3×n階蛛網等效電阻猜想的證明

湯 華譚志中

（1運河高等師范學校，江蘇邳州 221300；2南通大學理學院，江蘇南通 226007）

3×n階蛛網等效電阻猜想的證明

湯 華1譚志中2

（1運河高等師范學校，江蘇邳州 221300；2南通大學理學院，江蘇南通 226007）

本文應用基爾霍夫節點電流定律和回路電壓定律，建立了3元矩陣方程模型，構造了矩陣變換方法，經過一系列嚴格的推導與計算，較好地證明了3×n階蛛網等效電阻猜想的正確性，同時給出了3×n階蛛網等效電阻公式．通過比較分析進一步給出了3×n階蛛網在無限情形時的等效電阻公式，并且探討了3×n階蛛網等效電阻的單調性質．

3×n階蛛網；猜想證明；基爾霍夫定律；等效電阻；矩陣方程模型

電阻網絡模型的建立與研究已有一百多年歷史［1］．1845年，德國物理學家基爾霍夫（1824—1887年）創立了節點電流定律和回路電壓定律，自此，人類開始了對電阻網絡模型的研究，并通過其解決許多抽象和復雜的科學問題［1－13］．目前，利用構建電阻網絡模型進行模擬研究已成為解決一系列科學問題的基本方法［2－13］．對自然界中石墨烯網絡的研究、一些金屬化合物晶體或非金屬晶體結構的研究、多鐵性磁電材料結構的研究、富勒烯C60的結構及納米碳管結構的研究［4］，等等，都可能需要通過構建電阻網絡模型進行模擬研究．而復雜電阻網絡等效電阻公式的獲得則是一個跨學科的科學難題，不僅需要電路理論知識，而且需要數學理論與方法的創新［2－13］．因此，電阻網絡模型的建立與研究不僅具有理論指導意義，而且具有很高的實際應用價值．

在平面電阻網絡模型的研究中，根據不同的分類方法，可以將平面網絡分為平面矩形網絡［2－4］和平面多邊形網絡［4－8］，平面矩形網絡的研究已經取得了不少成果，如文獻［1－4］、文獻［9－13］等的研究工作．一般平面多邊形網絡等效電阻的研究才剛剛開始．通常稱圖1為多邊形電阻網絡模型，文獻［6］第一次對任意多邊形電阻網絡的等效電阻RAO（n）的公式實行了統一建構，取得了新的進展．隨著對電阻網絡研究的不斷深入，文獻［4］、文獻［8］給出了m×n階蛛網模型的定義．按照網格的數量來定義網絡的階數，通常稱圖1為最簡單的1×n階蛛網模型，而稱圖2的結構為3×n階蛛網模型（又稱有心蛛網模型）．該結構有3個相似的多邊形，多邊形的邊數為n，多邊形的角點與中心相連成蛛網結構，文獻［8］在研究2×n階蛛網等效電阻普適公式時提出了一個任意m×n階蛛網模型的等效電阻猜想．

猜想：對于任意m×n階蛛形網絡，設多邊形邊上的單元電阻為r，半徑上的單元電阻為r0，則m×n階蛛網的等效電阻公式為

其中，m＝1，2，…，n＝0，1，2，…，并且

其中，h＝r／r0，coth（x）是雙曲余切函數．

式（1）不僅形式優美與對稱，而且是由（2k－1）π／（2m＋1）的三角函數表示的規律，是一個非常有趣的現象．本文擬初步證明猜想公式（1）在m＝3情形時的正確性，證明過程如下．

1 矩陣方程模型與電流規律

在圖2所示的3×n階電阻蛛網模型中，存在3個相似的多邊形，設多邊形的邊數為n（n＝2，3，4，…），相應的角點數也為n．設3個多邊形的所有邊上的單元電阻值均為r，半徑AkBk之間、BkCk之間和半徑CkO之間的單元電阻值均為r0，研究計算Ak與O兩節點間的等效電阻公式．為研究方便，記圖2中的多邊形的點頂為Ak（沿順時針k＝1，2，3，…，n）和邊上電阻為rk（k＝1，2，3，…，n）．

