關于“對物理教材中兩個概念的討論”中“加減平衡力系”的商榷

陳奎孚 蔡 春

（1中國農業大學理學院，北京 100083；2北京聯合大學應用文理學院，北京 100191）

《物理與工程》2010年第20卷第1期發表了《對物理教材中兩個概念的討論》一文（以下簡稱《對》文）[1].《對》文談了兩個問題，對其中第二個問題“關于勢能的計算”的“加減平衡力系”的說法，筆者有不同觀點.

問題的背景是關于圖1所示懸掛彈簧質量系統的勢能表達式.圖1中：m表示物塊的質量；k和l分別為彈簧的勁度系數和彈簧原長；δst＝mg／k為靜平衡時的彈簧靜伸長（g為重力加速度）.選擇靜平衡位置O為坐標原點，并選定該點為系統的零勢能點后，則系統勢能為

考慮到靜平衡的kδst＝mg，上式就變成十分簡潔的形式

圖1 懸掛彈簧質量系統示意圖

《對》文認為從式（1）到式（2）的深層物理本質是“重力和彈簧靜伸長的彈性力構成了一個平衡力系，由力學中的加減平衡力系公理可知，對于任意一個剛體，對其加上或減去一個平衡力系不影響原力系對剛體的作用效果”.該文還指出使用加減平衡力系公理要“同時滿足下列兩個條件：一是在靜平衡時系統所受平衡力系中是否存在由彈簧靜變形而產生的彈性力；二是在靜平衡時彈簧的靜變形是否是由振動物體的重力所引起”.

筆者認為彈簧是變形體，而且對所感興趣的物理現象——振動，也必須考慮彈簧的變形效應（有彈性勢能），因而不能使用“加減平衡力系公理”.該公理適用的對象是剛體.筆者認為能將式（1）變成式（2）是因為：①坐標x軸的原點選得好——正好在靜平衡處；②系統零勢能點選得好——也正好在靜平衡處.力學規律應該與坐標無關，也就是說如果“加減平衡力系公理”能用，并且能夠得到式（2）的結果，則改變坐標原點或系統零勢能點，也應該得到同樣的結果.但事實顯然不是這樣.

下面再給一個反例，說明使用“加減平衡力系公理”的不合理性.

圖2也是一個單自由度系統，彈簧的一端懸掛在A點，另一端B系有質量塊m，m在鉛直的光滑滑道內運動.彈簧原長為l，勁度系數為k，AO距離為d.假定圖中的實線對應靜平衡位置（位置B處）.該系統顯然滿足《對》文所申明的兩個條件.

依《對》文的說法，使用“加減平衡力系公理”后，系統勢能為

圖2 單自由度彈簧系統示意圖

這里的Δ是質量偏離平衡的位移x所造成的彈簧變形，也就是系統在圖2中點線狀態下（圖2中C處）的彈簧相對平靜位置（不是原長）的伸長量，它與重力無關.由圖中幾何關系有

但對微幅的線性振動，上式展開到x的泰勒級數一次項即可，記

將式（4）代入式（3）得到

從頭算起的算法為

這里的Δ為圖2中點線示意狀態的彈簧相對于彈簧原長的伸長量（不是平衡狀態）.根據圖2中的三角形關系有

將式（7）代入式（6），并近似到泰勒級數二次項有

根據圖2中幾何關系，知道上式第一項為零.在平衡位置，隔離質量塊m作受力分析，可以得到靜平衡時有如下關系

這樣式（8）的第二式也為零（這是必然的，因為我們選擇了平衡位置為坐標原點）.

綜上，式（8）變為

它顯然不同于式（5）的U1.前者也無法退化為后者（除非δst＝0）.而式（9）中的δst正是彈簧變形不能忽略的體現.

教學實踐中，往往強調式（4）解題的方便性，但不得不遺憾地指出它的適用范圍非常有限，工程問題大多是像圖2那樣的模型.

目前的教學往往強調解題速度.為了提高速度，學生不得不針對特殊的題型，訓練和記住不同解題方法.這不僅大量地占用學習資源，更導致學生無暇理解科學的本質和科學的美.真正的科學教育應該強調通用解法和基本思路，具體公式推導和計算細節交給計算機去完成.比如上述的泰勒級數展開，就是用Mathematica軟件完成的.

[1]樊麗儉，馮振宇.對物理教材中兩個概念的討論[J].物理與工程，2010，20（1）：49-52.