基于壓電網(wǎng)絡(luò)的四邊固支板多階共振抑制

李琳，李俊，易凱軍

(1.北京航空航天大學(xué) 能源與動力工程學(xué)院，北京 100191;2.北京航空航天大學(xué) 先進航空發(fā)動機協(xié)同創(chuàng)新中心，北京 100191;3.里昂中央理工學(xué)院 摩擦和系統(tǒng)動力學(xué)實驗室，里昂 69130)

廣泛用于汽車、高速列車、艦船以及航空航天飛行器外殼結(jié)構(gòu)的板殼結(jié)構(gòu)正面臨著由質(zhì)量輕、剛度大、抗沖擊性能好的結(jié)構(gòu)需求所帶來的越來越嚴酷的振動噪聲問題的挑戰(zhàn).另一方面，智能材料科學(xué)與技術(shù)的發(fā)展為解決工程中的難題開辟了新的思路.自1956年Olsen提出可以將壓電材料用于結(jié)構(gòu)的振動、噪聲控制之后［1］，該領(lǐng)域的研究得到了迅猛發(fā)展.Hagood和von Flotow探索了應(yīng)用壓電分支電路對結(jié)構(gòu)振動進行被動控制的可能性［2］，緊接著研究人員對分支電路的設(shè)計進行了更為深入的探索［3-5］.為實現(xiàn)對結(jié)構(gòu)的多階共振抑制，Hollkamp采取了在分支電路中并聯(lián)諧振電路的方法［6］，Park C H和Park H C在分支電路中添加了負電容［7］，劉瑩等采用了壓電阻塞電流分支電路［8］，李琳和劉學(xué)則將“選通電路”的思想引入了分支電路［9］.Dell’Isola等提出了壓電網(wǎng)絡(luò)的概念并將其應(yīng)用于梁、板類結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其同樣具有多模態(tài)振動控制效果，并且結(jié)構(gòu)簡單，能在被動控制的基礎(chǔ)上降低對電學(xué)元件的要求，同時還不需要引入選通電路，也不需要考慮壓電片的設(shè)置位置［10-13］.易凱軍和李琳在研究四邊簡支壓電網(wǎng)絡(luò)板機電耦合動力學(xué)特性的基礎(chǔ)上，分析了其振動控制的原理和效果［14-15］.然而，在工程應(yīng)用中，板的固定方式更接近固支.而固支條件下薄板橫向自由振動問題的振型函數(shù)封閉解的獲得比簡支板要困難得多，這在很大程度上限制了對壓電網(wǎng)絡(luò)板振動控制研究的深入.Xing和Liu［16］采用分離變量法求解了在Hamilton體系下的薄板橫向自由振動的特征值問題，得到了簡支和固支任意組合邊界條件下的振型函數(shù)精確解.本文在此基礎(chǔ)上引入壓電網(wǎng)絡(luò)，求解了具有壓電網(wǎng)絡(luò)的四邊固支板(四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板)的機電耦合動力學(xué)方程，進而研究了壓電網(wǎng)絡(luò)用于對四邊固支板多階共振的抑制作用.為今后將其應(yīng)用于工程實際以及開展實驗研究提供理論基礎(chǔ)和設(shè)計指導(dǎo).

1 壓電網(wǎng)絡(luò)板的機電耦合動力學(xué)方程

本文基于文獻［15］提出的壓電網(wǎng)絡(luò)板模型進行分析，該模型包含壓電復(fù)合板以及電路網(wǎng)絡(luò)兩部分.圖1為壓電網(wǎng)絡(luò)板的示意圖，其中壓電片在板上呈周期性分布，各壓電片之間通過相同的電路連接.從圖1可以看出，壓電網(wǎng)絡(luò)板是一個周期結(jié)構(gòu)，壓電復(fù)合板的一個結(jié)構(gòu)單元(又稱元胞)如圖2所示.

圖1 壓電網(wǎng)絡(luò)板Fig.1 Piezo electromechanical-plate

圖2 壓電復(fù)合板元胞Fig.2 Cell of piezoelectric composite plate

壓電片(PZT)之間可以通過不同形式的電路相連接，其連接方式如圖3所示.其中:圖3(a)表示元胞之間通過并聯(lián)的電感L和電阻R相連接，稱之為電感電阻并聯(lián)型壓電網(wǎng)絡(luò)板(LR-PEM).圖3(b)為電阻型壓電網(wǎng)絡(luò)板(R-PEM)的電路形式，即元胞之間僅通過電阻R相連.

