OCDMA系統中新型正交碼的設計及性能研究

楊夢婕，李傳起，陸 葉，羅德俊，張東闖，孔一卜

(廣西師范大學電子工程學院，桂林541004)

引 言

光正交碼(optical orthogonal code，OOC)是一組自相關及互相關性都很好的“0，1”序列［1］。在光碼分多址(optical code division multiple access，OCDMA)系統中，光地址碼序列的最佳選擇是光正交碼，因此光正交碼是目前地址碼研究領域的重點［2-4］。構造OOC的算法有直接構造法、有限幾何法以及區組設計法等［5-7］，每種方法都很復雜。本文中利用設計出不重復的全間隔集得到互相關和自相關都為1的正交碼。

該正交碼能夠根據實際用戶數和碼重而得出對應的碼長，對于其它方法構造的正交碼，在特定碼重下只有固定容量的地址碼，比如碼重為3的正交碼只有3個，而本文中構造的正交碼，無論碼重為多少的正交碼個數都可以根據實際用戶數而定，不局限特定的容量。雖然在固定的碼重下，所設計出的地址碼碼長也會隨著所需用戶數的增大而增大，但可以彌補普通正交碼特定碼重情況下的碼字容量過小的缺陷。

1 正交碼的設計

一個地址碼族可以表示為(L，w，λa，λc)，其中 L表示地址碼長度，w表示碼重，λa表示自相關限，λc表示互相關限。對于正交碼，λa=λc=1［1］。一個地址碼可以用(x1，x2，…，xw)表示，其中 xi表示第 i(i=1，2，…，w)個“1”在地址碼中的位置。一個地址碼有鄰1間隔集、鄰2間隔集……鄰w-1間隔集，鄰j間隔集表示地址碼“0，1”序列中隔著 j個“1”的兩個“1”之間的距離，所有w-1個間隔集構成了這個地址碼的全間隔集。一個地址碼的全間隔集中沒有相同的數字，則這個地址碼的自相關為1;一個地址碼的全間隔集中沒有數字與另一個地址碼的全間隔集中的數字相等，則這兩個地址碼的互相關為1;一個地址碼族中所有地址碼的全間隔集中都沒有重復的數字，則這個地址碼族的自相關限和互相關限為1;利用地址碼間隔集的這個特點，構造出沒有重復數字的間隔集，而得出整個地址碼族。

一個地址碼的鄰 j間隔集可以表示為(y1，j，y2，j，…，yw，j)，鄰j間隔集中的數字滿足以下關系:

式中，⊕w表示計算結果對 w 取余;i=1，2，…，w。yi，1為鄰1間隔集中的第i個元素，與地址碼序列的關系為:

根據以上關系將正交碼族中所有地址碼的全間隔集分為鄰1間隔集A以及除A以外的部分B，B由w-2 個矩陣Bn(n=1，2，…，w-2)構成，A 和 Bn可以用公式表示為:

式中，矩陣A和Bn中的值具有如下關系:

A中的1行表示一個地址碼的鄰1間隔集，N表示該地址碼族的容量，aij表示A中第i行j列的數字(i=1，2，…，N;j=1，2，…，w)，bi′j′，n表示矩陣 Bn中第i′行 j′列的數字(i′=1，2，…，N;j′=1，2，…，n)，其中i=i′，n=j-1。矩陣A 中的數字aij和矩陣Bn中的數字bi′j′，n同時利用(4)式、(5)式可求得，并同時滿足如下條件:在B中沒有值與aij相同，且B中沒有重復的數字(以下簡稱條件a)。當j從1到w-1時的具體計算方法如下:(1)j=1:由(4)式可得ai1=i，其中i=1，2，…，N;(2)j=2:i=1 時，a12=aN1+1，b11，1=a11+a12;i=2，3，…，N 時，ai2=a(i-1)2+1，bi1，1=ai1+ai2，判斷是否滿足條件a，將ai2+1直到滿足為止;(3)j=3:i=1 時，a13=aN2+1，b11，2=a12+a13，將 a13+1 直到滿足條件 a;i=2，3，…，N 時，ai3=a(i-1)3+1，bi1，2=ai1+ai2，bi2，2=ai1+ai2+ai3，判斷是否滿足條件 a，將 ai3+1直到滿足條件;(4)j=k(k=4，5，…，w-1):i=1 時，a1k=aN(k-1)+1，b11，k-1=a1(k-1)+a1k，將 a1k加 1 直到滿足條件 a;i=2，3，…，N 時，aik=a(i-1)k+1，bi1，k-1=ai(k-1)+aik，bi2，k-1=ai(k-2)+ai(k-1)+aik，…，bi(k-1)，k-1=ai1+ai2+…+aik。判斷是否滿足條件a，將aik+1直到滿足條件。

通過以上的計算方法，可以得到所有地址碼的鄰1間隔集A，再利用(2)式可以得到該正交碼族。為了便于得到較多的地址碼，利用MATLAB編程，輸入所需的碼重和地址碼容量后，可以得到該正交碼族，如在MATLAB中給定碼重5，容量10后得到的碼長為264的正交碼族，如表1所示。

Table 1 The OOCs with code length 264，code weight 5 and capacity 10

2 誤比特率性能的分析

在實際的系統中，不僅僅只存在多用戶干擾，還存在如暗電流噪聲、激光器消光比影響、背景光噪聲、熱噪聲、散粒噪聲等這些因素［8-10］，使得實際情況下的誤比特率(bit error rate，BER)比只考慮多址干擾情況下的誤比特率大，因此從理論上分析存在這些噪聲時，系統的誤比特率。

在雪崩光電檢測器(avalanche photo detector，APD)中，由信號、背景光、APD體漏電流引起的總光子吸收率［11］根據用戶發送的比特b分為兩種情況:

