量子密鑰分配系統中非線性偏振耦合的研究

董穎娣，彭進業

(1.西北工業大學電子信息學院，西安710072;2.西安建筑科技大學信息與控制工程學院，西安710055)

引 言

自1984年量子密鑰分發協議的提出及1992年量子密鑰分發演示實驗成功［1-2］以來，量子密鑰分發系統已經從實驗研究發展到商業應用［3］階段，其相關的技術也相繼成熟，但相位補償技術和偏振控制技術［4］仍然是影響密鑰分發系統性能的關鍵。

在量子密鑰系統中，量子態以兩個垂直的線偏振模的形式在光纖中傳輸，光纖傳輸性能影響系統的穩定性和安全性［5-7］。1986 年，WINFUL［8］指出了由于非線性耦合，將導致連續光偏振不穩定。MARCUSE等人研究了具有隨機雙折射的非線性偏振模色散，并將非線性耦合薛定諤方程轉換為馬爾科夫偏振模色散方程［9-10］。量子密鑰系統中兩偏振模耦合率下降即非線性偏振旋轉會引起量子態偏振度隨機抖動［11］，從而使穩定的量子密鑰分發變得困難，限制了偏振編碼方案在量子保密通信中的應用和發展，以非線性耦合薛定諤方程分析兩偏振模耦合率問題，并沒有開展研究和討論。本文中分析了非線性偏振耦合對連續變量量子密鑰分發(quantum key distribution，QKD)系統的影響，并提出了以非線性偏振耦合反饋控制技術改善系統性能，并給出了實驗方案。

作者以非線性薛定諤方程闡述了光纖非線性偏振耦合;在非線性偏振耦合條件下分析連續變量量子密鑰分配系統中的性能;采用香農信息論分析了合法通信雙方之間的互信息;給出了非線性偏振耦合反饋的控制理論算法和實驗方案。

1 原理和模型

近年來，量子密鑰分配系統向高速化、實用化方向發展，對于速率在100Gbit/s以上的量子密鑰分配實用系統，偏振復用［12］是系統關鍵。由于非線性偏振耦合使兩個偏振方向獨立的調制信號偏振復用后抖動增加，非線性偏振耦合過程采用光纖的非線性薛定諤方程［13］描述:

式中，A為復振幅，z為傳輸距離，β為傳輸常數，T0為脈沖寬度，τ1為傳輸時間，α為光纖損耗系數，γ為光纖非線性系數，G為2×2耦合矩陣，其決定光纖內的非線性旋轉，計算公式如下所示:

式中，Ax，Ay分別為量子信號和本振信號的復振幅，Δφ為兩者相位差。在量子密鑰分配系統中，兩路參與信號是不斷變化的，當本振信號與量子信號由于非線性偏振旋轉發生變化時，即造成偏振復用信號抖動增加，從而影響使密鑰分發系統的傳輸性能下降。

1．1 量子密鑰系統的非線性偏振旋轉分析

量子密鑰分發系統偏振復用過程如圖1所示。量子密鑰系統的兩路信號，量子信號和本振信號，在進入光纖前進行偏振復用，形成偏振態垂直的復用信號，在普通低雙折射的單模光纖中，只考慮非線性偏振效應而忽略本征色散影響(假定本征色散已經被補償)時，光纖中的圓偏振態將保持不變，僅產生相移。

Fig.1 Principle scheme of polarization multiplexing in a quantum key distribution system(LD:laser device;PBS:polarization beam splitter;BS:beam splitter;PD:pilot detector)

在偏振分束器PBS1處，相互垂直的線偏振光與圓偏振態之間的關系為:

式中，˙A+(τ，z)，˙A-(τ，z)分別表示兩個圓偏振光的復振幅向量，˙S(τ，z)，˙L(τ，z)分別表示量子密鑰分配系統的線偏振態的信號光和本振光。圓偏振態傳輸距離至PBS2處，其偏振態保持不變，其非線性偏振旋轉產生復振幅相位與光纖非線性之間關系［14］可用下式來描述:

