s-弱擬正規與有限群的p-冪零性*

孫 楊，錢方生

(哈爾濱師范大學)

0 引言

眾所周知，冪零群是一類重要的群．近年來，國內外的許多學者都從事過這方面的研究工作．錢國華和朱天平在文獻［2］中給出了弱擬正規的概念:群G的子群H稱為在G中弱擬正規，若對G的任意子群T，至少存在一個T的共軛子群Tx，其中x∈G，使得HTx=TxH．筆者試圖利用這一概念，探究弱擬正規對有限群的p-冪零性的影響．

該文所涉及的群皆為有限群，π(G)表示能整除|G|的素數的全體．其余的符號和術語都是標準的．

1 預備知識

定義［2］群G的子群H稱為在G中弱擬正規，若對G的任意子群T，至少存在一個T的共軛子群Tx，其中x∈G，使得HTx=TxH．若進一步限制T∈Syl(G)，則稱H在G中s-弱擬正規．

定義2［5］群G的子群H稱為在G中弱c*-正規，設H≤G，若存在G的次正規子群K，使得G=HK并且H∩K是G的s-擬正規嵌入子群．

引理1［2］若H在G中弱擬正規．則

(1)對于任意的N ＜G，NH在G中弱擬正規，HN/N在G/N中弱擬正規．

(2)對于任意的x∈G，Hx在G中弱擬正規．其中H*={hx=x-1hx|h∈H}是H的共軛子群．

證明 (1)由于H在G中弱擬正規，則對任意的P∈Sylp(G)，存在x∈G，使得HPx=PxH成立．因此

(HN/N)(PxN/N)=HPxN/N=PxHN/N=(PxN/N)(HN/N)．

所以HN/N在G/N中弱擬正規．

(2)由于H在G中弱擬正規，則對任意的P∈Sylp(G)，存在y∈G，使得HPy=PyH成立．故HxPyx=PyxHx．下令g=yx．于是任意的P∈Sylp(G)．存在g∈G，使HxPg成群．所以，Hx在G中弱擬正規．

注:對s-弱擬正規子群，有類似的結論．

引理2［3］設G為有限群，N≤G，K ＜ G．若N的極大子群在G中弱擬正規，則NK/K的極大子群在G/K中是弱擬正規的．

證明 對于任意M/K＜·NK/K．有M=M∩NK=(M∩N)K．設N1＜·N且M∩K≤N1．則N∩K≤N1∩K≤N∩K．即N∩K=N1∩K．故N1K ＜NK．又M=(M∩N)K≤N1K ＜NK．由M ＜·NK，故得M=N1K．由引理1(1)知，M/K=N1K/K在G/K中是弱擬正規的．

引理3［4］設G是p-可解的外p-超可解群，則G=F(G)M，F(G)∩M=1，其中 F(G)為G的唯一極小正規子群，|F(G)|=Pα，α＞1，F(G)為Pα階初等Abel-p群，M為G的p-超可解極大子群．

引理4［6］設U，V，W是群G的子群，則下列條件等價．

(1)U∩VW=(U∩V)(U∩W)

(2)UV∩UW=U(V∩W)

引理5［7］設G是群，N ＜ G，H為G的s-擬正規嵌入子群．則

(1)H≤M≤G，H在M中s-擬正規嵌入．

(2)HN在G中s-擬正規嵌入，HN/N在G/N中s-擬正規嵌入．

(3)H是 G的 s-擬正規 p-子群，則Op(G)≤NG(H)．

(4)若對某個素數p，H≤Op(G)，則H在G中s-擬正規嵌入．

(5)H在G中s-擬正規嵌入且HG=1，則H的Sylow子群在G中s-擬正規．

引理5［10］設G是群，p是G的素因子且(G，p-1)=1，則若N是G的p階正規子群，則N包含于Z(G)．

2 主要結果

定理1 設G是群，p是π(G)中的最小素數．P為G的一個Sylow p-子群．若P的所有極大子群在G中或者是s-弱擬正規，或者是弱c*-正規的．則G為p-冪零的．

證明 假設結論不成立，取G為極小階反例．

(1)G有唯一的極小正規子群H，G/H為p-冪零的．且Φ(G)=1．

(2)Op'(G)=1．

若T=Op'(G)≠1，考慮=G/T．因為G/H為p-冪零的．所以/≌G/HT亦是p-冪零的．其中=HT/T．設=P1T/T＜·PT/T．其中P1＜·P．因為P1在G中或者是s-弱擬正規，或者是弱c*-正規．則可知在中或者是s-弱擬正規，或者是弱c*-正規．由G的極小性知為p-冪零的．所以G也是p-冪零的．矛盾．所以Op'(G)=1．