式中，λs為用戶發送脈沖所對應的光子吸收率，λs=ηPr/(hf)(Pr為接收的光功率，η為APD的量子效率，h為普朗克常量，f為光頻率)，λb為實際中背景光所引起的光子吸收率，e為電子電荷，Ib為體漏電流，Ib，1是b=1時Ib的值，Ib，1/e表示APD體漏電流在輸出端的值，Me為消光比。

對于碼重為w的正交碼攜帶的光信號在經過相關器進行運算時，僅在信號的w個片時隙有光子通過，余下的L-w個片時隙沒有光子通過。對于同步用戶總數為K時，K個用戶輸出的“0”或“1”的總數為Kw。當用戶發送比特b=1時，有w+I個信號以λs到達，I表示其他用戶對該用戶的干擾，有Kw-(w+I)個空信號以λs/Me到達。而背景光、APD體漏電流、表面漏電流、熱噪聲在每個片時隙都存在。因此接收端的累加輸出y的條件概率密度函數為:

式中，G為APD的平均雪崩增益，IAPD為APD的表面漏電流，Fn為過剩噪聲系數，Fn=keffG+(2-G-1)×(1-keff)，keff為APD 的有效電離率，σth2為熱噪聲方差，σth2=22kBTrTe-2R-1，kB為玻爾茲曼常數，Tr為接收機的噪聲溫度，R為接收機的負載電阻。

當用戶發送信號比特0時，I個脈沖以λs入射光子到達率到達，Kw-I個空脈沖以λs/Me入射光子到達率達到，其它噪聲對于每個片時隙都存在。因此，接收端累計輸出y的條件概率密度為:

當用戶發送比特b=0時，累計輸出y大于判決門限，使得輸出1而產生誤碼。當用戶發送比特b=1時，累計輸出y小于判決門限，使得輸出0而產生誤碼。因此，系統誤比特率定義為:

設實際用戶發送的比特0和1的概率相同，得到P(b=0)=P(b=1)=，由(7)式和(10)式，(14)式

可具體表示為:

將表1中的系統參量值帶入誤比特率公式中，繪制出誤比特率隨著同步用戶數變化曲線，如圖1所示。

Table 2 System parameters

圖1為誤比特率隨著同步用戶數變化曲線，由圖中可以看出，誤比特率隨著同步用戶數的增大而增大，隨著碼重的增大而降低。由于本文中設計的正交碼的碼長是根據實際情況中的用戶數和用戶對誤比特率需求而定的碼重二者共同決定的，因此繪制出碼長與碼重和碼字容量的關系圖，如圖2所示。從圖2中可以看出，碼長隨著碼重成二次函數遞增，隨著碼字容量成一次函數遞增。因此對于本文中構造的正交碼，碼重對碼長的影響較大。由(13)式可以看出，誤比特率的主要來源多址干擾隨著碼長的變長而變小，因此相對于碼字容量而言，作者設計的正交碼的誤比特率與碼重的關系更為密切。

Fig.1 BER versus the number of simultaneous users with code weight 5，7，9

Fig.2 Code length versus the code weight and code capacity

3 系統仿真

對于1維OCDMA系統的編解碼，分為時域上的編解碼和譜域上的編解碼。時域編解碼通常采用光纖延時線，譜域編解碼通常采用光纖布喇格光柵(fiber Bragg grating，FBG)［12-14］。因光纖延時線能夠更好地表現出地址碼的優良性能，因此將采用光纖延時線對用戶進行編解碼。

通過OptiSys軟件，采用本文中設計的正交碼的二用戶異步OCDMA系統的仿真如圖3所示。采用波長為1550nm的脈沖激光作為光源。光纖延時線作為編解碼器，在編解碼器前加入延時來控制兩用戶的異步。并采用摻鉺光纖放大器(erbium doped fibre amplifier，EDFA)對傳輸信號進行放大。

Fig.3 Simulation of the asynchronous OCDMA system

Fig.4 Eye diagram of user 1

Fig.5 Eye diagram of user 2

兩個用戶分配到碼長 L=27、碼重w=4，分別為(0，1，4，10)和(0，2，7，15)的地址碼。用戶速率為10Gbit/s，根據用戶速率采用的單位延時為0.15ns，每個用戶用4個光纖延時作為編解碼器。則地址碼為(0，1，4，10)的用戶1 的4 個延時線分別延時 0.15ns，0.45ns，0.9ns，2.55ns。地址碼為(0，2，7，15)的用戶 2的 4 個延時線分別延時 0.3ns，0.75ns，1.2ns，1.8ns。圖4和圖5為用戶最終的眼圖。系統中的功率放大器只是起到增大信號功率的作用，彌補信號的削弱。由于光纖延時線是采用功率累加的方法對用戶信號進行編解碼的，因此必然存在低功率的信號干擾。從眼圖中也可以很明顯地看出，在眼圖下方存在較低的信號，光硬限幅器器能夠很好地去除這些低功率的干擾信號，但在未采用光硬限幅器的情況下，眼圖效果就已經較為良好，能夠很好地識別出有用信號。

4 結論

設計出了一種新的光正交碼，該正交碼的碼長根據實際需要的碼重和用戶容量而定，且碼長與碼重的關系較為密切。在特定碼重的情況下，可以根據實際中的用戶容量來確定碼長，使得該正交碼能夠適應各種情況。分析存在各種噪聲以及多址干擾的實際情況，根據該正交碼的特性推導出誤比特率公式，誤比特率呈現隨著碼重的增大而減小的趨勢。設計并搭建了異步OCDMA系統，在不加入光硬限幅器的情況下就能得出較好的眼圖。

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