部分相干雙曲余弦-高斯光束通過像散透鏡的光束參數(shù)變化

李長偉,馮 浩

(瓊州學(xué)院 理工學(xué)院,海南 三亞 572022)

?

部分相干雙曲余弦-高斯光束通過像散透鏡的光束參數(shù)變化

李長偉,馮 浩

(瓊州學(xué)院 理工學(xué)院,海南 三亞 572022)

研究了部分相干雙曲余弦-高斯(ChG)光束通過像散透鏡的光束參數(shù)變化,并對像散和空間相干參數(shù)對束寬、束腰位置及遠(yuǎn)場發(fā)散角的影響做了重點(diǎn)分析.結(jié)果表明,受像散影響,部分相干ChG光束在x、y方向束寬、束腰位置和遠(yuǎn)場發(fā)散角表現(xiàn)不同;束寬相對誤差隨空間相干參數(shù)的增大而增大,在幾何焦面兩側(cè)出現(xiàn)一大一小兩個(gè)峰值;在幾何焦面處,x、y方向的束寬相對誤差變化規(guī)律相同;x方向遠(yuǎn)場發(fā)散角相對誤差隨像散的增大而增大,當(dāng)達(dá)到峰值之后進(jìn)而隨像散的增大減小;y方向遠(yuǎn)場發(fā)散角相對誤差隨像散增大近似呈線性增大.

部分相干雙曲余弦-高斯光束；像散；相對誤差

部分相干光的傳輸和變換規(guī)律,有重要理論和現(xiàn)實(shí)意義[1-2].對于實(shí)際的成像系統(tǒng)而言,傍軸條件常常不能滿足,點(diǎn)物形成一彌散斑,物體不能生成清晰的像.當(dāng)光束在非軸對稱光學(xué)系統(tǒng)中傳輸時(shí),會產(chǎn)生像散[ 3-4].厄米正弦類高斯光束,如雙曲正(余)弦高斯光束等是在近軸近似下波動方程的解[5],對厄米正弦類部分相干光通過理想光學(xué)系統(tǒng)的研究較多,但對其通過有像差光學(xué)系統(tǒng)的研究較少[6-7].因此分析研究像散對部分相干光光束參數(shù)的影響具有實(shí)際應(yīng)用意義.本文以部分相干雙曲余弦-高斯(ChG)光束為例,對其通過像散透鏡后的光束參數(shù)變化做了深入研究,重點(diǎn)分析了空間相干參數(shù)和像散對束寬、束腰位置、束腰寬度以及遠(yuǎn)場發(fā)散角相對誤差的影響,并作了數(shù)值計(jì)算和討論.

1 理論模型

部分相干ChG光束在入射面z=0處,可用交叉譜密度函數(shù)表示為[8]

(1)

其中:空間相關(guān)長度表示為σ,入射光束高斯部分束腰寬度對應(yīng)為w0,Ω0為與雙曲余弦項(xiàng)有關(guān)的參量,I0為一光強(qiáng)常數(shù).

設(shè)z=0處有一像散透鏡,焦距為f,由于像散引入的相位因子可表示為[4]

exp[-ikC6(x′2-y′2)]，

(2)

式中,k為波數(shù),且k=2π/λ,C6為像散系數(shù).將上述兩式代入部分相干光的傳輸公式,經(jīng)過繁冗積分,得部分相干ChG光束通過像散透鏡后在出射面z處的光強(qiáng)為[7]

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8a)

(8b)

令C6=0,由(8)式可得部分相干光束ChG通過理想無像散透鏡的束寬

(9)

部分相干ChG光束通過像散透鏡后的束寬相對誤差表示為[10]

(10)

將(8)、(9))式代入上式,整理可得出射面處x、y方向束寬的相對誤差為

(11a)

(11b)

上式表明,x、y方向束寬的相對誤差變化取決于離心參數(shù)a,像散系數(shù)C6,空間相干參數(shù)β、菲涅耳數(shù)Nw以及傳輸距離z,且像散使得x、y方向束寬相對誤差出現(xiàn)差異.將z=f代入(8)和(11)式,分別可得幾何焦面處x、y方向的束寬公式及束寬相對誤差公式為