(2)細煤泥系統處理能力不足。煤質較好時，壓濾機一個壓濾循環周期需11 min，5臺壓濾機處理能力105 t/h；煤質差時，泥化現象嚴重，小于320目粒級物料高達67.25%，煤泥沉降極慢，壓濾機一個壓濾循環周期需23 min以上，6臺壓濾機處理能力只有60 t/h，而且濾餅水分較高。按年入洗500萬t原煤計算，每小時需處理的細煤泥量為109 t，所以壓濾機處理能力明顯不足，這是洗水濃度居高不下的主要原因。

經過推導后，在PBS2信號與PBS1處信號之間的關系用偏振矩陣描述，如下式所示:

1．2 量子密鑰系統的非線性偏振旋轉分析

量子密鑰分配系統偏振復用信號經過光纖長距離傳輸后，因光纖非線性作用，其偏振方向與分束器的偏振方向發生分離，如圖2所示。

由于光纖的非線性效應影響，本振光偏振態與水平軸產生了角度為θ(τ)的偏轉。根據馬呂斯定律，通過偏振分束器后，本振光在水平方向的強度分量為ILO×cos2θ(τ)，信號光在垂直方向的偏振分量為 IQSsin2θ(τ)。根據偏振失配原理，本振光在垂直方向的分量大小即為引起系統誤比特率的附加噪聲。當信源符號為X、輸出Y為高斯分布時，通信雙方之間互信息量可用香農定理描述。在此定義帶寬 B=1Mbit，σx2/n0

Fig.2 Sketch diagram of nonlinear polarization after rotating(ILO:optical field of local oscillator;IQS:optical field of quantum signal)

2為量子信號的信噪比和分別量子信號及高斯噪聲的概率密度分布函數方差。當非線性偏振旋轉角為θ(τ)時，信源分布函數為 X-N(0，σx2cos2θ(τ))，噪聲分布函數為 Y-N(0，n02(1+sin2θ(τ)))，由此可知傳輸系統的非線性偏振旋轉后密鑰分配系統信息容量為:

由于非線性偏轉旋轉角θ(τ)使系統互信息量下降程度如圖3所示。

Fig.3 Relationship between nonlinear polarization rotating angle θ(τ)and transmission capacity C

在此設計傳輸光纖長度為20km條件下，光纖非線性系數為2.2/km、損耗系數為0.2dB/km時，本振光與信號光的初始相位差π/2、本振光與信號光比值為9∶1、信號服從均值為0、方差為20的高斯分布，量子密鑰分配系統的信道傳輸率與非線性偏振旋轉角之間關系如圖3所示，信噪比1(RSRN，1)設置為9，信噪比2(RSRN，2)設置為4，由圖3可知，隨著非線性偏振旋轉角θ(τ)逐漸增加，傳輸信道的信息容量C下降，當非線性偏振旋轉角增至1.58左右時，傳輸容量下降為0。

由此可見，在量子密鑰分配系統由于非線性偏振旋轉角增加了信道的偏振抖動程度，從而引起量子密鑰系統信息容量下降;抖動越劇烈，系統傳輸效率越低，這一問題成為制約量子密鑰系統穩定工作的瓶頸。

2 非線性偏振耦合反饋控制技術方案

2．1 非線性偏振耦合反饋控制的理論分析

以最大似然估計法計算非線性偏振耦合的均值〈θ(τ)〉:

其補償角大小Δθ(τ)為:

式中，m采樣時間的極值，τ為系統采樣時間內采樣參量。經過反饋補償后系統接收端偏振控制器的傳輸矩陣可以描述為:

接收端量子偏振態為:

由(9)式可知，通過反饋補償后量子密鑰分配系統的信息容量為:

與圖3相同條件下，仿真結果如圖4所示，經過反饋補償后，非線性偏振耦合值變化范圍逐漸縮小至0～0.8，說明量子密鑰分配系統中量子態的抖動幅值下降，信道傳輸容量變化量逐漸變小，以信噪比1為例，經過非線性偏振反饋補償后，隨著修正后的非線性偏振旋轉角Δθ(τ)增加，傳輸容量C1由1.62下降至1.00，下降的抖動程度小于沒有補償的系統的傳輸性能，且系統的傳輸容量比沒有進行反饋補償條件下提高了61%。