該壓電網(wǎng)絡(luò)板的無量綱機電耦合動力學(xué)方程組［15］為

圖3 壓電片之間的電路連接方式Fig.3 Circuit between two different PZTs

式中:αm和αe分別為機械系數(shù)和電學(xué)系數(shù);和分別為板橫向振動位移和板表面的磁通量;τ為無量綱時間;β和γ分別為耦合系數(shù)和綜合電學(xué)參數(shù);和為無量綱化的板的x和y坐標.這些參數(shù)定義為

其中:w為壓電復(fù)合板的法向位移;φ為壓電復(fù)合板表面的磁通量;φ0為特征磁通量;l0為特征長度(板長);ω0為特征頻率;Ct、Dt和 ρt分別為均勻化板的壓電片電容、抗彎剛度和密度.

其他參數(shù)的表達式分別為

2 四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板動力學(xué)方程的求解

2.1 壓電網(wǎng)絡(luò)板對簡諧激勵的響應(yīng)解

壓電網(wǎng)絡(luò)板的受迫振動響應(yīng)求解取決于板的邊界條件，四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板的邊界條件為:在和處，

為求解壓電網(wǎng)絡(luò)板動力學(xué)方程組(方程(1)和方程(2))，設(shè):

根據(jù)特征解的性質(zhì)，易知:

式中:

對應(yīng)的特征值為

式中:

線性系統(tǒng)(式(12))對簡諧激勵的響應(yīng)的表達式為

式中:

則在簡諧激勵下壓電網(wǎng)絡(luò)板的位移表達式(6)為

式中:H(w)為隨激振力頻率變化的位移空間分布規(guī)律表達式.

在式(14)的基礎(chǔ)上，可以分析壓電網(wǎng)絡(luò)對結(jié)構(gòu)的多階共振抑制效果.

在進行諧響應(yīng)分析時，本文采取單點激勵的方式，如圖4所示.

圖4 激勵方式示意圖Fig.4 Excitation pattern schematic

2.2 四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板的模態(tài)特性

四邊固支板橫向自由振動的振型函數(shù)表達式已由文獻［16］給出.據(jù)此，式(6)中的φmr可表示為

式中:

其中:β1r、β2r、α1r、α2r、k1r和 k2r為待定系數(shù).

特征方程組為

通過對式(17)的求解，可以得到四邊固支板的各階固有頻率及振型函數(shù).表1列出了四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板的前10階無量綱固有頻率及振型半波數(shù)，半波數(shù)代表了振型在空間的分布規(guī)律.如第4階振型的半波數(shù)為2/2，代表該階振型在x方向有2個半波，y方向有2個半波.圖5為四邊固支板的前4階振型.

表1 四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板無量綱固有頻率及半波數(shù)Table 1 Eigenvalues and half wave numbers of clamped piezo electro mechanical-p late

圖5 四邊固支板前4階振型Fig.5 First four mode shapes of clamped plate

本文的分析模型為正方形板，存在重頻的振型，比如第 2、3 階，第 5、6 階，第 7、8 階，第 9、10階，因此在前10階模態(tài)中只有6階不同的固有頻率，本文后面提到的共振階數(shù)均指的是頻率的階數(shù).對于重頻點，其共振響應(yīng)的振型圖為兩個重頻振型的線性組合.

3 壓電網(wǎng)絡(luò)對四邊固支板的多階共振抑制效果

3.1 電阻型電路的多階共振抑制作用分析

為避開各階振型的節(jié)線位置，更好地觀察共振抑制效果，首先在正方形板上選取x=0.4，y=0.3這一點進行拾振分析，同時以前4階共振為例說明四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板的多階共振抑制效果.

對于R-PEM，當(dāng)電阻值很小或者很大時，電路中耗散的能量均較少，因此每一階共振都存在一個最優(yōu)電阻值Ropt，使得此時電路耗散的能量最多，共振抑制效果最好.圖6為電阻對共振峰值的影響.圖6(a)～圖6(d)依次為電阻對前4階共振響應(yīng)峰值的影響，可以看出每一階共振均對應(yīng)一個最優(yōu)電阻.

圖6 電阻對共振峰值的影響(R-PEM)Fig.6 Influence of resistance on resonance peak value(R-PEM)

表2給出了對應(yīng)Δw=5%wmin的最優(yōu)電阻改變區(qū)間以及各階共振峰值對電阻的敏感度.從中可以看出，雖然各階最優(yōu)電阻不同，但是由于各階的wmin均對電阻不太敏感，即最優(yōu)電阻區(qū)間較寬，因此可以選取這些最優(yōu)電阻區(qū)間的交集作為全局最優(yōu)電阻區(qū)間.