(12)

(13)

由?wx/?z=0,求得x方向束腰位置

(14a)

類似地,y方向束腰位置為

(14b)

(14)式表明,x方向和y方向束腰位置受像散的影響不再重合.對于理想透鏡C6=0,有

(15)

由(8)和(14)式得x、y方向束腰寬度為

(16a)

(16b)

x、y方向的遠(yuǎn)場發(fā)散角可分別求得為[11-12]

(17a)

(17b)

對于理想透鏡,有

(18)

遠(yuǎn)場發(fā)散角的相對誤差可表示為

(19)

將(17)、(18)式代入(19)式,分別可得部分相干光束ChG光束x、y方向遠(yuǎn)場發(fā)散角的相對誤差為

(20a)

(20b)

(20)式表明,x、y方向遠(yuǎn)場發(fā)散角相對誤差受像散的影響表現(xiàn)不同,且隨離心參數(shù)a,像散系數(shù)C6,空間相干參數(shù)β的不同取值發(fā)生變化.

2 數(shù)值計(jì)算與討論

以下數(shù)值計(jì)算中取部分相干ChG光束λ=1.06μm,w0=1 mm,f=200 mm.圖1為不同空間相干參數(shù)β的部分相干ChG光束通過像散透鏡后,x、y方向束寬相對誤差ηwx,ηwy隨傳輸距離z的變化.圖中參數(shù)為：a=1,C6=1×10-4mm-1.由圖1知,束寬相對誤差隨空間相干參數(shù)的增大而增大,且隨傳輸距離發(fā)生變化.在幾何焦面兩側(cè)出現(xiàn)一大一小兩個(gè)峰值.在遠(yuǎn)離幾何焦面處,相對誤差隨空間相干參數(shù)的變化并不明顯.

圖1 空間相干參數(shù)β取不同值時(shí)x、y方向束寬相對誤差ηwx，ηwy隨傳輸距離z的變化

圖2 空間相干參數(shù)β取不同值時(shí)幾何焦面上束寬相對誤差ηfw隨像散系數(shù)C6的變化

圖2為透鏡幾何焦面處空間相干參數(shù)取不同值時(shí)束寬相對誤差ηfw隨像散C6的變化.由圖可知x方向和y方向的相對誤差變化規(guī)律相同,與文中(13)式對應(yīng),幾何焦面處x、y方向束寬相對誤差ηfw隨像散系數(shù)增大而增大,且隨空間相干參數(shù)的增大而增大.

圖3為空間相干參數(shù)取不同值時(shí)遠(yuǎn)場發(fā)散角的相對誤差ηθx,ηθy隨像散的變化曲線.圖3表明, 圖3為空間相干參數(shù)取不同值時(shí)遠(yuǎn)場發(fā)散角的相對誤差ηθx,ηθy隨像散的變化曲線.圖3表明, 受像散的影響,x、y方向遠(yuǎn)場發(fā)散角的相對誤差一般不相等,表現(xiàn)出差異,且偏差程度受相干參數(shù)的影響.x方向相對誤差隨像散的增大而增大,當(dāng)達(dá)到峰值之后進(jìn)而隨像散的增大減小.y方向相對誤差隨像散增大近似呈線性增大.

