1維光子晶體的能帶結構分析

張志新，肖 峻

(電子科技大學光電信息學院，成都610054)

引 言

1987年，YABLONOVITCH在討論如何抑制自發輻射［1］與JOHN在討論光子局域［2］時各自提出了光子晶體(photonic crystal，PC)的概念。光子晶體是指一種介電常數呈周期性分布的人工電介質結構。它能夠調制光子的傳輸模式，使光波色散特性出現帶隙結構，出現類似半導體禁帶的“光子禁帶”(photonic band gap，PBG)。頻率落在禁帶中的電磁波被嚴格禁止傳播，而頻率處于禁帶之外的光可以順利通過，這使得光子晶體可實現對光子的操縱，為開發各種光子器件奠定了基礎［3-7］。

1維光子晶體是由介電常數不同的兩種介質交互重疊，周期排列而成的一種人工微結構。按照其定義可知，周期數、介質層折射率、介質層厚度是1維光子晶體最主要的結構參量，其變化對1維光子晶體的能帶結構有不同的影響［8-10］。

1 1維光子晶體結構及矩陣傳輸理論

1維光子晶體的結構模型如圖1所示。

Fig.1 Model of 1-D photonic crystal(ab)N

1維光子晶體由兩種介電常數不同的電介質交互重疊，周期排列構成。其結構參量如下:周期數m(共有N=2m層介質);介質層折射率na和nb;介質層厚度da和db。

根據矩陣傳輸理論，入射場矢量［E0H0］與最終出射場矢量［EN+1HN+1］之間的關系式為:

其中，

式中，λ0是入射光在真空中的波長，ω為入射光頻率，c≈3.0×108m/s為真空中的光速，ε0=8.8542×10-12F·m-1是真空中的介電常數，μ0=4π×10-7H·m-1是真空中的磁導率，n是介質折射率，d是介質層厚度，θ是光線在介質層中的入射角度。下標j取值為整數，取值范圍為0≤j≤N+1，j=0表示入射介質對應的參量;j=N+1表示出射介質對應的參量;1≤j≤N表示第j層介質對應的參量［11］。

1維光子晶體的透射系數:

式中，Et和Ei分別表示透射電場強度和入射電場強度。1維光子晶體的透射率為:

2 1維光子晶體能帶結構計算仿真及分析

以圖1所示的1維光子晶體模型為研究對象，假設光子晶體置于空氣中(n0=1)，且光線正入射(θ0=0)，光子晶體中心波長θ0=1550nm。由(3)式可知，在正入射條件下，橫電波(transverse electronic wave，TE)與橫磁波(transverse magnetic wave，TM)偏振波在光子晶體中具有相同的傳輸特性。

2．1 1維光子晶體周期數對其能帶結構的影響

固定參量為 na=1.2，nb=3，nada=nbdb= λ0/4;改變1維光子晶體的周期數，對其能帶結構進行仿真分析。

不同周期數的1維光子晶體的能帶結構如圖2所示。

Fig.2 Comparison of energy band structure of 1-D photonic crystal with different cycle numbera—m=3 b—m=10 c—m=30 d—m=80

從圖中可以看出，周期數的改變不會影響1維光子晶體的能帶分布，其能帶位置與寬度不會改變;但隨著周期數的增大，禁帶邊緣越加陡峭，通帶透射特性增強，1維光子晶體的能帶分布越清晰。

2．2 介質層厚度對其能帶結構的影響

固定參量為na=1.2，nb=3，m=30;改變1維光子晶體的介質層厚度，對其能帶結構進行仿真分析。

設介質層a與介質層b的光學厚度分別為nada=Xaλ0/4，nbdb=Xbλ0/4，取不同的 Xa和 Xb，1 維光子晶體的能帶結構仿真如圖3所示。

Fig.3 Comparison of energy band structure of 1-D photonic crystal with different dielectric layer thicknessa—Xa=1，Xb=1 b—Xa=2，Xb=2 c—Xa=2.5，Xb=1.5 d—Xa=1.3333，Xb=2

從圖中可以看出，不同的介質層厚度對1維光子晶體能帶結構的分布有重要影響。對介質層光學厚度為 nada=Xaλ0/4，nbdb=Xbλ0/4 的1 維光子晶體，其能帶中心頻率如下:

式中，ω0=2πc/λ0為光子晶體中心頻率，j為大于0的整數。特別地，當 ω=2ω0/Xmin(Xmin為 Xa和 Xb中較小的值)的整數倍時，為通帶中心頻率。

此外，由于介質層厚度對能帶分布的影響，對能帶寬度也會造成一定影響。一般情況下，nada=nbdb=Xλ0/4，此時，禁帶與通帶寬度之和(即周期寬度)為2ω0/X(此處，X=Xa=Xb)，顯然，隨著 X 的增大，周期寬度將減小，禁帶寬度與通帶寬度也隨之減小。

總之，改變1維光子晶體的介質層厚度可以改變其能帶分布情況，調節禁帶與通帶的位置以及寬度，可以用于制作各種寬帶濾波器件。

2．3 介質層折射率對其能帶結構的影響

固定參量為m=30，nada=nbdb=λ0/4;改變1維光子晶體的介質層折射率，對其能帶結構進行仿真分析。取不同的介質層折射率na和nb，光子晶體的能帶結構仿真結果如圖4所示。

Fig.4 Comparison of energy band structure of 1-D photonic crystal with different refractive indicesa—na=1.2，nb=3 b—na=1.8，nb=4.5 c—na=2，nb=3 d—na=3，nb=2

Fig.5 Ralationship between band gap width and refractive index ratio

從圖中可以看出，介質層折射率的變化，對1維光子晶體的能帶寬度有重要影響:(1)介質層折射率比值相等時，1維光子晶體的能帶寬度不變;(2)1維光子晶體的禁帶寬度隨著介質層折射率比值的增大而增大;(3)介質層折射率的變化不影響能帶分布情況，即禁帶與通帶的中心頻率不隨介質層折射率的變化而變化，所以能帶的周期寬度不變。

3 結論

對普通的1維光子晶體而言，周期數、介質層厚度、介質層折射率是其主要的結構特性參量，這些參量的改變直接影響其能帶結構。

(1)周期數的改變，不會影響1維光子晶體能帶的分布情況及能帶寬度，但是較大的周期數可以使禁帶與通帶交界處更加陡峭，通帶透射特性增強，能帶分布更加分明。

(2)介質層厚度的改變，直接影響1維光子晶體的能帶分布情況，即禁帶與通帶的中心頻率。

(3)介質層折射率的改變，特別是折射率比值的變化，直接影響1維光子晶體的能帶寬度分布，在折射率比值大于1時，隨著折射率比值增大，禁帶寬度在周期寬度中所占比例逐漸增大。

掌握了1維光子晶體的能帶結構隨其結構參量的變化規律，對濾波器等1維光子晶體器件的設計提供了參考。

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