基于分數(shù)階PID控制器的儲氣罐恒壓控制

王 杰，麥云飛

（上海理工大學機械工程學院，上海200093）

0 引 言

隨著科技的進步和對控制品質要求的提高，控制精度和魯棒性要求更高，控制效果要求更好，在運行要求更穩(wěn)定、可靠、準確的場合下，傳統(tǒng)PID控制的缺陷越來越凸現(xiàn)出來。因此，尋求一種切實可行、效率較高的算法就顯得尤為重要。本文首先對分數(shù)階PID算法和傳統(tǒng)PID算法作了簡單的對比，凸顯了分數(shù)階PID算法的優(yōu)越性，然后給出其簡化工程算法，將其運用在儲氣罐恒壓控制系統(tǒng)中，在最優(yōu)傳統(tǒng)PID參數(shù)的基礎上運用分數(shù)階PID的工程算法，最后對比了兩者的實際控制效果。

1 分數(shù)階PID算法

分數(shù)階PID算法在時域中的表達式為：

由G-L分數(shù)微積分定義［1］得：

式中，

權系數(shù)ωαk可視為冪級數(shù)（1-x）α在原點的泰勒展開式的系數(shù)：

對于G-L分數(shù)微積分的2～6階近似，Lubich給出了如下結論：一階導數(shù)的n階近似表達式可用（n+1）個點的后向差分表示，同樣，（n+1）個點的后向差分表達式的p次冪可以表示p階導數(shù)的n階近似，則有：

令采樣周期為T，式（3）經(jīng)Z變換得：

時間離散化得到分數(shù)階PID數(shù)字實現(xiàn)表達式如下：

式中，Um為分數(shù)階PID控制器的輸出；ym為反饋值；rinm為定義目標值；λ為積分階次系數(shù)；μ為微分階次系數(shù)。

從上式可見：分數(shù)階PID比傳統(tǒng)PID多了2個可調(diào)參數(shù)λ和μ，而且階次是可以任意選擇的，因而更具靈活性，選擇范圍也更大。

2 分數(shù)階PID改進算法

由分數(shù)階PID控制器的表達式可知：由于引入系數(shù)dj、qj，并且dj、qj是一個與運算次數(shù)j相關的表達式，無法通過遞歸法消去之前的誤差e。直接將其表達式數(shù)字化實現(xiàn)是不可行的，因為任何微處理器的資源是有限的，長時間運行必定會發(fā)生溢出的現(xiàn)象；由于分數(shù)階PID的記憶性，每增加一個e對于積分項和微分項，微處理器就需要多計算一次，長時間使用微處理器，計算時間就會比初始狀態(tài)增加時間Δt，這違背步長h一致原則［2］。

綜上所述，直接將分數(shù)階PID控制器的數(shù)字實現(xiàn)表達式運用于工業(yè)微處理器中不可行，因此必須對公式進行簡化。

對于積分環(huán)節(jié)而言，整數(shù)階PID對以前任何時刻采樣點的記憶性相同，而分數(shù)階積分只與當前時刻較近的有限項采樣點值有明顯關系。通過觀察分數(shù)階PID表達式的積分項與微分項發(fā)現(xiàn)：當λ=-μ的時候積分項表達式ui=ud，所以推測：分數(shù)階PID積分項和微分項只與當前時刻較近的有限項采樣點值有明顯關系。

由此提出了短記憶分數(shù)階PID算法：取有限項。

具體算法如下：以取n+1項為例進行說明（記憶長度L為n+1）。

當m＜n的時候按原式計算，當m≥n的時候分數(shù)階控制器輸出Um可通過取最近的n項誤差e和從n+1項以q0、d0作為起始項至qn、dn為止的微分與積分系數(shù)計算得到。

3 分數(shù)階PID在儲氣罐恒壓控制系統(tǒng)中的應用

儲氣罐恒壓控制系統(tǒng)由控制器、壓力傳感器、信號調(diào)理電路、比例閥、儲氣罐、氣源等組成，其系統(tǒng)框架如圖1所示，系統(tǒng)原理框圖如圖2所示。儲氣罐的壓力值由壓力傳感器實時采集并轉換為模擬量信號，經(jīng)控制器內(nèi)部計算轉換為壓力反饋信號?？刂破髯x取儲氣罐實際壓力和設定壓力后，交由控制器算法在線運算，計算出控制量，將控制量輸出到比例閥放大器，實時改變比例閥閥芯開口大小跟開口方向，實現(xiàn)儲氣罐壓力實時跟隨設定壓力。