表2 各階共振峰值對電阻的敏感度Table 2 Sensitivity of resonance to resistance peak value

圖7為電阻取8 900Ω時，R-PEM的幅頻特性曲線.從圖中可以看出，電阻型電路對結(jié)構(gòu)的前4階共振均具有較好的抑制效果，即R-PEM具有多模態(tài)振動抑制功能.

圖7 R-PEM振動控制效果Fig.7 Vibration control effect of R-PEM

上述分析基于某一確定點的響應(yīng)，為了研究所得結(jié)論的普適性，下面以各階(前4階)共振響應(yīng)極值點作為分析點，分別計算這些點的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)，在此基礎(chǔ)上分析其對整個板的多階共振抑制效果，本部分仍采用圖4所示的單點激勵方式.通過對壓電網(wǎng)絡(luò)板短路時前4階共振響應(yīng)幅值的計算可以發(fā)現(xiàn)，前4階共振響應(yīng)極值點的個數(shù)分別是 1、2、4 以及 4.

表3顯示了前4階共振響應(yīng)極值點對應(yīng)的最優(yōu)電阻值，其中極值點1至極值點4不代表具體的點，而是表示極值點的序號，不同階的極值點位置也不相同.結(jié)合表1可以看出，對于電阻型壓電網(wǎng)絡(luò)板，同一階不同點計算出的最優(yōu)電阻值相差不大，不同階的最優(yōu)電阻值不相同.下面將以第1階最優(yōu)電阻為例，說明R-PEM最優(yōu)電阻對結(jié)構(gòu)多階共振的抑制效果.圖8為R-PEM振動抑制效果云圖.圖8(a)～圖8(d)分別為當(dāng)系統(tǒng)取第1階最優(yōu)電阻時，壓電網(wǎng)絡(luò)板上各點前4階共振響應(yīng)幅值與壓電網(wǎng)絡(luò)板短路時相比降低值(共振幅值降低值)的云圖.從圖8中可以清楚地看出，由于降低值均為非負值，所以對于整個結(jié)構(gòu)來說，R-PEM均具有多階共振抑制效果.

表3 共振響應(yīng)極值點最優(yōu)電阻Table 3 Optimal resistance to extreme point of resonance response Ω

圖8 R-PEM振動抑制效果云圖Fig.8 Contours of vibration suppression effect of R-PEM

3.2 電感電阻并聯(lián)型電路的多階共振抑制作用分析

LR-PEM的電路中采用了電感和電阻兩種電學(xué)元件.

圖9為LR-PEM的電感及電阻對共振峰值的影響.圖9(a)～圖9(d)分別為LR-PEM的電學(xué)參數(shù)對前4階共振響應(yīng)幅值的影響，從中可以發(fā)現(xiàn)對應(yīng)每一階共振存在不止一個最優(yōu)電學(xué)參數(shù)(對應(yīng)曲面谷值).圖9(a)的曲面具有2個極值點;圖9(b)的曲面具有3個極值點;圖9(c)和圖9(d)的曲面均只有1個極值點.

圖9 電感及電阻對共振峰值的影響(LR-PEM)Fig.9 Influence of inductance and resistance on resonance peak value(LR-PEM)

表4為各階共振對應(yīng)的所有局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù).下面以第2階共振為例，從能量耗散的角度分析其存在多組局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù)的機理.根據(jù)其最優(yōu)電感從小到大排列，將對應(yīng)第2階共振的3組局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù)依次記作A、B和C.

表4 各階共振對應(yīng)的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)Table 4 Optimal electrical parameters to resonance among different orders

圖10為各階電路系統(tǒng)耗能對比.圖10(a)～圖10(c)顯示了在壓電網(wǎng)絡(luò)板的第2階共振頻率范圍內(nèi)，不同局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù)下各階電路能量消耗的分布情況，各階電路消耗的能量表達式記為，其中:i=1，2，…，γ 為電路中的電阻，為各階電路模態(tài)對應(yīng)的特征值為各階電路響應(yīng)的廣義坐標幅值.由于正方形板存在重頻現(xiàn)象，所以每一階電路的耗能是由同一階固有頻率對應(yīng)的各個電路模態(tài)耗能疊加起來的，比如說第5階電路耗能則是第7階和第8階壓電網(wǎng)絡(luò)模態(tài)耗能的總和.

