一例關于伯努利方程知識點的教學案例

李海寶 姜洪喜 張 琳 李 社

（黑龍江科技大學理學院，黑龍江哈爾濱 150022）

一例關于伯努利方程知識點的教學案例

李海寶 姜洪喜 張 琳 李 社

（黑龍江科技大學理學院，黑龍江哈爾濱 150022）

伯努利方程是“工程流體力學”“液壓與氣壓傳動”“土木工程結構抗風設計”“連續(xù)介質力學”等課程的核心基礎，而這些課程又是機械類、土木工程類等專業(yè)的專業(yè)基礎課．“大學物理”作為理工科專業(yè)的公共基礎課，應該全部或部分講授伯努利方程這一重要的知識點．文章通過對工程上有關伯努利方程應用的實例進行合理抽象，為大學物理課程中所講解的“伯努利方程”知識點營造工程教育情境．通過這種教學設計，能夠實現在加深學生對基礎知識掌握程度的同時，增強學生工程背景閱歷和工程實踐意識．

伯努利方程；大學物理；教學設計；工程背景；3D打印

伯努利方程是“工程流體力學”“液壓與氣壓傳動”“土木工程結構抗風設計”“連續(xù)介質力學”等課程的核心基礎，而這些課程又是機械類、土木工程類等專業(yè)的專業(yè)基礎課．“大學物理”作為理工科專業(yè)的公共基礎課，應該全部或部分講授伯努利方程這一重要的知識點．不過，由于很多學生在中學階段的學習中，或多或少接觸了伯努利方程內容，在大學階段講解，要注意進行合理的教學設計，選擇合適的教學方法［1］．為伯努利方程構建工程教育情境，可以讓這一知識點的講解，對學生具有足夠的吸引力．

1 關于伯努利方程知識點的頂層設計

1.1 伯努利方程

伯努利方程是理想流體定常流動的動力學方程，意為流體在忽略粘性損失的流動中，在重力場中，流線上任意兩點的壓力勢能、動能與位勢能之和保持不變，其本質在于揭示了流體在重力場中流動時的能量守恒［2］．其數學公式為

公式中的各個字母的含義為：p——壓強；ρ——流體密度；y——流體元與零位勢能面的高度；v——流體元的流速；g——重力加速度．

1.2 伯努利方程知識點的重點突出

基于某種原因，很多大學物理教材并沒有將流體力學內容單獨作為一個章節(jié)納入教學內容的體系中．如果只講授伯努利方程，可以以一個具體的例子融入到相關內容教學中．在馬文蔚等改編、東南大學等七所工科院校編寫的《物理學》（第5版）中，就是通過一個例題來完成講解的［3］．

筆者在講解這個例題的時候，對這個例題的內涵進行了拓展，并把講解的重點放在了以下三個方面：

（1）突出物理本質．強調能量與物質的相互作用，將質點系的動能定理、機械能守恒定律、能量與物質相互作用規(guī)律等，運用到理想流體的定常流動這一模型中．

（2）營造工程背景．通過構建伯努利方程的工程背景，努力讓學生在深入掌握基本知識后，對所涉及的工程應用背景有一定認識，以突出物理原理在工程技術中的應用．

（3）融入科研方法．引導學生樹立運用計算機軟件來對一個簡單物理現象進行計算機仿真的意識，融科研方法在課堂教學中．

1.3 教學原則和教學手段

在教學原則的選擇上，以建構主義思想為指導，強調學生的主動參與，注意利用已有的生活經驗．在教學手段選擇上，避免使用平鋪直敘的方式，注意運用趣味性演示實驗，激發(fā)學生的學習興趣，按照從現象到物理、從物理到工程的思路來講解這一知識點．適當引入Matlab等數學工具，對若干種伯努利效應現象進行仿真，融入科研方法．

2 伯努利方程知識點的教學過程

2.1 教學導入和準備知識處理

現象是物理學的根源，實驗是物理學的基礎．筆者在講課時，先是通過屏幕為學生展示了伯努利懸浮球的演示裝置［4］，如圖1（a）所示．但是限于條件，無法在課堂上直接演示這個現象．筆者借助了一個漏斗和一個乒乓球來進行等效演示伯努利效應．

為了增加趣味性，筆者在演示的時候，沒有直接將乒乓球約束在錐形擴展區(qū)的狹小空間內吹氣，如圖1（b）所示，而是選擇表面比較粗糙的硬紙板將錐形漏斗的開口端表觀封閉，乒乓球放在硬紙板上如圖1（c）所示．這樣處理后，當通過漏斗的細頸向封閉空腔內吹氣時，乒乓球會離開紙板平面，而被吸附在錐形擴展區(qū)的狹小空間內．教師操作后，請學生代表重復上述操作．這種小球躍升的效果，學生感到十分驚奇．此時，講解現象背后蘊含的規(guī)律——伯努利方程，就自然而然了．

由于伯努利方程的學科背景是流體力學或連續(xù)介質力學，因此有必要介紹一些基本模型和數學工具．如理想流體、定常流動等概念，連續(xù)性方程等數學工具．

2.2 突出伯努利方程知識點基本要求

在教學中注意引導學生擺脫中學時代為了解題而學習知識點的慣性思維，從物理學的內在要求，以更高的系統性思維、體會和體驗式的方法來重新認識伯努利方程．

物理學的研究對象可謂包羅萬象，但歸結起來，可劃分為三個大類：物質、能量、物質與能量的相互作用［5］．伯努利方程知識點雖然微小，但卻可以分別體現三個大類所涉及的內容．首先，定常流動的理想流體，即為我們所研究的“物質”；而后，位勢能、壓力勢能、動能，即我們所研究的“能量”；最后，三種能量相互轉化，正是能量與物質相互作用的結果．