Fig.4 Relationship between nonlinear polarization rotating angle Δθ(τ)and transmission capacity C1after amendment

2．2 非線性偏振反饋矯正的實驗方案分析

量子密鑰系統非線性偏振反饋控制如圖5所示，其中反饋控制部分用分束器將本振光按照50∶50比例分束，經檢測器轉化為電流，計算得到其幅值大小為(幅值通過計算的機采樣獲取)，計算采樣點的均值，將計算均值作為矯正依據，對系統的非線性偏振耦合偏振角進行及時矯正，以改善系統的穩定性。

Fig.5 Sketch diagram of feedback control of nonlinear polarization in quantum key distribution(FM:Faraday mirror;DC:dynamic controller;DPC:dynamic polarization controler)

反饋控制的具體實施過程通過以下兩個階段完成。

2.2.1 分光檢測階段 量子密鑰分發的接收方將量子信號通過偏振分束器，根據光的偏振理論及偏振耦合器的性質，如果偏振無漂移，那么本振光將會和信號光完全分開。在存在偏振漂移的情況下，本振光會泄露一部分光到信號光端，使得本振光自身的能量降低，通過分出一部分本振光來進行檢測，可以得知偏振漂移程度。在偏振匹配的情況下，本振光的強度達到最大。此時即為無偏振的狀態。在此電流檢測之前需要直流轉換器將其轉化為直流信號，并將其放大，以保證檢測準確性。

2.2.2 非線性偏振矯正階段 反饋控制電路將輸出的直流電壓反饋給接收方的動態偏振控制器內的單片機，單片機對反饋電壓進行采樣，并通過下述反饋控制算法來持續調節動態控制器，使得直流反饋電壓最大。動態控制器［15］通過改變其內部的4個光纖擠壓器上的電壓 V1，V2，V3，V4對偏振復用信號的偏振態進行控制，電壓調節范圍從-12V到+12V之間。光的偏振態用邦加球上的點來描述，斯托克斯參量S1，S2，S3對應著邦加球相應的坐標軸。倘若改變電壓V1或V3，則偏振態會在邦加球上以S1為中心轉動;改變電壓V2或V4，則偏振態會在邦加球上以S2為中心轉動。基于以上討論，偏振反饋算法的具體流程如下:(1)動態偏振控制器的單片機對直流反饋電壓采樣并記錄數據;(2)4個控制電壓都置為0V，選擇第1個控制電壓;(3)根據均值電流大小增加電壓，此時偏振態會在邦加球上繞著對的矢量軸做順時針轉動，采集直流反饋電壓，如果電壓已經達到了+12V，進入步驟(7);(4)根據均值電流大小增加電壓，此時偏振態會在邦加球上繞著對應的量軸做順時針轉動，采集直流反饋電壓，如果電壓已經達到了+12V，進入步驟(7);(5)根據均值電流大小減小電壓，此時偏振態會在邦加球上繞著對應矢量軸做逆時針轉動，采集直流反饋電壓，如果電壓已經達到了-12V，進入步驟(7);(6)如果直流反饋電壓增大，那么繼續步驟(5)否則，進入步驟(7);(7)選擇下一個電壓控制器，繼續步驟(3)。

可以將直流反饋電壓一直保持在一個最大值的狀態。根據以上分析，這時對應的本振光的強度最強，本振光沒有發生泄漏，偏振復用信號與偏振分束器之間沒有偏振旋轉，信號光與本振光之間的非線性偏振效應可以得到相應的改善。

3 結論

偏振編碼方案在量子保密通信中有著廣泛的應用，非線性偏振耦合將引起偏振復用信號的偏振抖動增加，從而降低了量子密鑰分配系統的安全性和穩定性。量子密鑰系統非線性偏振耦合導致偏振復用信道抖動增加，將偏振控制的思想運用于量子密鑰分發系統的非線性偏振耦合，通過對非線性偏振偏移量監測提供反饋電壓，補償了由于偏振隨機抖動引起的偏振漂移。數值仿真表明，系統經過反饋后，量子態偏振抖動度下降，量子密鑰分配系統的傳輸效率增強，系統穩定性得以改善，從而實現了基于偏振編碼的長距離高穩定性的量子密鑰分發實驗。

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