從圖10中可以看出，這3組最優(yōu)電學(xué)參數(shù)分別使壓電網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)的第2階、第5階以及第6階電路承擔(dān)了大部分消耗結(jié)構(gòu)振動能量的工作，換句話說，合理地選取電學(xué)參數(shù)可使結(jié)構(gòu)系統(tǒng)中第2階振動能量通過不同的電路通道進行耗散，進而達到減振的效果.

圖11展現(xiàn)了四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板機電耦合矩陣各元素的相對大小，其中橫坐標代表前10階壓電網(wǎng)絡(luò)電路模態(tài)，縱坐標代表前10階結(jié)構(gòu)振動模態(tài)，每一個小方塊的顏色冷暖程度代表了不同階次機電耦合系數(shù)的大小.與四邊簡支壓電網(wǎng)絡(luò)板只有對角線元素非零不同，四邊固支板還在不同階次的結(jié)構(gòu)振動模態(tài)和壓電網(wǎng)絡(luò)電路模態(tài)之間存在耦合.

圖10 各階電路系統(tǒng)耗能對比Fig.10 Comparison of energy dissipation in electrical system among different orders

圖11 機電耦合矩陣Fig.11 Electro-mechanical coupling matrix

從圖11中可以看出，第2階結(jié)構(gòu)的振動模態(tài)恰好和第2階、第8階以及第9階電路模態(tài)存在耦合.由于正方形板存在重頻現(xiàn)象，所以結(jié)構(gòu)和電路均只有6階固有頻率.也就是說，第8階和第9階電路模態(tài)分別對應(yīng)第5階和第6階電路固有頻率.換句話說，第2階結(jié)構(gòu)固有頻率下的機械振動分別與第2階、第5階和第6階電路固有頻率下的壓電網(wǎng)絡(luò)存在耦合.并且其機電耦合系數(shù)是第2階最大，第5階最小.這也對應(yīng)著局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù)A的共振抑制效果最好，B的共振抑制效果最差.

結(jié)合表3還可以看出，耦合的電路階次越高，其需要的電感也越高，換句話說，對于高階振動，如果其與低階次的電路模態(tài)存在耦合，其對應(yīng)的電感值就越低，而低電感在工程上更容易實現(xiàn)，因此對于結(jié)構(gòu)的高階共振，可以選擇與低階電路耦合對應(yīng)的局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù)以進一步降低電感值.

由此得出結(jié)論，對于四邊固支的LR-PEM來說，各階共振存在多個局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù)的機理在于其結(jié)構(gòu)振動模態(tài)和多階電路模態(tài)存在耦合，并且耦合值越高，其對應(yīng)的共振抑制效果就越好.不同的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)的選取意味著使該階共振與不同電路模態(tài)的耦合達到最大.

在以下的分析中，稱結(jié)構(gòu)和電路同階模態(tài)對應(yīng)的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)為主最優(yōu)電學(xué)參數(shù)，非同階模態(tài)對應(yīng)的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)稱為次最優(yōu)電學(xué)參數(shù).分析表明，主最優(yōu)電學(xué)參數(shù)對其他階的共振抑制效果明顯強于次最優(yōu)電學(xué)參數(shù).因此本文后面的分析均取各階的主最優(yōu)電學(xué)參數(shù)作為LR-PEM的最優(yōu)電學(xué)參數(shù).

根據(jù)第3.1節(jié)關(guān)于敏感因子的定義，表5顯示了當(dāng)Δw=5%wmin時，LR-PEM各階最優(yōu)電學(xué)參數(shù)的敏感因子.從中可以看出，相對電阻來說，共振峰值對電感更加敏感，并且各階最優(yōu)電感會隨著共振頻率的增加而降低.

表5 各階最優(yōu)電學(xué)參數(shù)的敏感性Table 5 Sensitivity of optimal elecrical parameters of different orders

圖12為LR-PEM振動控制效果.圖12(a)～圖12(d)分別顯示了不同階最優(yōu)電學(xué)參數(shù)控制下的壓電網(wǎng)絡(luò)板幅頻特性曲線.從中可以看出，LR-PEM同樣具有多階共振抑制效果，但是設(shè)計點的共振抑制效果明顯要比其他階更好，這是因為電感可以調(diào)節(jié)電路模態(tài)的固有頻率，在設(shè)計點的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)下，對應(yīng)階數(shù)的電路模態(tài)固有頻率與結(jié)構(gòu)振動固有頻率最匹配，使得二者之間的機電轉(zhuǎn)換效率最高，結(jié)構(gòu)振動能量會很快轉(zhuǎn)換到電路中消耗掉，進而降低響應(yīng)幅值，而其他階電路和結(jié)構(gòu)模態(tài)由于頻率匹配程度較差，機電轉(zhuǎn)換效率較低，因而振動控制效果較差.