2.3 營造伯努利方程知識點工程背景

融入工程教育素材于課堂．由于課堂上所講授的內容因其豐富并帶有工程實踐的色彩，將增強課堂的吸引力，有助于培養(yǎng)和提高學生的學習興趣［6］．能反映伯努利方程應用的工程背景和案例，數目眾多．在選擇過程中，應優(yōu)先選擇能與學生所學習的專業(yè)緊密聯系的例子，并從日常生活實例開始，最終過渡到預期目標．筆者選取了從噴霧器過渡到3D打印機中的噴頭設計這一例子．

噴霧器利用的是體現伯努利效應的空吸原理，在液體向外噴出時，由于噴頭內部壓強遠高于噴頭外部的壓強，液體自噴頭噴出后，壓強突然降低，霧滴從噴頭中心軸對稱向四外均勻發(fā)散，如圖2所示．聯想到現在的3D打印機噴頭，如圖3（a）所示，為了保障粘滯系數較大的液滴（如金屬液滴）從噴口噴出，噴頭內部將被設計成比較高的壓強，但是根據伯努利效應，如果噴頭外部壓強突然降低，造成霧滴關于噴頭中心軸對稱向四外均勻發(fā)散而影響噴涂的精度．這時我們就為學生介紹美國Optomec公司氣流噴印技術中利用環(huán)形氣流控制打印精度的專利技術［7］，來啟發(fā)學生思維．

如圖3（b）所示，氣流環(huán)繞在噴射液體的周圍，呈360°均勻對稱．這樣液體噴射后，由于周圍氣壓仍然很高，且存在流體的表面效應，使得在液體飛向承載物表面的過程中，能夠實現液體流的徑向尺寸遠小于噴頭的口徑，從而提高噴印的精度．2.4 伯努利方程知識點的有關計算機仿真模擬

使用Matlab等工具編寫程序，來模擬伯努利方程中各參量變化與其他變量的因變關系．有以下三個方面的目的：第一是通過各參量變化的制約關系，以圖形化予以充分展示，從不同角度加深學生對知識點的掌握．第二是培養(yǎng)學生利用計算機仿真處理物理問題的意識，使一部分計算機運用能力較強的學生參與到計算機仿真設計當中．

筆者在講授時，利用Matlab為學生現場展示了仿真程序和仿真結果，學生反映很好，躍躍欲試．此時，筆者又適時將課外素質教育活動的內容，自然滲透，還達到了課內外教學環(huán)節(jié)的緊密結合．圖4展示了漏斗內氣體壓強與漏斗內到達距端開口距離的關系曲線．

3 結語

通過整理學生反饋意見發(fā)現，學生對筆者這樣的教學處理很有感觸，意識到對教材中的每一道例題進行深入挖掘十分必要而且有意義．一個看似很小的知識點，背后可能蘊藏著一個豐富的理論世界和財富世界．對教師來說，要引導學生去發(fā)現這個世界．物理學中的每一個知識點，實際上都是人類認識和改造物質世界的智慧結晶，每一個知識點都直接或間接地同工程背景聯系在一起．只要我們肯去挖掘，并積極融入到課堂教學中，將使課堂教學工程情境色彩濃厚，學生學習興趣提高．最終目的是學生學習的基礎理論知識更加扎實，工程和實踐意識得到強化．

［1］ 鄭海務，康緲，任鳳竹，等．大學物理課程和中學物理課程近代物理部分的銜接研究［J］．物理與工程，2011，21（5）：45－48．

［2］ 張德良．計算流體力學教程［M］．北京：高等教育出版社，2010．

［3］ 馬文蔚改編，東南大學等七所工科院校編．物理學（上冊）［M］．5版．北京：高等教育出版社，2010．

［4］ 中國數字科技館．伯努利原理懸浮球［DB／OL］［2014－04－02］．http：／／www2．cdstm．cn．

［5］ 吳國玢，Herrmann F．試論一種新的能量觀［J］．物理與工程，2010，20（6）：3－6．

［6］ 李海寶，任常愚，金永君，等．課堂教學中物理工程教育素材的開發(fā)與融入［J］．物理與工程，2011，21（4）：61－64．

［7］ Essien M，King B H．Multiple Sheath Multiple Capillary Aerosol Jet：U．S．Patent Application 12／247，909［P］．2008－10－08．

A TEACHING CASE FOR THE KNOWLEDGE POINT OF THE BERNOULLI EQUATION

Li Haibao Jiang Hongxi Zhang Lin Li She

（College of Science，Heilongjiang University of Science and Technology，Harbin，Heilongjiang 150022）

Bernoulli equation is the core foundation of the courses，such as“Engineering Fluid Mechanics”“Hydraulic and Pneumatic Transmission”“Civil Engineering Structural Wind Resistant Design”“Continuous Medium Mechanics”，and these courses are also the professional basic course of Mechanical Engineering，Civil Engineering and other professional．“University physics”as public basic courses in science and engineering，should all or part of teaching Bernoulli equation which is an important knowledge point．The engineering education scene was constructed in the process of university teaching about the knowledge point of the Bernoulli equation，through a reasonable abstract of the engineering application examples about the Bernoulli equation．This teaching design can deepen students'mastery of basic knowledge，as well as enhance students'consciousness of engineering background and engineering practice．

Bernoulli equation；university physics；teaching design；engineering background；3Dprinting

2014－03－06

黑龍江省教育科學“十二五”規(guī)劃課題資助（課題編號：GBD1211055）；黑龍江科技大學2014年教學研究項目資助（課題編號：JY14—129）；黑龍江科技大學青年才俊計劃資助．

李海寶，男，副教授，主要從事物理教學、纖維集成光學研究工作．lihaibao1978＠126．com