩陣，m表示質點自由度;［Φ］為m×n階無阻尼運動振型特征向量矩陣，n為基頻提取階數，由模態計算Block Lancos方法得到;ci，i=4πξi/ωi為 n × n 階方陣主對角線元素，ξi取 0．07。

需要說明的是，式(3)僅適合于簡化三維模型，而對于真三維模型，計算量巨大，分析依然采用Rayleigh阻尼矩陣。

如圖5所示，得到阻尼矩陣以后，通過Matrix27單元輸入系統。

圖5 阻尼矩陣Fig．5 Damping matrix

采用QR Damped方法計算結構的基頻和振型等動力特征。表4為簡化三維模型無阻尼、簡化三維模型自定義阻尼、真三維模型Rayleigh阻尼模態分析對比結果。

表4 結構基頻對比Table 4 Comparison of structure natural frequency

表4的結果說明，簡化三維模型通過設定質心、形心和剪心，考慮阻尼的影響，與真三維模型計算的基頻結果基本一致，最大相差值為3．83%。圖6、圖7為真三維模型和簡化模型的第一階振型圖。

圖6 真三維模型第一階振型Fig．6 First mode of real model

圖7 簡化三維模型第一階振型Fig．7 First mode of simplified model

結構表現出有代表性的振型如圖7所示，以水平側移和扭轉振型為主，豎向振型出現在高階振型，但表現不明顯。

4．2 振型參與系數分析

簡化三維模型在各個方向上的振型參與系數如圖8所示，可以得出X、Y方向上均是低階振型起到控制作用，Z方向上由第6階振型起控制作用。

圖8 各階振型參與系數Fig．8 Participation coefficents of different vibration modes

4．3 振型數目的確定

振型個數一般取振型參與質量(有效質量)達到總質量的90%時所需要的振型數目［4］，這種方法稱為有效質量法。圖9的橫坐標為基頻，縱坐標為有效質量比(振型參與質量/總質量)，可以得到當參與質量達到90%的時候，需要的振型分別為4階(X向)，5階(Y向)，11階(Z向)。同時，考慮到取過多振型對計算結果影響較小，卻帶來不必要的計算量，所以在用模態疊加法時程分析的時候，提取模態階數在10～20階比較合理。

圖9 各階振型參與質量比重Fig．9 Mass fractions of different vibration modes

4．4 結構自振特性分析

(1)基頻較高，第一基頻為8．88 Hz，反映了結構整體剛度大的特點;

(2)結構以扭轉為主的第一自振基頻與平動為主的第一自振基頻的比值為 0．51(8．88/17．31)，扭轉效應對結構的影響不明顯，抗扭能力滿足要求;

(3)水平振型為主，豎向振型表現不明顯;

(4)考慮到豎向振型對結構響應的影響，真三維模態疊加時程分析方法應該考慮20階以上的振型;

(5)從結構振型可以得出，建筑結構如果考慮質心、形心、剪心的幾何分布，并加入合適的阻尼效應，采用簡化三維模型能夠得到合理的結果，且高效可靠。

5 地震響應分析

地震響應分析主要采用時程分析方法，對比分析簡化三維模型和真三維模型在地震作用下的響應。地震波X、Y、Z向均不同，每次僅考慮單方向的地震波影響，地震作用取當地實測地震波，時間為22．09s，如圖10 所示。

5．1 簡化三維模型分析

簡化三維模型采用ANSYS軟件的瞬態結構分析技術，根據計算速度和對計算機硬件的需求，迭代求解方式為PCG方式［5］。采用Newmark積分方式，δ=0．5，α ＞ 0．25 時無條件穩定，且具有較高精度，這里采用控制振幅衰減的方法，取γ=0．005為積分參數，采用的 CPU為奔騰四代2．3G，內存1G的 PC電腦進行計算，一條4 418個數據的地震波的時程分析需要時間約20分鐘，效率極高。

X方向地震波得到的基底最大剪力為68．034 kN，Y方向地震波得到的基底最大剪力為67．953 kN，與建筑結構總重量相比，剪重比較小。采用時程分析方法得到的結果中，建筑結構頂部在單向地震作用下的響應如表5所示。

彈性時程分析時，在不同方向的地震波作用下，質點水平位移的包絡圖響應曲線見圖11，質點的加速度放大系數如圖12所示，觀察一層、二層頂板質點在X和Y方向的地震波作用下，結構的水平位移隨時間的變化曲線。