根據網絡分析方法，設在電阻網絡中通入恒定電流I，電流從A1輸入至O輸出．為便于研究，將圖2的電阻網絡重新表示成圖3所示的含有電流參數及其方向的子電阻網絡模型．記AkAk＋1之間、BkBk＋1之間、CkCk＋1之間的電阻r上通過的電流分別為Iak、Ibk、Ick（1≤k≤n），半徑AkBk之間、BkCk之間、CkO之間的電阻r0上通過的電流分別為Ik、I′k、I″k（1≤k≤n）．

在圖3中，應用基爾霍夫節點電流定律和回路電壓定律可以得到一個三元矩陣方程模型［4］：

其中，r／r0＝h．如何求解矩陣方程（4）是解決問題的關鍵，若采用消元法，將使問題變得更加復雜．本文構造了矩陣變換方法，通過重新構建新的矩陣方程模型，給出了巧妙的間接求解方法．將式（4）左乘一個三階待定矩陣A得

設待定矩陣A為

使得存在下列恒等式

將式（7）的左端和右端按照矩陣乘法展開，并且根據式（7）的矩陣左右對應項相等得到

其中，p1，p2，p3，q1，q2，q3，t1，t2，t3分別是關于p，q，t的方程的根（三次方程的根）．由式（8）～式（10）消元得到

根據文獻［4］構造的倍冪方法，解一元三次方程式（11）得

所以由式（8）～式（12）解得

由此可以將矩陣方程式（4）轉化成新的矩陣方程

其中約定

由矩陣方程式（16）得矩陣差分方程的特征方程

設關于x，y，z的方程的兩組根分別為λ1，λ－1，λ2，λ－2，λ3，λ－3，解方程式（17）得到

其中，i＝1，2，3，式（18）即為方程（17）的三組特征根．

根據文獻［4］、文獻［9］建立的解二階差分方程的方法，解差分方程式（15）得到

其中，k＝1，2，3，…，k≤n＋1．式（19）即為3×n階電阻網絡中的電流在任意網絡元電阻上的分布規律．

2 邊界電流的通用規律

當電流從A1輸入至O輸出時，邊界電流關系如圖4所示．由圖4應用基爾霍夫節點電流定律和回路電壓定律可得到關于邊界電流的矩陣方程模型［4］

其中，h＝r／r0．

對式（20）進行矩陣變換，將式（20）左乘一個式（6）的已知矩陣A，得到

這里使用了ti＝λi＋λ－i（i＝1，2，3）．

根據圖2、4的電路結構特點，由于多邊形的頂點數為n，所以根據對稱性與循環性分析，必然有In＋1＝I1，I′n＋1＝I′1，I″n＋1＝I″1，所以令式（19）中k＝n＋1得到

將式（21）代入式（22）化簡解得

式（23）即為3×n階蛛形網絡的邊界電流的通用公式．

3 等效電阻RAO（）n的通用公式

顯然，要計算等效電阻RAO（）n就必須計算出初始電流值．根據式（16）得到

據此通過對式（25）中的逆矩陣計算能夠得到（應用文獻［10］中建立的理論）

式（26）由式（25）、式（11）及qi＝－1，p1＋p2＋p3＝1，＝5得到．

將式（23）、式（26）代入式（24）得

根據雙曲余切函數的定義，由于λi·λ－i＝1，所以能夠得到

所以式（27）可以重新寫成

式（27）或式（29）即為A，O兩節點間的等效電阻RAO（）n的通項表達式．該式對一切自然數n＝3，4，5，…均成立．此即證明了猜想公式（1）在m＝3時成立．

通過使用研究與計算機模擬研究，還可得到如下數據

根據這些實驗數據不難發現：當h＝r／r0固定時，隨著階數n的增大等效電阻隨之減小；當階數n固定時，隨著h＝r／r0的增大等效電阻隨之增大．

以上這些數據驗證了理論值與實驗結論的完全一致．

4 具體討論與比較

4.1 無窮蛛形網絡的等效電阻

當n→∞時，定義圖2為無窮3×n階蛛網模型．其無窮蛛網的等效電阻可以由式（27）或式（29）取極限獲得．因為＝1，所以＝1（i＝1，2，3），所以由式n（29）取極限獲得