同樣為了研究所得結(jié)論的普適性，分析整個板的多階共振抑制效果，這里沿用R-PEM在該部分的分析方法.表6顯示了前4階共振響應(yīng)極值點對應(yīng)的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)值，其中極值點1至極值點4代表的意義與表2相同，將各個極值點計算出的平均值作為整個板的最優(yōu)電學(xué)參數(shù).結(jié)合表5可以看出，對于LR-PEM，同一階不同點計算出的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)值不相同，不同階的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)也不同.

以第3階最優(yōu)電學(xué)參數(shù)為例，說明LR-PEM的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)對結(jié)構(gòu)多階共振的抑制效果.圖13為LR-PEM振動抑制效果云圖.圖13(a)～圖13(d)分別為當(dāng)電路取第3階最優(yōu)電學(xué)參數(shù)時，壓電網(wǎng)絡(luò)板上各點前4階共振響應(yīng)幅值與壓電網(wǎng)絡(luò)板短路時相比降低值的云圖.從圖13中可以清楚地看出，由于降低值均為非負值，所以對于整個板來說，LR-PEM均具有多階共振抑制效果.

圖12 LR-PEM振動控制效果Fig.12 Vibration control effectiveness of LR-PEM

表6 共振響應(yīng)極值點最優(yōu)電阻和電感Table 6 Optimal resistance and inductance to extreme points of resonance response

3.3 R-PEM與LR-PEM多階共振抑制效果對比

圖14為各類最優(yōu)電學(xué)參數(shù)對共振峰值的影響.圖14(a)～圖14(d)依次為LR-PEM的各階最優(yōu)電學(xué)參數(shù)對前4階共振的抑制效果，并與R-PEM以及當(dāng)各電路短路時的壓電網(wǎng)絡(luò)板進行了比較.從中可以看出，R-PEM與 LR-PEM均可以對各階共振進行有效抑制.對于設(shè)計頻率點，LR-PEM可以達到比R-PEM更好的振動抑制效果，但是對于遠離設(shè)計頻率點的共振來說，LR-PEM的振動控制效果可能會比R-PEM還差，并且距離設(shè)計頻率越遠，LR-PEM的控制效果越差.

圖13 LR-PEM振動抑制效果云圖Fig.13 Contour of vibration suppression effect(LR-PEM)

圖14 各類最優(yōu)電學(xué)參數(shù)對共振峰值的影響的比較Fig.14 Comparison among influence of optimal circuit parameters on resonance peak value

4 結(jié)論

本文以四邊固支板橫向自由振動的解函數(shù)為模態(tài)坐標，求解了壓電網(wǎng)絡(luò)板的機電耦合動力學(xué)方程，得到了其在簡諧激勵下的頻響函數(shù)表達式，并在此基礎(chǔ)上分析了四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板的多階共振抑制效果.該求解方法還可以推廣至其他邊界條件的情況.對于四邊固支壓電網(wǎng)絡(luò)板，本文主要得到:

1)R-PEM和LR-PEM對整個壓電網(wǎng)絡(luò)板均具有多階共振抑制效果.LR-PEM在設(shè)計頻率點附近比R-PEM的共振抑制效果要好，但是對于遠離設(shè)計頻率點的共振來說，其控制效果會變差，有時甚至沒有R-PEM的效果好.

2)R-PEM各階最優(yōu)電阻與共振頻率有關(guān)，但是其控制效果對電阻不敏感，根據(jù)實際工程的需要，可以找到一個全局最優(yōu)電阻區(qū)間，使得該區(qū)間內(nèi)的電阻對各階模態(tài)均具有理想的共振抑制效果.

3)與四邊簡支邊界條件不同，四邊固支的LR-PEM具有多組局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù)，每一組參數(shù)都對應(yīng)著與結(jié)構(gòu)具有較強耦合能力的某一階電路模態(tài)，并且主要通過該階電路消耗能量以達到共振抑制效果.對于結(jié)構(gòu)和電路同階耦合的最優(yōu)電學(xué)參數(shù)來說，此時的最優(yōu)電阻與共振頻率有關(guān)，最優(yōu)電感隨共振頻率增加而降低，與電阻相比，壓電網(wǎng)絡(luò)板的振動控制效果對電感更加敏感.

4)對于LR-PEM，在抑制結(jié)構(gòu)的高階共振時，可以選擇與低階電路模態(tài)存在較強耦合的局部最優(yōu)電學(xué)參數(shù)以進一步降低需要的電感值.

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