(3)Op(G)=1且G是非可解的．

若Op(G)≠1．由(1)知，H≤ Op(G)且Φ(Op(G))≤Φ(G)=1．因此G有極大子群K，使得G=HK且H∩K=1．因為Op(G)∩K ＞K，Op(G)∩K ＞H．因此Op(G)∩K ＞G．由H的唯一性有，H=Op(G)．且K為p-冪零的．顯然P=HK=H(P∩K)，P1＜·P．使得(P∩K)≤P1，則P=HP1．由假設，P1在G中或者是s-弱擬正規，或者是弱c*-正規．若P1在G中是s-弱擬正規的，P1Kq≤G，且q≠p．從而P1＜Kq|q≠p＞ =P1Kp'≤ G．由于 |G:P1Kp'|=P，故P1Kp'＞ G．由(1)知H≤P1Kp'，從而H ≤P1．即P=HP1=P1．矛盾．若P1在G中是弱c*-正規的，則存在G的正規子群K1，使得G=P1K1且P1∩K1在G中s-擬正規嵌入．因此P1∩K1≤(P1)G．若(P1)G≠1，則由(2)知，H≤ (P1)G．故 P=HP1=P1．矛盾．則(P1)G=1．從而P1∩K1=1，P∩K1=P．由引理P∩K1∈Sylp(K1)．表明K1的Sylow p-子群為p階循環群．又由于H≤P∩K．當然，H亦是p階循環群．所以G/H為p-冪零的．因為p是π(G)的最小素數，(G，p-1)=1，所以由引理6知，有H≤Z(G)．所以G/Z(G)≤G/H，故G/Z(G)是p-冪零的．又由G的選取可知，G是p-冪零的．矛盾．因此Op(G)=1．結合(2)知，為非可解的．

(4)P的所有極大子群均在G中s-弱擬正規．

若否，則有P1＜·P在G中是弱c*-正規．存在K1＜ G，使得G=P1K1且P1∩K1≤Op(G)=1．表明K1的Sylow p-子群為p階循環群．從而G是p-冪零的．矛盾．

(5)對任意的q≠p，GpGq＜G，GpGq為p-冪零的．

由［8．IV．Satz 28］知，Gp為非循環的．因此Gp至少有2個極大子群．設Gp=P1·P2，由假設PiGq≤G，i=1，2，因此GpGq≤G．由著名的pαqβ-定理及(3)知，GpGq＜G．由的極小性知，GpGq為p-冪零的．

(6)最后的矛盾．

由(5)知，［Gp，Gq］≤Gq，任意的q≠p．假設S1為 Gp的任一子群，記 NG(S1)=N1．因為［S1，(N1)q］≤Gp∩Gq=1．因此S1被(N1)p'中心化．由［9．10．32］知，G 是 p- 冪零的．最后的矛盾．

推論1 若G的每個Sylow子群的所有極大子群在G中或者是s-弱擬正規，或者是弱c*-正規的．則G一個具有Sylow塔的群．

證明 設p是π(G)中的最小素數．由定理1知，G是p-冪零的．設H為G的正規p-補．顯然H滿足定理假設．由歸納法知，H為一個具有Sylow塔的群．因此，G也一個具有Sylow塔的群．

［1］ 徐明曜．有限群論導引［M］．北京:科學出版社，1999．

［2］ 錢國華，朱平天．超可解群的一些充分條件［J］．南京師范大學學報，1998，21(1):15-21．

［3］ 趙嘯海．超可解群的幾個充分條件［J］．廣西大學學報學報:自然科學版，2001，26(2):137-139．

［4］ 陳重穆．內外∑-群與極小非∑-群［M］．重慶:西南師范大學出版社，1988．

［5］ 劉秀，韋華全，劉小春．弱c*-正規子群與有限群的p-冪零性［J］．廣西科學，2008，15(4):325-329．

［6］ Doerk，Hawkes T．Finite Soluble Groups［M］．De Gruyter，1992．

［7］ Li Y，Wang Y，Wei H．On p nilpotency of finite groups with some subgroups quasinormally embeded ［J］．Adwa Math Hungar，2005，108(4):283-298．

［8］ Huppert B．Endliche Gruppen I［M］．Berlin New York Spring-Verlag，1967．1-500．

［9］ Robinson D J S．A Course in the Theory of Groups［J］．New-york Springer，1982．

［10］衛華全．子群特性與有限群結構［D］．廣州中山大學，2006．