天平振動的研究

馮　娟，汪冬亮，范　克，胡　煜

(中國地質大學(北京) 物理實驗教學示范中心,北京 100083)

天平振動的研究

馮娟，汪冬亮，范克，胡煜

(中國地質大學(北京) 物理實驗教學示范中心,北京 100083)

摘要：根據力矩平衡關系，討論了天平的振動規律. 通過測量天平的感度和振動周期，考查了天平的轉動慣量、重心位置等參量，分析了天平感度隨稱量量的變化規律，加深了對天平的認識.

關鍵詞：天平；感度；周期；轉動慣量

1方法原理

天平是測量物體質量的常用儀器. 在討論天平時，通常假定3個刀口(兩側刀口和中間刀口)在同一水平面上[1-2]，如圖1所示. 設天平臂長為l，橫梁的重心C到中間刀口B0的距離為h，L為中間刀口B0到底部標尺的距離，橫梁的質量為m0，g為重力加速度. 當天平兩側的負載分別為m和m+Δm時，指針向負載m側偏轉. 如果Δm不是太大，偏轉角為φ時又達到新的平衡，有

mglcosφ+m0ghsinφ=(m+Δm)glcosφ,

整理后，可得

實際上,天平的3個刀口不可能在同一平面上，如圖2所示[3]. 設中間刀口B0到兩側刀口B1和B2平面的距離為λ，∠B0B1B2=θ，兩側負載合力的作用點不在B0，這時又產生新的恢復力矩2mgλsinφ，即

Δmglcos (θ+φ)=m0ghsinφ+2mgλsinφ,

圖1　理想天平平衡示意圖

由于實際上θ?φ，cos (θ+φ)≈cosφ，所以

(1)

式中m是秤盤質量m1和砝碼質量m2之和. 從(1)式可以看出，天平偏轉角φ不僅和差額質量Δm有關，而且也和天平的負載有關.

圖2　實際天平平衡示意圖

設指針偏轉角度φ時，指針在底部標尺上移過的距離為s有

(2)

將(2)式代入(1)式，可得

(3)

(4)

天平振動時近似為復擺(嚴格講，托盤與橫梁間有相對運動，不能看成剛體)，振動周期T應當等于

(5)

式中,I為天平對支點B0的轉動慣量，I由2部分組成，即天平梁的轉動慣量I0、秤盤和砝碼的等效近似轉動慣量. 現將秤盤和砝碼均簡化為橫梁一端的質點，其轉動慣量可寫為2(m1+m2)l2+λ2，λ遠小于l，取近似式則有

I=I0+2(m1+m2)l2.

又設I01=I0+2m1l2，它是梁和秤盤的轉動慣量之和，因而

I=I01+2m2l2,

(6)

綜合(4)~(6)式可得

(7)

(8)

制造天平時總希望R與m2無關，即盡量使λ(來源于制造誤差)最小.RT2和R與砝碼質量m2均呈線性關系：

(9)

由(9)式可知，測量出不同砝碼質量m2對應的感度R及振動周期T，則可解方程組(9)，求出參量A,B,A1,B1；再根據(7)式和(8)式以及測出的L,l,m0和m1，就可求出：

1) 空載感度R0，即A1;

2實驗方案

實驗裝置圖如圖3所示[2].

圖3　測量天平振動實驗裝置圖

2.1　測量常量

中間刀口到標尺距離L,力臂長度l,梁的質量m0,秤盤的質量m1,指針標尺的長度20a(a為1 div寬度).

2.2　測量振動周期T和感度R

測出當m2(兩側盤上加同樣砝碼)等于0時的振動周期T和感度R，然后在左盤加入Δm=10 mg的砝碼，測出此時的振動周期T和感度R，記錄數據. 改變m2分別為20,40,60,80,100 g，重復上述操作.

3數據分析

測出梁的質量m0=131.40 g；臂長l=11.83 cm；秤盤的質量m1=119.80 g；中間刀口到標尺的距離L=24.11 cm. 周期和感度的測量數據如表1 和表2所示.

表1　周期和感度的測量

R，RT2與砝碼質量m2的關系如圖4~5所示. 由圖可以看出，除部分點偏差較大以外，R,RT2與m2呈線性相關. 引起誤差的原因主要是周期和停點測量不準確. 通過直線擬和可求出：

A=1.354 6 g·s2/cm，B=0.002 4 s2/cm,

A1=0.011 9 g/cm，B1=8.9×10-6cm-1.

最后求出：

R0= 0.011 9 g/cm,

I01=1.60×105g·cm2,

λ=0.001 3 cm,h= 0.023 5 cm.

由R-m2曲線圖可知，隨著m2增加，感度近似呈線性緩慢增加， 故靈敏度隨著質量的增加而減小. 空載感度最大，R0= 0.011 9 g/cm. 天平的感度還與重心位置有關，本文所用天平的重心位置在中間刀口B0下方h=0.023 5 cm處. 調節重心螺絲(感量砣)，可以改變和校準感度. 一般負載越輕，橫梁越輕，重心越高，靈敏度越高. 中間刀口B0到兩側刀口B1和B2平面有一微小的距離λ=0.001 3 cm，λ來源于制造誤差，是儀器本身的固有缺陷.

圖5　RT2-m2圖

4結束語

根據力矩平衡關系，分析了天平的機械振動規律. 通過測量天平的感度和振動周期，考查了天平的轉動慣量、重心位置等參量，分析了天平感度隨稱量量的變化規律，加深了對天平的認識.

參考文獻：

[1]周惟公. 大學物理實驗[M]. 北京: 高等教育出版社,2009.

[2]華中工學院,天津大學,上海交通大學. 物理實驗[M]. 北京:高等教育出版社,1981.

[3]楊述武. 普通物理實驗[M]. 北京：高等教育出版社，2002.

[責任編輯：郭偉]

Research on vibration of balance

FENG Juan, WANG Dong-liang, FAN Ke, HU Yu

(Demonstration Center of Physics Experiment， China University of Geosciences， Beijing 100083， China)

Abstract:According to the torque balance equation, the vibration of balance was discussed. By measuring the sensitivity of the balance and the period of the vibration, the moment of inertia and the center of gravity were examined. The dependence of the sensitivity on weigh was analyzed and the understanding about balance was deepened.

Key words:balance; sensitivity; vibration period; moment of inertia

中圖分類號：O312.2;TH715.11

文獻標識碼：A

文章編號：1005-4642(2015)04-0025-03

作者簡介：馮娟(1976-)，女，山東德州人，中國地質大學(北京)物理實驗教學示范中心講師，博士研究生，主要從事實驗物理教學和應用地球物理學領域的研究.

收稿日期：2014-06-20；修改日期：2014-09-14

“第8屆全國高等學校物理實驗教學研討會”論文

資助項目：2012年中國地質大學教學研究與教學改革項目資助(No.JGYB-201233)