圖1 儲氣罐恒壓控制系統(tǒng)框架圖

圖2 儲氣罐恒壓控制系統(tǒng)原理框圖

3.1 系統(tǒng)工作階段分析［3］

（1）充氣階段

式中，Ue為輸入電壓信號；Uc為比例閥閥口全關時的輸入電壓；Xv為閥芯位移；X0為反饋彈簧預壓縮量；ΔF為干擾力；K為比例增益；KIF為比例電磁鐵的電流-力增益；KUF為比例放大器的電壓-電流增益；KXF為反饋彈簧的彈性系數(shù)。

式中，T為儲氣罐內(nèi)氣體溫度；P為儲氣罐內(nèi)氣體壓力；Ts為氣源溫度；K為絕熱系數(shù)；m為儲氣罐內(nèi)氣體質量；m0為儲氣罐內(nèi)原有氣體質量；q為比例閥閥口流量；Δt為采樣間隔；V為儲氣罐體積；R為氣體常數(shù)；Cd為流量系數(shù)；w滑閥節(jié)流窗口面積梯度；Ps為氣源壓力；ρ為氣體密度。

（2）放氣階段

（3）比例閥閥口關閉階段

式中，T′s為室內(nèi)溫度。

由系統(tǒng)工作階段分析可知：溫度、壓力、空氣量三者之間互相影響，因此該系統(tǒng)屬于非線性系統(tǒng)。本文分別用傳統(tǒng)PID和分數(shù)階PID來進行壓力控制，對兩者實際控制效果進行比較。

3.2 測試

測試步驟如下：

（1）尋優(yōu)［4］

調(diào)整傳統(tǒng)PID參數(shù)，使其處于最優(yōu)狀態(tài)。

（2）對比

a.取相同參數(shù)的分數(shù)階PID對比，不同記憶長度的分數(shù)階PID進行對比。

圖3中的曲線為跟隨頻率為0.1 Hz，振幅為1，偏差為3，占空比50%的方波信號所得。

圖3 不同記憶長度的分數(shù)階PID對比曲線

整理曲線和實驗數(shù)據(jù)得表1。

表1 a對比曲線數(shù)據(jù)對比圖

對比結論：短記憶分數(shù)階PID會引入穩(wěn)態(tài)誤差；隨著記憶長度L的增加，分數(shù)階PID穩(wěn)態(tài)誤差逐漸下降；上升時間對記憶長度L不敏感。

取相同Kp，Ki，Kd的整數(shù)PID與分數(shù)PID控制器曲線對比。

b.對比所得曲線如圖4、圖5所示。

圖4 傳統(tǒng)PID壓力響應曲線

圖5 分數(shù)階PID壓力響應曲線

表2 b對比曲線數(shù)據(jù)對比圖

對比結論：分數(shù)階PID比傳統(tǒng)PID上升時間tr明顯減少；隨后進行的大量隨機試驗證明采用分數(shù)階PID控制算法，系統(tǒng)的可靠性、適應性得到顯著提高，很好地實現(xiàn)了非線性控制。

4 結束語

分數(shù)階PID更具靈活性，選擇范圍更大，在傳統(tǒng)PID調(diào)至最優(yōu)后，用短記憶分數(shù)階PID可以進一步將其優(yōu)化，響應速度能夠大幅度提升。短記憶分數(shù)階PID算法的提出有利于突破傳統(tǒng)PID的局限性，具有很好的發(fā)展前景。

［1］PODLUBNY I.Fractional-order systems and PIλDμ-controllers［J］.IEEE Trans on Automatic Control，1999，44（1）：208-214.

［2］高建龍.分數(shù)階PID控制器在伺服系統(tǒng)中的應用及實現(xiàn)［D］.南京：南京理工大學，2013.

［3］黃友銳.曲立國.PID控制器參數(shù)整定與實現(xiàn)［M］.北京：科學出版社，2010.

［4］張 超.多變量系統(tǒng)分數(shù)階控制器的設計［D］.南京：南京信息工程大學，2011.

［5］任彥碩.自動控制系統(tǒng)［M］.北京：北京郵電大學出版社，2006.