5．2 真三維模型分析

真三維模型由于單元較多，沒有采用完全法計算時程響應，而是采用模態疊加法，基頻取前20階，一條地震波需要的計算時間為2小時，基本在可以承受的時間范圍內。結構頂層的水平位移隨時間的變化曲線如圖13所示。

圖10 地震波Fig．10 Seismic wave

表5 頂層最大響應及發生時刻Table 5 Maximum reaction of the top storey and its time

對比表5與圖13的結果，X方向地震水平位移簡化三維模型和真三維模型的計算結果相差20%;Y方向地震水平位移簡化三維模型和真三維模型的計算結果相差1%。

5．3 對比分析結果

由時程分析的對比結果，可以得到如下結論:

圖11 樓層水平位移包絡圖Fig．11 Horizontal displacement envelope diagram of each storey

圖12 樓層水平加速度放大系數曲線Fig．12 Acceleration amplification coefficient curve of each storey

(1)結構的時程分析可以得到結構隨著時間變化的樓層位移曲線。結構在單向地震波作用下的表現反映出地震波的隨機性，統計規律表明X方向的側向位移要大于Y方向的側向位移。

(2)從圖11至圖13可以得出，該建筑受地震的整體作用影響較小，只是在二層頂板的位置，結構的加速度和位移達到峰值，是結構的薄弱環節，該位置需要采取構造措施進行特別處理。

(3)所采用的加速度時程曲線，其加速度峰值相同，但每條地震波均有其特性的頻譜，按不同波形計算出的結構地震反應，結果較為可靠。

(4)時程計算中，簡化三維模型與真三維模型的計算結果接近，差值在20%以內，表明簡化三維模型具有計算速度快、計算精度高的特點。

圖13 地震波作用下時程分析結果Fig．13 Result of time-history analysis in earthquake

6 結論

通過有限元軟件ANSYS建立建筑結構的簡化三維模型和真三維模型，對該結構的動力計算和比較，可以得到結論如下:

(1)簡化三維模型考慮建筑結構的質心、形心和剪心幾何分布后，計算模型可以正確反映復雜結構的動力特征。

(2)Rayleigh阻尼適合于少數階振型起控制作用的情況，由于簡化三維模型的動力特征受阻尼的影響比較大，必須要綜合考慮質量、振型和模態阻尼比的影響。

(3)有限元軟件ANSYS可以考慮質點系質心、形心和剪心不統一的情況，并可自定義阻尼矩陣，為復雜建筑結構的動力學分析提供了高效、可靠的計算平臺。

建筑結構在動力特征和抗震性能分析中，采用簡化模型和真三維模型都是可行的，主要是根據客觀需求合理建立模型。

致謝:本文在撰寫過程中，得到日本大林組亞洲博士的指導，在此表示衷心的感謝。

［1］ Clough C W，Penizen J．Dynamics of structures［M］．2th Edition．New York:McGram-Hill Inc．，1993．

［2］ 淡丹輝，孫利民．結構動力有限元的模態阻尼比單元阻尼建模法［J］．振動、測試與診斷，2008，28(2):100-103．Dan Danhui，Sun Limin．Damping modeling and its evaluation based on dynamical analysis of engineering structure by finite element method［J］．Journal of Vibration，Measurement and Diagnosis，2008，28(2):100-103．(in Chinese)

［3］ 中華人民共和國建設部．GB 50011—2001建筑抗震設計規范［S］．北京:中國建筑工業出版社，2002．Ministry of Construction of the People's Republic of China GB 50011—2001 Code for seismic design of buildings［S］．Beijing:China Architecture and Building Press，2002．(in Chinese)

［4］ 王元清，黃怡，石永久，等．超高層鋼結構建筑動力特性與抗震性能的有限元分析［J］．土木工程學報，2006，39(5):65-71．Wang Yuanqing，Huang Yi，Shi Yongjiu，et al．Finite element analysis on dynamic characteristics and seismic resistance of super high-rise steel structures［J］．China Civil Engineering Journal，2006，39(5):65-71．(in Chinese)

［5］ 王勖成，邵敏．有限單元基本原理和計算方法［M］．北京:清華大學出版社，1997．Wang Xucheng，Shao Min．Theory and algorithm of finite element analysis［M］．Beijing:Tsinghua University Press，1997．(in Chinese)