圖3 空間相干參數(shù)β取不同值時(shí)遠(yuǎn)場發(fā)散角的相對誤差ηθx，ηθy隨像散系數(shù)C6的變化

3 結(jié)語

本文以部分相干ChG光束為例,推導(dǎo)出其通過像散透鏡后的束寬、束腰位置、束腰寬度、遠(yuǎn)場發(fā)散角等,并詳細(xì)研究了其通過像散透鏡后光束參數(shù)的變化.像散使部分相干ChG光束在x和y方向束寬、束腰位置和遠(yuǎn)場發(fā)散角不同.束寬相對誤差隨空間相干參數(shù)的增大而增大,在幾何焦面兩側(cè)出現(xiàn)一大一小兩個(gè)峰值.在幾何焦面處,x方向和y方向的相對誤差有相同的變化規(guī)律,相對誤差隨像散系數(shù)增加而變大,隨空間相干參數(shù)的增大而增大.x方向遠(yuǎn)場發(fā)散角相對誤差隨像散的增大而增大,當(dāng)達(dá)到峰值之后進(jìn)而隨像散的增大減小.y方向遠(yuǎn)場發(fā)散角相對誤差隨像散增大近似呈線性增大.數(shù)值計(jì)算表明,束寬及遠(yuǎn)場發(fā)散角相對誤差亦受離心參數(shù)的影響,且隨離心參數(shù)的增大而增大,波形不發(fā)生變化.本文從光束空間相干性及像散兩個(gè)方面對光束相對誤差做了分析研究,對部分相干光通過像散透鏡的光束變化有了進(jìn)一步的認(rèn)識,所得結(jié)果對設(shè)計(jì)合適的激光光學(xué)系統(tǒng)有實(shí)際應(yīng)用意義.

[1]Mandel L, Wolf E.Optical Coherence and Quantum Optics[M].Cambridge: University Press, 1995.

[2]Goodman J W.Statistical Optics[M].New York: Wiley & Sons Press, 1985.

[3]Welford W. T.Aberrations of the Symmetric Optical System[M].NewYork: Academic, 1974.

[4]Alda J, Alonso J, Bernabeu E.Characterization of aberrated laser beams[J].J Opt Soc Am A, 1997, 14(10):2737-2747.

[5]Casperson L W, Hall D G, Tovar A A. Sinusoidal-Gaussian beams in complex optical systems [J].J Opt Soc Am A, 1997, 14(12):3341-3348.

[6]李長偉，康小平，何仲.部分相干雙曲正弦：高斯光束的傳輸特性[J].瓊州學(xué)院學(xué)報(bào),2014，21(2):44-48.

[7]Pan L Z, Lü B D.Focusing properties of partially coherent light passing through an astigmatic lens [J].Laser Technology, 2003, 27(4):374-379(in Chinese).

[8]Li C W, LU B D.Transformation and spatial shaping of partially coherent cosh-Gaussian beams through an astigmatic lens[J].Optik, 2009,120(5):374-378.

[9]Zahid M, Zubairy M S.Directionality of partially coherent Bessel-Gauss beams[J].Opt Commun, 1989, 70 (5):361-364.

[10]Siegman A E.New development in laser resonator[J].SPIE,1990, 1224:2-14.

[11]孟祥龍, 聶義友, 呂百達(dá). 像散透鏡對雙曲余弦-高斯光束參量的影響[J].激光技術(shù), 2008,32(1):53-56.

[12]呂百達(dá).激光光學(xué)[M].北京：高等教育出版社,2003.

Changes in The Beam Parameters of Partially Coherent Cosh-Gaussian Beams after The Passage Through An Astigmatic Lens

LI Chang-wei, FENG Hao

(College of Science and Technology, Qiongzhou University, Sanya Hainan 572022, China)

The changes in the beam parameters of partially coherent cosh-Gaussian (ChG) beams through an astigmatic lens are studied and the effect of astigmatism and spatial coherence parameter on the beam widths, waist positions and far-field divergence angles are stressed. The results show that the astigmatism in a difference between the beam widths, waist positions and far-field divergence angles in thexandydirections. Relative errors of the beam widths increases with the coherence increases and take on a large and a small peaks on both side of the geometrical focal plane. Relative errors of the beam widths in thexandydirections have the same variation at the geometric focal plane. Relative errors of the far-field divergence angles in thexdirection increases as the coherence increases but decreased after the peak value. In theydirection, relative errors of the far-field divergence angles Increases linearly with the increase of astigmatism.

partially coherent cosh-Gaussian (ChG) beam; astigmatic; relative errors

2014-12-09

三亞市院地科技合作項(xiàng)目(2014YD28)

李長偉(1981-),男,河南平頂山人,瓊州學(xué)院理工學(xué)院講師,研究方向?yàn)榧す鈧鬏斉c變換.

O435

A

1008-6722(2015) 02-0052-05

10.13307/j.issn.1008-6722．2015．02．12