由以上結論可以看出，無窮3×n階蛛網模型的等效電阻為有限常數，與特征方程（17）的根有關．

4.2 等效電阻RAO（）n的單調性質

其中，2≤n≤∞，RAO（2）由式（24）或實際電路計算得到，RAO（∞）由式（30）給出．

當h＝r／r0＝1時，RAO（∞）＝0．73666r，依據公式（29）用計算機繪制的RAO（n）隨n的遞變關系，如圖5所示．從圖5可以看出，當取n＞ 20時，發現RAO（n）→RAO（∞）≈0．7367r．所以當取n＞20時，可以近似地取RAO（∞）＝0．7367r．

5 結語

本文根據嚴格的理論計算，證明了3×n階電阻蛛網在有限情形和無窮情形時的等效電阻公式，并且發現其等效電阻隨階數n的增大而遞減．式（1）、式（30）不僅形式優美與對稱，而且是由（2k－1）π／（2m＋1）的三角函數表示的規律，是一個非常有趣的現象．本文以m＝3為例初步證明了猜想公式（1）的正確性，但要完全證明該猜想還需要解決一些相關的數學問題，這是未來進一步研究的課題．

［1］ Kirchhoff G．über die Aufl?sung der Gleichungen，auf welche man bei der untersuchung der linearen verteilung galvanischer Str?me geführt wird．Annalen für der Physik und der Chemie．1847：497－508．

［2］ 譚志中，羅達峰．4×n階網絡的2個等效電阻公式［J］．南通大學學報（自然科學版），2011，10（3）：87－94．

［3］ 湯華，譚志中．n階網絡任意節點的等效電阻研究［J］．大學物理，2012，31（11）：18－22．

［4］ 譚志中．電阻網絡模型［M］．西安：西安電子科技大學出版社，2011：6－126．

［5］ 李建新，劉栓江．規則聯接的多邊形電阻網絡的等效電阻研究［J］．大學物理，2008，27（11）：24－26．

［6］ 譚志中，陸建隆．多邊形電阻網絡等效電阻的統一建構［J］．河北師范大學學報（自然科學版），2011，35（2）：140－144．

［7］ 譚志中．加強型多邊形電阻或電容網絡的等效值研究［J］．大學物理，2011，30（12）：29－32．

［8］ 譚志中．2×n階蛛網模型的等效電阻公式及兩個猜想［J］．大學物理，2013，32（4）：16－27．［9］ 譚志中．二階方陣N次冪的普適公式與應用［J］．南通大學學報（自然科學版），2012，11（1）：50－58．

［10］ 譚志中．關聯電阻網絡的一些三角恒等式［J］．南通大學學報（自然科學版），2013，12（1）：87－94．

［11］ Wu F Y．Theory of resistor networks：the two－point resistance［J］．J．Phys．A：Math．Gen．37（2004）6653－6673．

［12］ Gabelli J，Fève G，Berroir J－M，et al．Violation of Kirchhoff's laws for a coherent RC circuit［J］．Science 2006：499－502．

［13］ Osterberg P M，Inan A S．Impedance between adjacent nodes of infinite uniform D－dimensional resistive lattices［J］．American Journal of Physics 2004：972－973．

THE PROOF OF THE SUSPECT OF 3×n ORDER COBWEB EQUIVALENT RESISTANCE

Tang Hua1Tan Zhizhong2

（1Yunhe Normal College，Pizhou，Jiangsu 221300；2School of Science，Nantong University，Nantong，Jiangsu 226007）

Based on the application of Kirchhoff’s current law of nodes and the voltage of circuit，a three－degree matrix equation model was established，and the method of matrix transformation was constructed．Through a series of strict deduction and calculation，the suspect of 3×n order cobweb equivalent resistance was proved well in this paper．Meanwhile，the equivalent resistance formula of 3×norder cobweb was given．Then the equivalent resistance formula of 3×norder cobweb in infinite condition was given through further comparative analysis，and the monotone property of 3×norder cobweb equivalent resistance was discussed．

3×norder cobweb；proof of suspect；Kirchhoff’s law；equivalent resistance；ma－trix equation model

2014－02－14

江蘇省“青藍工程”資助．

湯華，女，副教授，主要從事理論物理研究與物理教學研究工作．tanghuaz＠126．com